فيديو السؤال: إيجاد معيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب ١٠ﺹ زائد خمسة ﻉ، والمتجه ﺏ يساوي سالب أربعة ﺱ زائد تسعة ﺹ زائد ﻉ، فأوجد معيار خمسة ﺏ ضرب اتجاهي ﺃ.

نتذكر أنه عند حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في ثلاثة أبعاد، فإن الإجابة تكون أيضًا متجهًا عموديًّا على المتجهين الأصليين. حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺟ وﺩ يساوي محدد المصفوفة الموضحة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة؛ حيث يحتوي الصف العلوي على متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، ويتكون الصف الثاني من مركبات المتجه ﺟ المشار إليها بالرموز ﺟﺱ، وﺟﺹ، وﺟﻉ، والصف السفلي يتكون من مركبات المتجه ﺩ.

في هذا السؤال، علينا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لخمسة مضروبًا في المتجه ﺏ والمتجه ﺃ. يمكننا البدء بإعادة كتابة المتجهين ﺃ وﺏ بدلالة مركباتهما. المتجه ﺃ يساوي صفرًا، سالب ١٠، خمسة. المركبة الأولى تساوي صفرًا؛ حيث لا توجد مركبة ﺱ في المتجه ﺃ. المتجه ﺏ يساوي سالب أربعة، تسعة، واحد. يمكننا الآن استخدام هذا لحساب خمسة ﺏ. عند ضرب أي متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب كل مركبة على حدة في تلك الكمية القياسية. خمسة مضروبًا في سالب أربعة يساوي سالب ٢٠. خمسة مضروبًا في تسعة يساوي ٤٥. وخمسة مضروبًا في واحد يساوي خمسة. إذن المتجه خمسة ﺏ يساوي سالب ٢٠، ٤٥، خمسة.

يمكننا الآن حساب حاصل الضرب الاتجاهي لخمسة ﺏ وﺃ. هذا يساوي محدد المصفوفة الموضحة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. يمكننا حساب ناتج هذا المحدد في ثلاث خطوات. أولًا، نضرب متجه الوحدة ﺱ في ناتج محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، وهي ٤٥، خمسة، سالب ١٠، خمسة. هذا يساوي ﺱ مضروبًا في ٢٢٥ ناقص سالب ٥٠، الذي سيبسط بدوره إلى ٢٧٥ﺱ.

بعد ذلك، نضرب سالب متجه الوحدة ﺹ في ناتج محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، سالب ٢٠، خمسة، صفر، خمسة. وهذا يساوي سالب ﺹ مضروبًا في سالب ١٠٠ ناقص صفر، ما يساوي ١٠٠ﺹ. وأخيرًا، سنضرب متجه الوحدة ﻉ في ناتج محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، سالب ٢٠، ٤٥، صفر، سالب ١٠. وهذا يساوي ٢٠٠ﻉ. حاصل الضرب الاتجاهي لخمسة ﺏ وﺃ يساوي ٢٧٥ﺱ زائد ١٠٠ﺹ زائد ٢٠٠ﻉ. هذا، بدوره، يمكن كتابته بدلالة مركباته: ٢٧٥، ١٠٠، ٢٠٠.

لكن هذه ليست الإجابة النهائية، إذ علينا إيجاد معيار هذا المتجه. بتذكر أن معيار أي متجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته، فإن هذا سيساوي الجذر التربيعي لـ ٢٧٥ تربيع زائد ١٠٠ تربيع زائد ٢٠٠ تربيع. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة والاحتفاظ بالإجابة على صورة جذر أو جذر أصم، يصبح لدينا ٢٥ جذر ٢٠١. إذن، إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب ١٠ﺹ زائد خمسة ﻉ، والمتجه ﺏ يساوي سالب أربعة ﺱ زائد تسعة ﺹ زائد ﻉ، فإن معيار حاصل الضرب الاتجاهي لخمسة ﺏ وﺃ يساوي ٢٥ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ٢٠١.