فيديو: امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال السابع عشر

امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال السابع عشر

٠٤:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد حجم المجسّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدّدة بالمنحنى: ص بتساوي س تربيع. والخط المستقيم: ص بتساوي تلاتة س. دورة كاملة حول محور السينات.

لو افترضنا إن عندنا أيّ دالتين؛ وَلْتكُن الدالة د س، والدالة ر س. فحجم المجسّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدّدة بمنحنى الدالة د س، ومنحنى الدالة ر س. هيكون بيساوي 𝜋، مضروبة في تكامل الدالة د س تربيع؛ بالنسبة لِـ س من أ إلى ب. ناقص 𝜋، مضروبة في تكامل الدالة ر س تربيع؛ بالنسبة لِـ س من أ إلى ب.

يعني الحجم هيساوي 𝜋؛ مضروبة في تكامل الدالة د س تربيع، ناقص الدالة ر س تربيع؛ بالنسبة لِـ س من أ إلى ب.

أول حاجة هنوجد حدود التكامل؛ اللي هم: أ وَ ب. واللي هيكونوا نقط تقاطع الدالتين الدالة د س، والدالة ر س. وبما إن مطلوب نوجد حجم المجسّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدّدة بمنحنى وخط مستقيم. فعشان نقدر نوجد حدود التكامل، هنوجد الإحداثيات السينية لنقط التقاطع بين المنحنى والخط المستقيم.

بالنسبة للمنحنى، هنفرض إن ص واحد هتساوي س تربيع. وبالنسبة للخط المستقيم، هنفرض إن ص اتنين هتساوي تلاتة س. وعلشان نقدر نوجد الإحداثيات السينية لنقط التقاطع، هنساوي ص واحد وَ ص اتنين. يعني هيكون عندنا س تربيع هتساوي تلاتة س.

هنطرح تلاتة س مِ الطرفين، فهيكون عندنا س تربيع ناقص تلاتة س هتساوي صفر. هناخد س عامل مشترك، فهتكون عندنا س مضروبة في س ناقص تلاتة هتساوي صفر. يعني هيكون عندنا قيمتين لِـ س. أول قيمة س بتساوي صفر. وتاني قيمة إن س ناقص تلاتة هتساوي صفر. هنجمع تلاتة عَ الطرفين، فهنجد إن س هتساوي تلاتة.

يبقى الإحداثيات السينية لنقط التقاطع بين المنحنى والخط المستقيم؛ هتكون: س بتساوي صفر، وَ س بتساوي تلاتة. وفي حدود التكامل بما إن أ أصغر من ب؛ فَـ أ هتساوي صفر، وَ ب هتساوي تلاتة. يبقى كده قدِرنا نوجد حدود التكامل.

بما إن الحجم قيمته يجب أن تكون موجبة. فقيم الدالة د س لازم تكون أكبر من قيم الدالة ر س لجميع قيم س بداخل الفترة المغلقة من أ إلى ب.

فعلشان نقدر نحدّد هل المنحنى ولّا الخط المستقيم اللي هيكون ليه قيم أكبر لِـ س بداخل الفترة المغلقة من صفر إلى تلاتة. فبما أن المنحنى والخط المستقيم متصلان على الفترة المغلقة من صفر إلى تلاتة. فهنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، وَلْتكُن س بتساوي واحد. وهنوجد قيمة المنحنى عند س بتساوي واحد، وقيمة الخط المستقيم عند س بتساوي واحد.

فَـ ص واحد هتكون بتساوي واحد أُس اتنين، يعني هتساوي واحد. وَ ص اتنين هتساوي تلاتة مضروبة في واحد، يعني هتساوي تلاتة. فهنلاحظ إن ص اتنين هتكون أكبر من أو بتساوي ص واحد لجميع قيم س اللي بتنتمي للفترة المغلقة من صفر إلى تلاتة. وبالتالي د س هتكون هي ص اتنين، وَ ر س هتكون هي ص واحد.

يعني الحجم هيساوي 𝜋؛ مضروبة في تكامل تلاتة س الكل تربيع، ناقص س تربيع تربيع؛ بالنسبة لِـ س من صفر إلى تلاتة. يعني الحجم هيساوي 𝜋؛ مضروبة في تكامل تسعة س تربيع، ناقص س أُس أربعة؛ بالنسبة لِـ س من صفر إلى تلاتة.

يعني الحجم هيساوي 𝜋؛ مضروبة في … تكامل تسعة س تربيع هيساوي تسعة في س أُس تلاتة، مقسومة على تلاتة. ناقص … تكامل س أُس أربعة هتساوي س أُس خمسة، مقسومة على خمسة. من صفر إلى تلاتة.

يعني الحجم هيساوي 𝜋؛ مضروبة في … هنعوّض عن س بتلاتة، فهيكون عندنا تسعة مضروبة في تلاتة أُس تلاتة، على تلاتة. ناقص تلاتة أُس خمسة، على خمسة. ناقص … هنعوّض عن س بصفر، فهيكون عندنا تسعة مضروبة في صفر أُس تلاتة، على تلاتة. ناقص صفر أُس خمسة، على خمسة. يعني الحجم هيساوي مية اتنين وستين على خمسة، 𝜋.

ويبقى كده قدِرنا نوجد حجم المجسّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدّدة بالمنحنى والخط المستقيم دورة كاملة حول محور السينات. وكانت بتساوي مية اتنين وستين على خمسة، 𝜋.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.