تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لخارج قسمة الدوال المثلثية والدوال الخطية باستخدام قاعدة القسمة الرياضيات

إذا كان ﺹ = (٧ ظتا ٣ﺱ)‏/‏(٣ﺱ − ٧)، فأوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ.

٠٤:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺹ يساوي سبعة في ظتا ثلاثة ﺱ مقسومًا على ثلاثة ﺱ ناقص سبعة، فأوجد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

المطلوب منا في السؤال هو إيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. نلاحظ أن ﺹ هو خارج قسمة دالتين. وهناك عدة طرق مختلفة لإيجاد هذه المشتقة. على سبيل المثال، يمكننا إعادة كتابة ظتا ثلاثة ﺱ على صورة واحد مقسوم على ظا ثلاثة ﺱ. لكن هذا سيؤدي إلى أن يصبح مقام خارج القسمة لدينا هو حاصل ضرب دالتين. ومن ثم، سيصبح إيجاد المشتقة أكثر تعقيدًا. لذا، من الأسهل، في هذه المسألة، ترك خارج القسمة كما هو، ثم تطبيق قاعدة القسمة.

نحن نتذكر أن قاعدة القسمة تنص على أنه إذا كان ﺹ يساوي خارج قسمة الدالتين ﻉ وﻕ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ، الكل مقسوم على ﻕ تربيع. في هذه المسألة، سنفترض أن ﻉﺱ هي الدالة التي لدينا في البسط. وهي تساوي سبعة في ظتا ثلاثة ﺱ. وسنفترض أن ﻕﺱ هي الدالة التي لدينا في المقام. وهي تساوي ثلاثة ﺱ ناقص سبعة.

لتطبيق قاعدة القسمة، علينا إيجاد مقدارين يعبران عن ﺩﻉ على ﺩﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ. دعونا نبدأ بإيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهذا يساوي مشتقة سبعة في ظتا ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولإيجاد مشتقة هذا المقدار، علينا تذكر إحدى نتائج المشتقات المثلثية القياسية. بالنسبة إلى الثابتين ﺃ وﻥ، نجد أن مشتقة ﺃ في ظتا ﻥﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ﻥﺃ في قتا تربيع لـ ﻥﺱ. وهذه نتيجة قياسية علينا تذكرها جيدًا. وستساعدنا هذه النتيجة في إيجاد المشتقات التي تتضمن ظتا ﺱ بطريقة أسهل.

بما أننا نعرف أن ظتا ﻥﺱ يساوي جتا ﻥﺱ مقسومًا على جا ﻥﺱ، فيمكننا الوصول إلى هذه النتيجة بتطبيق قاعدة القسمة على جتا ﻥﺱ مقسومًا على جا ﻥﺱ. دعونا الآن نطبق هذه النتيجة لإيجاد مشتقة الدالة ﻉﺱ. بعد تطبيق هذه النتيجة، سنجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب ثلاثة في سبعة قتا تربيع لثلاثة ﺱ. ويمكننا تبسيط هذا المقدار؛ لأن سالب ثلاثة في سبعة يساوي سالب ٢١. نريد الآن إيجاد مقدار يعبر عن ﺩﻕ على ﺩﺱ. وهذا يساوي مشتقة ثلاثة ﺱ ناقص سبعة بالنسبة إلى ﺱ. وهي مشتقة دالة خطية. لذا، فهي تساوي معامل ﺱ، وهو في هذه الحالة يساوي ثلاثة.

نحن جاهزون الآن لتطبيق قاعدة القسمة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهذا يساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ، الكل مقسوم على ﻕ تربيع. نعوض بالمقادير التي تعبر عن ﻉ وﻕ، وﺩﻉ على ﺩﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ. بذلك، نجد أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في سالب ٢١ قتا تربيع ثلاثة ﺱ ناقص سبعة في ظتا ثلاثة ﺱ في ثلاثة، الكل مقسوم على ثلاثة ﺱ ناقص سبعة تربيع. ويمكننا تبسيط هذا المقدار.

سبعة مضروبًا في ثلاثة يساوي ٢١. سنأخذ العامل سالب واحد خارج الحد الأول في البسط. بعد ذلك، سنأخذ العامل ٢١ ، ثم سنضربه في الزوج الأول من الأقواس. وهذا يعطينا سالب واحد مضروبًا في ٦٣ﺱ ناقص ١٤٧. وهذه هي إجابتنا النهائية. إذن قد أوضحنا أن ﺹ يساوي سبعة في ظتا ثلاثة ﺱ مقسومًا على ثلاثة ﺱ ناقص سبعة. وﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب واحد في ٦٣ﺱ ناقص ١٤٧ في قتا تربيع ثلاثة ﺱ ناقص ٢١ في ظتا ثلاثة ﺱ، الكل مقسوم على ثلاثة ﺱ ناقص سبعة تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.