فيديو السؤال: حل المعادلات الآنية باستخدام التعويض الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

استخدم التعويض لحل المعادلتين الآنيتين: ثلث ﺱ زائد ثلثين يساوي ﺹ، وستة ﺱ زائد ثلاثة أخماس ﺹ يساوي ٦٤ على خمسة.

لحل هاتين المعادلتين الآنيتين، علينا إيجاد قيمتي المتغيرين ﺱ وﺹ اللتين تحققان كلتا المعادلتين. علمنا أن علينا حل هذه المسألة باستخدام طريقة التعويض، ما يعني أن علينا إيجاد تعبير لأحد المتغيرين بدلالة الآخر، ثم التعويض بهذا التعبير في المعادلة الأخرى لنحصل بذلك على معادلة في متغير واحد فقط.

حسنًا، بالنظر إلى المعادلتين المعطاتين، نلاحظ أن ﺹ هو بالفعل المتغير التابع في المعادلة الأولى. إذن لدينا تعبير لـ ﺹ بدلالة المتغير الآخر. ‏ﺹ يساوي ثلث ﺱ زائد ثلثين. يمكننا إذن استخدام هذا التعبير والتعويض به عن ﺹ في المعادلة الثانية. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

سنستخدم المعادلة الثانية، وأينما نجد ﺹ نعوض عنه بثلث ﺱ زائد ثلثين. إذن، ستصبح المعادلة لدينا ستة ﺱ زائد ثلاثة أخماس مضروبًا في ثلث ﺱ زائد ثلثين يساوي ٦٤ على خمسة. وبذلك نكون قد كونا معادلة في متغير واحد فقط. وأصبحت المعادلة الآن بدلالة ﺱ.

يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. الخطوة الأولى هي التوزيع بضرب هذه القيمة فيما بداخل القوسين. في كل مرة نقوم بالضرب هنا، يحذف العدد ثلاثة الموجود في بسط الكسر الذي نضرب فيه مع العدد ثلاثة الموجود في مقام الكسر الآخر. وبذلك نحصل على ستة ﺱ زائد خمس ﺱ زائد خمسين يساوي ٦٤ على خمسة. نلاحظ الآن أن لدينا ثلاثة حدود تتضمن كسورًا مقام كل منها خمسة. ومن ثم، سيسهل علينا الأمر إذا حولنا أيضًا هذا الحد، ستة ﺱ، إلى كسر مقامه خمسة. ستة يساوي بالطبع ٣٠ مقسومًا على خمسة. إذن يمكننا إعادة كتابة ستة ﺱ ليصبح ٣٠ على خمسة ﺱ. وبذلك أصبحت جميع الحدود في هذه المعادلة لها المقام خمسة.

إذن، بضرب طرفي المعادلة في خمسة، نتخلص من جميع الكسور. ونحصل بذلك على ٣٠ﺱ زائد ﺱ زائد اثنين يساوي ٦٤. بعد ذلك، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيمن. ‏٣٠ﺱ زائد ﺱ يساوي ٣١ﺱ. يمكننا بعد ذلك حذف اثنين من طرفي المعادلة لنحصل بذلك على ٣١ﺱ يساوي ٦٢. الخطوة الأخيرة هي قسمة طرفي المعادلة على معامل ﺱ، وهو ٣١. ونحصل بذلك على ﺱ يساوي ٦٢ على ٣١. و٦٢ على ٣١ يساوي اثنين.

وبذلك نكون قد أوجدنا قيمة ﺱ. كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة المتغير الآخر؛ ﺹ. يمكننا فعل ذلك من خلال التعويض بقيمة ﺱ التي أوجدناها للتو في أي من المعادلتين. بما أن المعادلة الأولى تعطينا تعبيرًا صريحًا لـ ﺹ بدلالة ﺱ، فربما يكون من الأسهل استخدام هذه المعادلة. بالتعويض عن ﺱ باثنين في هذه المعادلة، نحصل على ﺹ يساوي ثلثًا مضروبًا في اثنين زائد ثلثين. وهذا يساوي ثلثين زائد ثلثين، ما يساوي أربعة أثلاث. وبذلك نكون قد أوجدنا حل هاتين المعادلتين الآنيتين. ‏ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي أربعة أثلاث.

من المستحسن التحقق من إجابتنا. ويمكننا فعل ذلك بالتعويض بقيمتي ﺱ وﺹ في المعادلة الثانية. عندما نعوض بقيمتي ﺱ وﺹ هاتين في التعبير الموجود في الطرف الأيمن، نحصل على ستة مضروبًا في اثنين زائد ثلاثة أخماس مضروبًا في أربعة أثلاث. ستة في اثنين يساوي ١٢ بالطبع. وبحذف العامل المشترك ثلاثة من بسط حاصل الضرب الثاني ومقامه، نحصل على ثلاثة أخماس في أربعة أثلاث يساوي أربعة أخماس. ‏١٢ يساوي ٦٠ مقسومًا على خمسة. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة هذا المجموع على الصورة ٦٠ على خمسة زائد أربعة على خمسة، ما يساوي ٦٤ على خمسة. وهذا يماثل القيمة الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة الثانية. إذن هذا يؤكد أن الحل الذي توصلنا إليه صحيح.

إذن، باستخدام طريقة التعويض، وجدنا أن حل المعادلتين الآنيتين المعطاتين هو ﺱ يساوي اثنين وﺹ يساوي أربعة أثلاث.