فيديو السؤال: حساب زاوية انحراف شعاع ضوئي يمر خلال منشور ثلاثي الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل مسار شعاع ضوئي يمر خلال منشور ثلاثي محاط بالهواء معامل انكساره 1.5. الزاوية ‪Φ‬‏ واحد تساوي 42 درجة، وزاوية رأس المنشور ‪𝐴‬‏ تساوي 58 درجة. أوجد قياس الزاوية ‪𝛼‬‏، لأقرب درجة.

في الشكل لدينا، نرى الزاوية ‪𝛼‬‏ مشارًا إليها هنا. من الناحية الفيزيائية، تشير الزاوية ‪𝛼‬‏ إلى الفرق بين الاتجاه الأصلي للشعاع الضوئي والاتجاه النهائي له بعد انكساره خلال المنشور. قبل أن نتمكن من حساب ‪𝛼‬‏، علينا تكوين معادلة لها بدلالة المعلومات الأخرى المعطاة في السؤال. يوضح الشكل أيضًا زاوية رأس المنشور ‪𝐴‬‏، وزاوية السقوط الابتدائية ‪Φ‬‏ واحد، وزاوية الانكسار الابتدائية ‪𝜃‬‏ واحد، وكذلك زاوية السقوط النهائية ‪Φ‬‏ اثنين، وزاوية الانكسار النهائية ‪𝜃‬‏ اثنين للشعاع.

علمنا من المعطيات أن ‪Φ‬‏ واحد تساوي 42 درجة، وزاوية رأس المنشور ‪𝐴‬‏ تساوي 58 درجة. علمنا أيضًا أن معامل انكسار المنشور يساوي 1.5، وأن المنشور محاط بالهواء، الذي معامل انكساره يساوي 1.0. بمعلومية كل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونعمل على كتابة الزاوية ‪𝛼‬‏ بدلالة المتغيرات الأخرى في السؤال.

حسنًا، دعونا نبدأ بالتركيز على هذا المثلث المحدد باللون البرتقالي، ثم نرسم شكلًا مكبرًا للمثلث ونبدأ في تسمية زواياه الداخلية. بما أن هذه الزاوية الموضحة هنا هي ‪𝛼‬‏، فلا بد أن هذا يعني أن قياس هذه الزاوية يساوي 180 درجة ناقص ‪𝛼‬‏. وذلك لأن مجموع قياسي هاتين الزاويتين لا بد أن يساوي 180 درجة. بمعلومية أن هذه الزاوية هي ‪Φ‬‏ واحد وهذه الزاوية هي ‪𝜃‬‏ واحد، يمكننا تعريف هذه الزاوية الداخلية للمثلث على أنها تساوي ‪Φ‬‏ واحد ناقص ‪𝜃‬‏ واحد. وأخيرًا، بمعرفة أن هذه الزاوية هي ‪𝜃‬‏ اثنان وهذه الزاوية هي ‪Φ‬‏ اثنان، يمكننا استنتاج أن هذه الزاوية الداخلية للمثلث تساوي ‪𝜃‬‏ اثنين ناقص ‪Φ‬‏ اثنين.

دعونا نتذكر الآن أنه لأي شكل ثلاثي الأضلاع، وهو المثلث، إذا جمعنا قياسات زواياه الداخلية، فسنحصل دائمًا على 180 درجة. بتطبيق هذه القاعدة على الزوايا الداخلية لهذا المثلث، يمكننا كتابة هذه المعادلة. في هذه المعادلة، ‪Φ‬‏ واحد ناقص ‪𝜃‬‏ واحد هي إحدى الزوايا، و 180 درجة ناقص ‪𝛼‬‏ هي زاوية أخرى، و‪𝜃‬‏ اثنان ناقص ‪Φ‬‏ اثنين هي الزاوية الثالثة. ولعلنا نلاحظ أن القيمة 180 درجة تظهر في طرفي هذه المعادلة. هذا يعني أننا إذا طرحنا 180 درجة من كلا الطرفين، فسيحذف هذا العدد تمامًا.

الخطوة الآتية في المعادلة التي حصلنا عليها هي إضافة الزاوية ‪𝛼‬‏ إلى الطرفين لنحصل على ‪𝛼‬‏ ناقص ‪𝛼‬‏ على اليسار يساوي صفرًا، وهذا يعطينا هذه المعادلة التي إذا عكسنا طرفيها الأيمن والأيسر، نجد أن الزاوية ‪𝛼‬‏ تساوي ‪𝜃‬‏ اثنين ناقص ‪Φ‬‏ اثنين زائد ‪Φ‬‏ واحد ناقص ‪𝜃‬‏ واحد. من بين كل هذه القيم في الطرف الأيمن لهذه المعادلة، لا نعرف إلا قيمة واحدة، وهي ‪Φ‬‏ واحد. ومن ثم، فإننا لا نعلم بعد ما يكفي لإيجاد قياس الزاوية ‪𝛼‬‏.

دعونا نواصل العمل في هذا الاتجاه باستخدام حقيقة أننا نعرف زاوية رأس المنشور ‪𝐴‬‏. هيا نمسح الشكل المكبر للمثلث البرتقالي ثم نفكر في هذا الشكل الرباعي الوردي داخل المنشور. إحدى الزوايا الداخلية لهذا الشكل الرباعي الأضلاع هي زاوية رأس المنشور ‪𝐴‬‏. ونرى زاوية داخلية أخرى هنا، وهي زاوية قائمة. هذا لأن هذه الزاوية معرفة بسطح المنشور وبخط عمودي عليه. وينطبق الأمر نفسه على الزاوية المقابلة في الشكل الرباعي. أما الزاوية الداخلية الأخيرة في هذا الشكل الرباعي الأضلاع، فهي هذه الزاوية غير المسماة هنا.

عندما يكون لدينا شكل رباعي الأضلاع، إذا جمعنا قياسات زواياه الداخلية الأربعة، فسنحصل على ناتج يساوي 360 درجة. هذا يختلف عن الناتج الذي نحصل عليه في حالة المثلث. إذن، يمكننا قول إن ‪𝐴‬‏، أي زاوية رأس هذا الشكل الرباعي؛ زائد 90 درجة، أي قياس هذه الزاوية الداخلية الأخرى؛ زائد 90 درجة، أي قياس هذه الزاوية الداخلية؛ زائد الزاوية الداخلية الرابعة المجهولة، التي سنترك مكانها خاليًا في الوقت الحالي؛ يساوي 360 درجة.

‏90 درجة زائد 90 درجة يساوي 180 درجة. بطرح هذه الزاوية من طرفي المعادلة، نجد أن 180 درجة ناقص 180 درجة في الطرف الأيسر يساوي صفرًا. وفي الطرف الأيمن، نحصل على 180 درجة. وأخيرًا، إذا طرحنا زاوية الرأس ‪𝐴‬‏ من كلا الطرفين، ومن ثم يمكننا حذف هذه الزاوية من الطرف الأيسر، فإننا نكون قد أوجدنا الزاوية المجهولة في الشكل الرباعي. وهي تساوي 180 درجة ناقص ‪𝐴‬‏.

مع وضع ذلك في الاعتبار، دعونا ننتقل الآن إلى هذا المثلث المحدد باللون الأخضر. يبدو الشكل المكبر لهذا المثلث هكذا، وزواياه الداخلية هي ‪𝜃‬‏ واحد و‪Φ‬‏ اثنان و 180 درجة ناقص ‪𝐴‬‏. دعونا الآن نتذكر قاعدة المثلثات التي استخدمناها سابقًا. إذا جمعنا الزوايا الداخلية الثلاث في المثلث، فسنجد أن مجموع قياساتها يساوي 180 درجة. بطرح 180 درجة من طرفي المعادلة، تحذف هذه الزاوية تمامًا. وإذا أضفنا بعد ذلك الزاوية ‪𝐴‬‏ إلى طرفي هذه المعادلة، بحيث تلغى هذه الزاوية على اليسار، فسنحصل على معادلة لزاوية رأس المنشور ‪𝐴‬‏ بدلالة ‪𝜃‬‏ واحد و‪Φ‬‏ اثنين.

لعلنا نلاحظ أن معادلة الزاوية ‪𝛼‬‏ تتضمن كلًّا من ‪𝜃‬‏ واحد و‪Φ‬‏ اثنين. يمكننا تجميع المتغيرات الموجودة في الطرف الأيمن من هذه المعادلة حتى يمكننا كتابتها على الصورة ‪𝜃‬‏ اثنان زائد ‪Φ‬‏ واحد ناقص ‪𝜃‬‏ واحد زائد ‪Φ‬‏ اثنين. لاحظنا للتو أن زاوية رأس المنشور ‪𝐴‬‏ تساوي ‪𝜃‬‏ واحد زائد ‪Φ‬‏ اثنين. لذا، إذا عوضنا عنهما بـ ‪𝐴‬‏، فسنحصل على معادلة للزاوية ‪𝛼‬‏ بدلالة المتغيرات ‪𝜃‬‏ اثنين و‪Φ‬‏ واحد و‪𝐴‬‏. وهذا بلا شك يمثل تقدمًا لأنه، كما رأينا، معطى لدينا ‪Φ‬‏ واحد و‪𝐴‬‏.

لإيجاد قيمة ‪𝛼‬‏، فإن آخر قيمة علينا حسابها هي ‪𝜃‬‏ اثنان. دعونا إذن نضع معادلة ‪𝛼‬‏ جانبًا في الوقت الحالي، ونفرغ بعض المساحة على الشاشة ثم نفكر في كيفية إيجاد زاوية الانكسار الثانية ‪𝜃‬‏ اثنين. ولمساعدتنا في ذلك، يمكننا استخدام قانون البصريات المعروف باسم «قانون سنل». ينص هذا القانون على أنه عند سقوط شعاع ضوئي على سطح فاصل بين مادتين مختلفتين في خواصهما البصرية، فإن معامل انكسار المادة التي ينتقل منها الشعاع، أي ‪𝑛𝑖‬‏، مضروبًا في ‪sin‬‏ زاوية السقوط ‪𝜃𝑖‬‏، يساوي معامل انكسار المادة التي ينتقل إليها الشعاع، أي ‪𝑛𝑟‬‏، مضروبًا في ‪sin‬‏ زاوية الانكسار ‪𝜃𝑟‬‏.

ولعلنا نلاحظ أنه في شكل المنشور، ‪𝜃‬‏ اثنان، وهي الزاوية التي نريد إيجادها، تعد زاوية انكسار لهذا الشعاع الضوئي. إذا ركزنا على ما يحدث للشعاع الضوئي هنا، حيث يخرج من المنشور ويدخل الهواء، فوفقًا لقانون سنل، يمكننا كتابة أن 1.5، وهو معامل انكسار المنشور؛ مضروبًا في ‪sin Φ‬‏ اثنين، أي زاوية السقوط في هذه الحالة؛ يساوي معامل انكسار الهواء، أي 1.0 ؛ مضروبًا في ‪sin 𝜃‬‏ اثنين، وهي زاوية انكسار هذا الشعاع. بمعلومية أننا نريد إيجاد ‪𝜃‬‏ اثنين في هذه المعادلة، نجد أننا لا نستطيع ذلك لأننا لا نعرف ‪Φ‬‏ اثنين.

لكن بالعودة إلى المثلث الأخضر لدينا، يمكننا إيجاد ‪Φ‬‏ اثنين إذا كانت لدينا الزاوية ‪𝜃‬‏ واحد وهذه الزاوية هنا. وفي الحقيقة، نحن نعرف بالفعل الزاوية الثانية. فقد أوجدناها سابقًا، وهي تساوي 180 درجة ناقص ‪𝐴‬‏. لذا، إذا استطعنا إيجاد ‪𝜃‬‏ واحد، فيمكننا إضافة تلك الزاوية إلى هذه الزاوية هنا واستخدام هذا المجموع لإيجاد ‪Φ‬‏ اثنين.

لكن الطريقة الوحيدة لإيجاد ‪𝜃‬‏ واحد هي استخدام تطبيق آخر لقانون سنل. دعونا الآن نحول انتباهنا إلى ما يحدث للشعاع الضوئي عند انتقاله من الهواء إلى المنشور. في هذه الحالة، لدينا 1.0، وهو معامل انكسار الهواء الذي ينتقل فيه الشعاع في الأصل؛ مضروبًا في ‪sin‬‏ زاوية السقوط الأصلية، ‪Φ‬‏ واحد. ينص قانون سنل على أن هذا يساوي معامل انكسار المنشور، أي 1.5 ؛ مضروبًا في ‪sin‬‏ زاوية الانكسار، ‪𝜃‬‏ واحد. نريد هنا إيجاد ‪𝜃‬‏ واحد. وفي هذه المسألة، نعرف قياس الزاوية ‪Φ‬‏ واحد بالفعل. فقد علمنا من المعطيات أن قياس هذه الزاوية يساوي 42 درجة.

لنفعل ذلك إذن. دعونا نقسم طرفي هذه المعادلة على 1.5، وبهذا يمكننا حذف هذا العامل من الطرف الأيمن. بعد ذلك، يمكننا أن نجعل الزاوية ‪𝜃‬‏ واحد في طرف بمفردها بأخذ الدالة العكسية للجيب لطرفي المعادلة. في الطرف الأيمن، دالة الجيب العكسية لجيب الزاوية تساوي ببساطة الزاوية نفسها. وهذا يعني أن لدينا الآن معادلة تكون فيها ‪𝜃‬‏ واحد في طرف بمفردها. ‏‪𝜃‬‏ واحد تساوي الدالة العكسية لـ ‪sin‬‏لـ 1.00 في ‪sin Φ‬‏ واحد مقسومًا على 1.5. والآن، يمكننا استخدام حقيقة أن قياس الزاوية ‪Φ‬‏ واحد يساوي 42 درجة.

بإجراء هذا التعويض، عندما نحسب ‪𝜃‬‏ واحد، نحصل على ناتج تقريبي يساوي 26.49 درجة. دعونا نبق هذا الناتج جانبًا ونفرغ بعض المساحة، ثم نرجع مرة أخرى إلى هذا المثلث الأخضر وزواياه الداخلية. وهذه الزوايا الداخلية، كما رأينا سابقًا، هي ‪𝜃‬‏ واحد، و 180 درجة ناقص ‪𝐴‬‏، و‪Φ‬‏ اثنان. وفقًا لقاعدة المثلثات، عند جمع هذه الزوايا الثلاث معًا، لا بد أن نحصل على 180 درجة. إذا طرحنا 180 درجة من طرفي المعادلة، فسيحذف قياس هذه الزاوية تمامًا. ومن ثم، نحصل على هذه المعادلة، حيث نلاحظ أن لدينا قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ واحد وقياس الزاوية ‪𝐴‬‏ أيضًا.

إذا أضفنا بعد ذلك ‪𝐴‬‏ وطرحنا ‪𝜃‬‏ واحد من طرفي هذه المعادلة، فسيمكننا حذف هذين الحدين من الطرف الأيسر. وبذلك، نجد أن ‪Φ‬‏ اثنين تساوي ‪𝐴‬‏ ناقص ‪𝜃‬‏ واحد. ‏‪𝐴‬‏ تساوي 58 درجة، و‪𝜃‬‏ واحد تساوي 26.49 درجة تقريبًا، وهذا يعطينا زاوية قياسها 31.51 درجة لـ ‪Φ‬‏ اثنين. يمكننا التعويض بهذه الزاوية عن ‪Φ‬‏ اثنين في معادلة قانون سنل الأصلية. ونلاحظ أننا نعرف الآن كل شيء في هذه المعادلة باستثناء الزاوية ‪𝜃‬‏ اثنين. وهي الزاوية التي نريد إيجادها؛ لأننا إذا عرفنا قياسها، فسنعرف آخر قيمة مجهولة في معادلة الزاوية ‪𝛼‬‏، وهذا ما نريد إيجاده.

بالنظر إلى الطرف الأيمن من هذه المعادلة، نلاحظ أننا نضرب ‪sin 𝜃‬‏ اثنين في 1.0، وهذا لا يغير هذه القيمة على الإطلاق؛ لذا يمكننا حذفه. ومن ثم، إذا أخذنا الدالة العكسية للجيب لطرفي المعادلة، فإن الدالة العكسية لـ ‪sin‬‏ لـ ‪sin 𝜃‬‏ اثنين تساوي ‪𝜃‬‏ اثنين فقط. إذن، ‪𝜃‬‏ اثنان تساوي الدالة العكسية لـ ‪sin‬‏لـ 1.5 في sin 31.51. بحساب هذه الزاوية، نحصل على 51.63 درجة.

بالعودة إلى معادلة الزاوية ‪𝛼‬‏، نجد أننا نعرف الآن قيمة كل من ‪𝜃‬‏ اثنين و‪Φ‬‏ واحد والزاوية ‪𝐴‬‏. بالتعويض بهذه القيم، نجد أن ‪𝛼‬‏ تساوي 51.63 درجة زائد 42 درجة ناقص 58 درجة. وهذا يساوي 35.63 درجة، أو 36 بالتقريب لأقرب درجة. إذن، هذه هي زاوية انحراف الشعاع الضوئي بسبب انكساره، مقربة لأقرب درجة.