تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الدالة العكسية

أحمد مدحت

يوضح الفيديو العلاقة العكسية، والدالة العكسية، وخاصية الدوال العكسية، واختبار الخط الأفقي لتحديد إذا كان معكوس الدالة يمثِّل دالةً أم لا، وأمثلة توضيحية.

٠٨:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن الدالة العكسية. لمّا بنتكلم عن العلاقة، بنقول إنها مجموعة من الأزواج المرتبة. وبتكون العلاقة العكسية ليها، عبارة عن مجموعة من الأزواج المرتبة. واللي بنحصل عليها من خلال تبديل إحداثيات كل زوج مرتب في العلاقة.

نفس الكلام نقدر نطبّقه على الدالة ومعكوسها. فلو كان معكوس الدالة بيمثّل دالة برضو، فإحنا بنسميه الدالة العكسية. وبنرمز للدالة العكسية للدالة د س، بالرمز اللي هيظهر لنا. والرمز ده بنقراه: الدالة العكسية للدالة د س. ونخلي بالنا إن سالب واحد اللي فوق الـ د دي مش أُس.

بعد كده هنشوف خاصية للدوال العكسية. بالنسبة للخاصية، فهي إن لو كان عندنا الدالة د، والدالة العكسية ليها، وكان كل واحدة فيهم دالة عكسية للتانية. فهتبقى الدالة د أ تساوي ب، إذا كانت الدالة العكسية للدالة د عند ب تساوي أ. فمثلًا لو عندنا الدالة د س تساوي س ناقص أربعة، والدالة العكسية للدالة د س تساوي س زائد أربعة. فلو جِبنا قيمة الدالة د عند س تساوي ستة، يعني هنجيب الدالة د ستة. فهنعوّض عن قيمة س، في الدالة د س، بستة. فهنلاقي إن قيمة الدالة د ستة بتساوي اتنين.

بعد كده لو جِبنا قيمة الدالة العكسية للدالة س، عند س تساوي اتنين. فإحنا هنعوّض مكان س في الدالة العكسية باتنين. فهنلاقي إن القيمة بتاعة الدالة العكسية، عند س تساوي اتنين، هي ستة. هنلاحظ إنه قيمة الدالة د س، عند س تساوي ستة، هي اتنين. في الوقت اللي فيه قيمة الدالة العكسية للدالة د س، عند س تساوي اتنين، هي ستة.

ولأن الدالة د س، والدالة العكسية للدالة د س؛ كل واحدة فيهم دالة عكسية للتانية. فمن الطبيعي إن تبقى قيمة الدالة د س، عند س تساوي ستة، هي اتنين. وقيمة الدالة العكسية للدالة س، عند س تساوي اتنين، هي ستة. وده تبعًا لخاصية الدوال العكسية.

هنقلب الصفحة. بالنسبة لمعكوس الدالة، لو بيمثّل دالة برضو، فهتبقى الدالة الأصلية عبارة عن دالة أُحادية. وإحنا كنّا بنستخدم اختبار الخط الرأسي؛ علشان نعرف إذا كانت العلاقة بتمثّل دالة ولّا لأ. وبالمثل نقدر نستخدم اختبار الخط الأفقي؛ علشان نحدّد إذا كان معكوس الدالة بيمثّل دالة ولّا لأ.

هيظهر لنا شكل. بالنسبة للشكل اللي عندنا، هو عبارة عن دالتين ممثّلتين بيانيًّا. الدالة الأولى هي الدالة د س. والدالة التانية هي الدالة ر س. وهنجري عليهم اختبار الخط الأفقي؛ علشان نحدّد إذا كان معكوس كل دالة فيهم بيمثّل دالة ولّا لأ. بالنسبة لاختبار الخط الأفقي، فإحنا هنشوف هل نقدر نرسم مستقيم أفقي، يقطع منحنى الدالة في أكتر من نقطة ولّا لأ. لو مش ممكن، هيبقى معكوس الدالة بيمثّل دالة. أمّا لو قدرنا نرسم مستقيم أفقي، بيقطع منحنى الدالة في أكتر من نقطة؛ بالتالي هيبقى معكوس الدالة مش بيمثّل دالة.

هنبدأ الأول بإن إحنا نجري اختبار الخط الأفقي على الدالة د س. بالنسبة للدالة د س، فهنلاقي إن إحنا مش هنقدر نرسم أيّ مستقيم أفقي، بيقطع منحنى الدالة في أكتر من نقطة. وده معناه إن معكوس الدالة هيمثّل دالة. بعد كده هنجري اختبار الخط الأفقي على الدالة ر س. بالنسبة للدالة ر س، هنلاقي إن إحنا نقدر نرسم مستقيم أفقي، يقطع منحنى الدالة في أكتر من نقطة، زي ما هيظهر لنا. وبالتالي معكوس الدالة ر س مش هيمثّل دالة.

بعد كده هنشوف مثال على إيجاد معكوس الدالة وتمثيله بيانيًّا، بس في الصفحة اللي جاية. فهنقلب الصفحة.

بالنسبة لمعكوس الدالة، فإحنا نقدر نوجده من خلال تبديل المجال والمدى. هيظهر لنا المثال علشان نفهم أكتر. عندنا في المثال عايزين نجيب معكوس الدالة د س، اللي بتساوي اتنين س ناقص خمسة. وكمان عايزين نمثّل الدالة ومعكوسها بيانيًّا على مستوى إحداثي واحد.

أول حاجة هنعملها، إن إحنا هنعيد كتابة الدالة كمعادلة، بدلالة المتغيرين س وَ ص. فإحنا عندنا الدالة د س تساوي اتنين س ناقص خمسة. هنعيد كتابتها في صورة معادلة بدلالة المتغيرين س وَ ص. فهتبقى عبارة عن ص تساوي اتنين س ناقص خمسة. الخطوة اللي بعد كده، إن إحنا هنبدّل بين كلٍّ من المتغير س والمتغير ص في المعادلة. يعني هنكتب ص مكان س، وَ س مكان ص. فلمّا هنبدل بين س وَ ص، فهيبقى عندنا س تساوي اتنين ص ناقص خمسة.

الخطوة اللي بعد كده، إن إحنا هنحل المعادلة دي بالنسبة للمتغير ص. فإحنا عندنا المعادلة س تساوي اتنين ص ناقص خمسة. وعلشان نحلها بالنسبة لـ ص، فإحنا أول حاجة هنتخلص من سالب خمسة، بإن إحنا هنضيف لطرفَي المعادلة خمسة. وبالتالي هيبقى عندنا س زائد خمسة يساوي اتنين ص.

بعد كده عايزين نتخلص من الاتنين اللي مضروبة في الـ ص. فهنقسم طرفَي المعادلة على اتنين. وبالتالي هيبقى عندنا ص تساوي س زائد خمسة، على اتنين. الخطوة اللي بعد كده إن إحنا هنبدّل ص، بالرمز بتاع الدالة العكسية للدالة د س. بكده هيبقى عندنا إن الدالة العكسية للدالة د س، تساوي س زائد خمسة، على اتنين. بكده نقدر نقول إن معكوس الدالة د س، اللي بتساوي اتنين س ناقص خمسة؛ هو الدالة العكسية للدالة س، اللي بتساوي س زائد خمسة، على اتنين.

بعد كده هنمثّل الدالة ومعكوسها بيانيًّا على مستوى إحداثي واحد، زي ما هيظهر لنا. هنلاحظ من خلال الشكل اللي عندنا، إن التمثيل البياني للدالة العكسية للدالة د س، انعكاس للتمثيل البياني للدالة د س، حوالين المستقيم ص تساوي س. هنلاحظ في المثال ده إن إحنا بدّلنا ص، برمز الدالة العكسية. وده لأن الدالة د س عبارة عن دالة خطية. فلمّا هنستخدم اختبار الخط الأفقي، هنلاقي إن معكوسها برضو هيكون عبارة عن دالة. وعلشان كده استخدمنا الرمز بتاع الدالة العكسية.

هنشوف مثال كمان في الصفحة اللي جاية، فهنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال.

في المثال اللي عندنا، عايزين نوجد معكوس الدالة د س، اللي بتساوي س تربيع زائد واحد. وكمان عايزين نمثّل بيانيًّا الدالة ومعكوسها على مستوى إحداثي واحد. هنبدأ بالخطوة الأولى، واللي هنعيد فيها كتابة الدالة، كمعادلة بدلالة المتغيرين س وَ ص. فبالنسبة للدالة اللي عندنا، فهي د س. وبتساوي س تربيع زائد واحد. لمّا هنكتبها في صورة معادلة بدلالة المتغيرين س وَ ص، هتبقى عبارة عن ص تساوي س تربيع زائد واحد.

بعد كده هنبدل ما بين كلٍّ من المتغير س والمتغير ص في المعادلة. يعني هنكتب ص مكان س، وَ س مكان ص. فهيبقى عندنا المعادلة س تساوي ص تربيع زائد واحد. بعد كده هنحل المعادلة اللي عندنا بالنسبة لـ ص. فالمعادلة هي س بتساوي ص تربيع زائد واحد. فهنطرح من طرفَي المعادلة واحد. وبالتالي هيبقى عندنا س ناقص واحد تساوي ص تربيع. هناخد الجذر التربيعي للطرفين. وبالتالي هيبقى عندنا ص تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ س ناقص واحد. بكده نقدر نقول إن معكوس الدالة د س اللي بتساوي س تربيع زائد واحد، هيبقى ص تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ س ناقص واحد.

هنبدأ بعد كده إن إحنا نمثّل الدالة د س بيانيًّا. وبعد كده هنمثّل العلاقة ص تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ س ناقص واحد. من خلال إن إحنا هنعمل انعكاس للتمثيل البياني بتاع الدالة د س، حوالين المستقيم اللي معادلته هي ص تساوي س. زي ما هيظهر لنا.

هنلاحظ إن إحنا في المثال ده ما بدّلناش ص برمز الدالة العكسية. وده لأن اختبار الخط الأفقي للدالة، وضّح وبيّن إن معكوس الدالة مش هيمثّل دالة.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا معكوس الدالة. وعرفنا إن معكوس الدالة لو بيمثّل دالة، فإحنا بنسميه دالة عكسية. وعرفنا كمان رمز الدالة العكسية. بعد كده عرفنا خاصية الدوال العكسية. وكمان عرفنا إزاي نقدر نحدّد إذا كان معكوس الدالة، هيبقى بيمثّل دالة ولّا لأ. من خلال اختبار الخط الأفقي، واللي كنا بنعمله من خلال إن إحنا بنشوف، هل هنقدر نرسم مستقيم أفقي، يقطع منحنى الدالة في أكتر من نقطة ولّا لأ. لو ما قدرناش نقطع منحنى الدالة في أكتر من نقطة، معنى كده إن معكوس الدالة هيمثّل دالة. أمّا لو قدرنا نقطع منحنى الدالة في أكتر من نقطة، فمعكوس الدالة مش هيمثّل دالة.