فيديو السؤال: إيجاد معادلة العمودي على المنحنى لدالة مثلثية عند نقطة ما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة العمودي على المنحنى ﺹ يساوي سالب ستة ظتا ﺱ ناقص خمسة قا تربيع ﺱ زائد سبعة، عند ﺱ يساوي 𝜋 على أربعة.

لنتذكر أن العمودي على المنحنى هو الخط العمودي على مماس المنحنى عند هذه النقطة. هذا يعني أننا إذا استطعنا إيجاد ميل مماس المنحنى عند النقطة ﺱ يساوي 𝜋 على أربعة، فسنتمكن من استخدام ذلك الميل لإيجاد ميل العمودي. إذا كان المستقيمان متعامدين، فإننا نعلم أن حاصل ضرب ميليهما، ﻡ واحد في ﻡ اثنين، يساوي سالب واحد. بمجرد أن نوجد ميل الخط العمودي، يمكننا بعد ذلك استخدام الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم. ‏ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﻡ هي قيمة الميل وﺱ واحد، ﺹ واحد هما إحداثيا النقطة على هذا الخط المستقيم. إذن، كيف سنوجد ميل مماس المنحنى أولًا؟

حسنًا، نعلم أنه لإيجاد ميل المماس للمنحنى، فإننا نشتق معادلة المنحنى ثم نوجد قيمة المشتقة عند تلك النقطة. ومن ثم إذا افترضنا أن ﻡ واحدًا هو ميل المماس، فعلينا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ ثم إيجاد قيمة ذلك عند ﺱ يساوي 𝜋 على أربعة. يمكننا اشتقاق الحدود حدًّا تلو الآخر. أولًا: نعلم أن مشتقة ظتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب قتا تربيع ﺱ. ومشتقة قا تربيع ﺱ تساوي اثنين قا تربيع ﺱ ظا ﺱ.

يمكننا الآن بالطبع استخدام قاعدة الضرب أو قاعدة السلسلة لاشتقاق هذه المعادلة مباشرة. أخيرًا، إذا كان ﺃ ثابتًا حقيقيًّا، فإن مشتقة ﺃ بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا. هذا يتيح لنا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ حدًّا تلو الآخر. ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ستة في سالب قتا تربيع ناقص خمسة في اثنين قا تربيع ﺱ ظا ﺱ زائد صفر. ويبسط هذا المقدار إلى ستة قتا تربيع ﺱ ناقص ١٠ قا تربيع ﺱ ظا ﺱ.

لإيجاد ميل المماس، علينا التعويض بـ ﺱ يساوي 𝜋 على أربعة في هذه المعادلة. هذا يعطينا ستة قتا تربيع 𝜋 على أربعة ناقص ١٠ قا تربيع 𝜋 على أربعة في ظا 𝜋 على أربعة. باستخدام المتطابقة قتا تساوي واحدًا على جا، وقا تساوي واحدًا على جتا، يمكننا إعادة كتابة هذا المقدار على الصورة ستة على جا تربيع 𝜋 على أربعة ناقص ١٠ ظا 𝜋 على أربعة على جتا تربيع 𝜋 على أربعة. كل من جتا 𝜋 وجا 𝜋 على أربعة تساوي جذر اثنين على اثنين، و ظا 𝜋 على أربعة تساوي واحدًا. ومن ثم فإننا نحصل على ستة على جذر اثنين على اثنين تربيع ناقص ١٠ على جذر اثنين على اثنين تربيع. لكن إذا قمنا بتربيع الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، سنحصل على نصف. وبالطبع، القسمة على نصف هي نفسها الضرب في اثنين. وعليه، نحصل على ١٢ ناقص ٢٠، وهو ما يساوي سالب ثمانية.

أصبحنا نعلم الآن ميل مماس المنحنى عند النقطة التي تعنينا. إذن، سنستخدم حقيقة أن حاصل ضرب ميل المماس وميل الخط العمودي يساوي سالب واحد لإيجاد ميل الخط العمودي على المنحنى. بتعريف ميل الخط العمودي بأنه ﻡ اثنان، فإننا نحصل على سالب ثمانية في ﻡ اثنين يساوي سالب واحد. وإذا قسمنا كلا الطرفين على سالب ثمانية، فسنحل المعادلة لإيجاد ميل الخط العمودي. إذن، الميل يساوي ثمنًا.

أصبحنا الآن نعلم قيمة الميل ونعرف قيمة الإحداثي ﺱ للنقطة التي يلتقي عندها المستقيم العمودي بهذا المنحنى. لكن لا يزال علينا إيجاد الإحداثي ﺹ. إذن سنعوض بـ ﺱ يساوي 𝜋 على أربعة في المعادلة الأصلية. وعندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ستة في ظتا 𝜋 على أربعة ناقص خمسة قا تربيع 𝜋 على أربعة زائد سبعة. يمكننا التفكير في هذا المقدار على أنه سالب ستة على ظا 𝜋 على أربعة ناقص خمسة على جتا تربيع 𝜋 على أربعة زائد سبعة، وهو ما يساوي سالب تسعة.

إذن، أصبحنا نعلم الآن ميل العمودي، وهو يساوي ثمنًا، ونعلم الإحداثيين ﺱ وﺹ للنقطة التي يلتقي عندها المنحنى مع المستقيم العمودي. بعد ذلك، نعوض بكل ذلك في معادلة الخط المستقيم التي لدينا. من ثم نحصل على ﺹ ناقص سالب تسعة يساوي ثمنًا في ﺱ ناقص 𝜋 على أربعة. بعد ذلك، بتوزيع الأقواس، نحصل على ﺹ زائد تسعة يساوي ﺱ على ثمانية ناقص 𝜋 على ٣٢. ثم نساوي هذه المعادلة بالصفر. نطرح ﺱ على ثمانية من كلا الطرفين ثم نضيف إليهما 𝜋 على ٣٢. معادلة العمودي على المنحنى هي سالب ﺱ على ثمانية زائد ﺹ زائد تسعة زائد 𝜋 على ٣٢ يساوي صفرًا.