نسخة الفيديو النصية
إذا كانت مرتبة المصفوفة 𝐴 هي اثنين، فما قيمة 𝑘؟
لحل هذه المسألة، سنستخدم معلومة أن مرتبة المصفوفة 𝐴 تساوي اثنين. وبما أن المصفوفة 𝐴 رتبتها ثلاثة في ثلاثة، نفهم من ذلك أن قيمة محدد المصفوفة
𝐴 تساوي صفرًا. وذلك لأنه إذا كانت قيمة محدد المصفوفة 𝐴 لا تساوي صفرًا، فستكون مرتبة المصفوفة
𝐴 هي ثلاثة. وبالتالي، يمكننا استخدام حقيقة أن قيمة محدد المصفوفة 𝐴 تساوي صفرًا، لكي نكتب
معادلة تتضمن 𝑘، ويمكننا حلها لإيجاد قيمة 𝑘.
دعونا نتذكر كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة ثلاثة في ثلاثة. بالنظر إلى هذه المصفوفة، نجد أن قيمة محددها هي 𝑎 مضروبًا في 𝑒𝑖
ناقص 𝑓ℎ، ناقص 𝑏 مضروبًا في 𝑑𝑖 ناقص 𝑓𝑔،
زائد 𝑐 مضروبًا في 𝑑ℎ ناقص 𝑒𝑔. فلننظر سريعًا من أين أتت هذه الصيغة.
عند محاولة إيجاد قيمة محدد مصفوفة ثلاثة في ثلاثة، نعلم أنه سيكون هناك ثلاثة حدود. وكل من هذه الحدود سيبدأ بالعنصر المقابل له في الصف الأول من المصفوفة. والعناصر هنا هي 𝑎، و𝑏، و𝑐. ونعلم أن إشارات هذه الحدود ستكون موجبًا ثم سالبًا ثم موجبًا. ومن هنا، حصلنا على علامة الناقص قبل الحد 𝑏.
ولكي نجد قيمة ما بين قوسي كل حد، نأخذ الجزء الأول — وفي حالة الحد الأول هو 𝑎 —
ونستبعد كل العناصر الموجودة في نفس صف وعمود 𝑎. فيتبقى لنا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، ومن ثم نوجد قيمة محددها. ونضرب 𝑎 في قيمة هذا المحدد. فنحصل على 𝑒𝑖 ناقص 𝑓ℎ داخل القوس.
ثم نكرر هذه العملية مع 𝑏. نستبعد كل العناصر الموجودة في صف وعمود 𝑏، ليتبقى لنا أربعة عناصر، تكون مصفوفة
رتبتها اثنان في اثنين. ونوجد قيمة محدد هذه المصفوفة ونضربها في 𝑏. ثم نكرر هذه العملية مع 𝑐. باستبعاد كل العناصر الموجودة معه في نفس الصف ونفس العمود، يتبقى لنا هذه المصفوفة ذات الرتبة
اثنين في اثنين، التي نوجد قيمة محددها، فنحصل على 𝑑ℎ ناقص 𝑒𝑔، الذي
نضربه في 𝑐.
والآن نحن جاهزون لاستخدام هذه الصيغة لإيجاد قيمة محدد المصفوفة 𝐴. وقد وجدنا أن قيمة محدد المصفوفة 𝐴 يساوي التالي. ستة مضروبًا في 24 في سالب 11 ناقص أربعة في 18، ناقص سالب
تسعة مضروبًا في 𝑘 في سالب 11 ناقص أربعة في 15، زائد واحد
مضروبًا في 𝑘 في 18 ناقص 24 في 15. ويمكننا ضرب ما بداخل الأقواس ليتبقى لنا ستة مضروبًا في سالب 264 ناقص
72، زائد تسعة مضروبًا في سالب 11𝑘 ناقص 60، زائد 18𝑘 ناقص 360. والآن نفك الأقواس ليتبقى لنا التالي. سالب 1584 ناقص 432 ناقص 99𝑘 ناقص 540 زائد
18𝑘 ناقص 360، ويمكن تبسيط ذلك إلى سالب 2916 ناقص
81𝑘.
وبذلك نكون قد توصلنا إلى معادلة لقيمة محدد المصفوفة 𝐴. لكننا أيضًا نعلم أن قيمة محدد المصفوفة 𝐴 تساوي صفرًا. ولذا، يمكننا أن نساوي هذه المعادلة بصفر. ثم نحلها لإيجاد قيمة 𝑘. ومن ثم، نحصل على 𝑘 يساوي سالب 36.
