نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، موضوعنا هو جاذبية السطح. يشير هذا المصطلح إلى عجلة الجاذبية التي تؤثر على جميع الأجسام الموجودة على سطح جسم كروي كبير أو بالقرب منه. فجاذبية السطح، على سبيل المثال، هي التي تجذبنا وكذلك تجذب الأجسام المحيطة بنا إلى مركز الأرض.
يمكننا أن نعرف مصدر جاذبية السطح بالنظر إلى اثنين من قوانين الفيزياء. وضع كلا القانونين إسحاق نيوتن، وأحد هذه القوانين هو قانون الجاذبية. وينص هذا القانون على أن قوة الجاذبية بين كتلتين، يشار إلى إحداهما بحرف 𝑀 كبير وإلى الأخرى بحرف 𝑚 صغير، تساوي حاصل ضرب هاتين الكتلتين في ثابت الجذب العام، ويشار إليه بحرف 𝐺 كبير، مقسومًا على مربع المسافة بين مركزي الكتلتين. وهذا ما يسمى أحيانًا بقانون الجذب العام لأن هاتين الكتلتين، ونشير إليهما بحرفي 𝑚 الصغير والكبير، قد تكونان كتلتي أي جسمين. وبغض النظر عما يمثلانه، فإن هذه المعادلة تخبرنا بقوة الجاذبية بين الكتلتين.
قانون نيوتن الآخر الذي سنتناوله هو قانونه الثاني للحركة. وينص هذا القانون على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلته. ومن أحد الشروط المهمة لقانون نيوتن الثاني للحركة هو أن هذه القوة هي القوة المحصلة المؤثرة على الكتلة 𝑚. بعد أن عرفنا ذلك، هيا نتخيل موقفًا لدينا فيه كتلة نشير إليها بحرف 𝑚. والقوة المحصلة، وهي القوة الوحيدة المؤثرة على هذا الجسم، هي قوة الجاذبية بينه وبين كتلة أخرى، نشير إليها بحرف 𝑀 كبير. بعبارة أخرى، تخيل أن هاتين الكتلتين، حرف 𝑚 الصغير وحرف 𝑀 الكبير، هما الكتلتان الوحيدتان في الكون.
في هذه الحالة، ستكون القوة الوحيدة المؤثرة على هذه الكتلة الأصغر هي قوة الجاذبية بينها وبين الكتلة الأكبر. وبذلك يمكننا القول بأن القوة المحصلة المؤثرة على الكتلة، 𝑚، تساوي قوة الجاذبية المؤثرة عليها. وهذا يعني أن الطرف الأيمن من معادلة قانون الجاذبية يساوي الطرف الأيمن من معادلة القانون الثاني. وعند النظر إلى هذه المعادلة الجديدة، نلاحظ المشترك بين الطرفين. إنها الكتلة، التي يشار إليها بحرف 𝑚 صغير. هذا يعني أننا إذا قسمنا طرفي المعادلة على هذه الكتلة، فستحذف.
وتنص المعادلة المتبقية لدينا على أن ثابت الجذب العام في كتلة الجسم الأكبر، التي يشار إليها بحرف 𝑀 كبير، مقسومًا على مربع المسافة بين مركزي الكتلتين يساوي العجلة التي اكتسبتها الكتلة الأصغر، 𝑚. ولاحظ شيئًا آخر مثيرًا للاهتمام في هذه المعادلة. إنها لا تعتمد على قيمة الكتلة الأصغر، أي إن حرف 𝑚 الصغير غير موجود في المعادلة. ولا يعني هذا أن موضع هذا الجسم ذي الكتلة التي نشير إليها بحرف 𝑚 غير مهم. لأننا نرى في مقام الطرف الأيسر القيمة 𝑟. وتذكر أن هذه هي المسافة بين الكتلتين.
إذن عجلة هذا الجسم ذي الكتلة 𝑚 لا تعتمد على هذه الكتلة، بل تعتمد على موضع الجسم بالنسبة إلى الكتلة الأكبر، 𝑀. للتذكير، قوة الجاذبية التي نتحدث عنها هي قوة متبادلة بين هاتين الكتلتين. فمقدار القوة المؤثرة على هذا الجسم يساوي مقدار القوة المؤثرة على هذا الجسم. سنكتب قانون الحركة الثاني بشكل مختلف قليلًا، في هذه الحالة، لتسليط الضوء على الكتلة الأكبر 𝑀. وعند دمج معادلة القوة هذه وقانون الجاذبية، سنجد أن الكتلة الأكبر، الكتلة الممثلة بحرف 𝑀 كبير، تحذف من هذه المعادلة. والعجلة، التي سنرمز لها بحرف 𝑎، هي العجلة التي اكتسبتها هذه الكتلة الأكبر، 𝑀.
لإكمال المسألة، ننتقل إلى هنا ونحدد أن هذه العجلة هي العجلة التي اكتسبتها الكتلة الأصغر، 𝑚. لاحظ هنا أنه نتيجة لقوة الجاذبية المتبادلة بين هذين الجسمين، فإن الجسمين يتحرك كل منهما بعجلة تجاه الآخر. ولكن عجلتي هاتين الجسمين ليستا متساويتين على الرغم من أن مقدار القوة المؤثرة على كل منها واحد. فعجلة كل جسم تعتمد على كتلة الجسم الآخر، وأيضًا المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين.
والآن هذه العلاقة، التي تنطبق عمومًا على أي كتلتين، تفيدنا على وجه الخصوص عندما تشير الكتلة الأكبر — التي نشير إليها بحرف 𝑀 — إلى كتلة جسم كروي كبير جدًّا، مثل كوكب أو قمر. ويكون الجسم الأصغر، الذي نشير له بالحرف الصغير 𝑚، موجودًا على سطح الجسم الأكبر أو بالقرب منه. أحد الأمثلة الرائعة على ذلك هو وجود شخص، لنفترض أنه شخص منا، يقف على سطح الأرض. إذا قلنا إن الكتلة يمثلها حرف 𝑚 صغير، وكتلة الأرض يمثلها حرف 𝑀 كبير، فإن هذه المعادلة ستصف العجلة التي نكتسبها عند الوقوف على سطح الأرض. بعبارة أخرى هذه هي الجاذبية على سطح الأرض.
ولاحظ أنه كما ذكرنا من قبل لا تعتمد هذه العجلة على كتلتنا. إذن هذه العجلة 𝑎 هي العجلة التي يكتسبها أي جسم على سطح الأرض أو بالقرب منه. علينا أن نكون حريصين عندما نقول ذلك. إذ نتذكر أن 𝑟 هنا يمثل المسافة بين مركز كتلة الأرض، حيث تتركز الكتلة كلها، وبين موضعنا على سطح الأرض.
عمليًّا إذا كان علينا القيام بشيء، صعود سلم على سبيل المثال، فإن هذه المسافة، التي يمثلها 𝑟، ستزيد وسيسبب ذلك انخفاض العجلة التي نكتسبها، أي جاذبية سطح الأرض. يتضح أنه بالنسبة إلى التغيرات الطفيفة في الارتفاع كهذه، تظل هذه المعادلة قريبة من الصحة لدرجة أننا نعتبرها دقيقة بالأساس. بعبارة أخرى، الفرق في المسافة بين نصف قطر الأرض ونصف قطر الأرض زائد هذه المسافة الصغيرة التي صعدناها ضئيل جدًّا لدرجة لا تؤثر على العجلة التي نكتسبها.
وبذلك يمكننا القول إن هذه العجلة تساوي عجلة الجاذبية التي يكتسبها أي جسم يوجد على سطح الأرض أو بالقرب منها. ولهذا فإن جميع الأجسام الواقعة بالقرب من هذا السطح تسقط بالعجلة نفسها أيًّا كانت كتلتها. بالمناسبة، في الحالة المحددة التي نتحدث فيها عن جاذبية الأرض، فإن هذه العجلة، التي رمزنا لها بـ 𝑎𝑚، لها رمز محدد. وهو حرف 𝑔 صغير. نتذكر أن قيمة الحرف 𝑔 الصغير تساوي حوالي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.
وهذا هو ما نحصل عليه إذا ضربنا كتلة الأرض في ثابت الجذب العام، ثم قسمنا ناتج هذا الضرب على مربع نصف قطر الأرض. جرب ذلك بنفسك ولاحظ. بعد أن عرفنا كل هذا عن عجلة الجاذبية، هيا نتدرب على هذه الأفكار من خلال مثال.
يوجد الجسمان؛ الجسم A وكتلته خمسة كيلوجرامات، والجسم B وكتلته 100 كيلوجرام، بالقرب من جسم أكبر كتلته 10 أس 20 كيلوجرام. يوجد الجسم A والجسم B على بعد مسافتين متساويتين مقدار كل منهما 100 كيلومتر من مركز كتلة الجسم الأكبر. ما مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم A؟ أوجد الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.
حسنًا، بالنظر إلى الرسم، نرى جسمًا وزنه خمسة كيلوجرامات. لا بد أن هذا هو الجسم A. كما نرى كتلة 100 كيلوجرام. لا بد أنها للجسم B. يتآثر الجسم A والجسم B بفعل الجاذبية مع هذا الجسم الكروي الأكبر. الآن يمثل هذا الجسم بمستطيل لا يزيد حجمه بكثير عن A وB. لكن يمكننا أن نتخيل أن هذا الجسم كبير جدًّا لدرجة أنه لا يمكن أن يلائم الشاشة بهذا المقياس. ولدينا إشارة على ذلك لأن كتلة الجسم كبيرة جدًّا.
إذن يمكننا التفكير في هذه الأجسام الثلاثة: A وB والجسم الكروي الكبير كما لو أن الجسم الكروي الكبير هو الأرض، والجسم B، على سبيل المثال، هو شخص، والجسم A هو كتاب يحمله الشخص. وهذا تقريبًا المقياس الذي نتحدث عنه عند التفكير في هذه الأجسام الثلاثة. يقول السؤال الأول في هذا المثال: ما مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم A؟
عند البدء في إيجاد ذلك، هيا نكتب بعض المعطيات. أولًا، نعلم أن كتلة الجسم الكروي الكبير، التي نرمز لها بحرف 𝑀 كبير، تساوي 10 أس 20 كيلوجرام. كما نعلم أن المسافة بين مركز كتلة هذا الجسم الكروي الكبير، أي النقطة التي تتركز عندها كتلته فعليًّا، وكل من الجسمين الآخرين، A وB، هي نفسها. إنها 100 كيلومتر. سنسمي هذه المسافة 𝑟. وكما نرى، فالأمر نفسه ينطبق على الجسمين A وB بالنسبة إلى الجسم الكروي الكبير. بعد كتابة هذه القيم، دعونا نفرغ بعض المساحة ثم نفكر مرة أخرى في المسألة.
نريد أن نعرف مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الكروي الكبير على الجسم A، وهو هذا الجسم. لنتذكر إذن المعادلة العامة، التي تسمى قانون نيوتن للجاذبية، والتي تصف قوة الجاذبية بين جسمين لهما كتلتان. تخبرنا هذه المعادلة أن هذه القوة تساوي حاصل ضرب هاتين الكتلتين. وسنرمز لهما بحرف 𝑚 كبير وآخر صغير على الترتيب. وذلك مضروبًا في ثابت الجذب العام، 𝐺، مقسومًا على مربع المسافة بين الكتلتين.
الآن ثابت الجذب 𝐺 يساوي تقريبًا 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية تربيع. إذن إذا أردنا معرفة قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم A، ويمكننا أن نطلق على هذه القوة 𝐹A، فسنضرب هذا الثابت في كتلة الجسم الأكبر. ثم نضرب ذلك في كتلة الجسم A، التي سنطلق عليها 𝑚A، ونقسم كل ذلك على مربع المسافة بين مركزي كتلة الجسم A والجسم الكروي الكبير.
عندما نعوض بقيم كل هذه المتغيرات، سنصبح على وشك الاقتراب من حساب مقدار هذه القوة، ولكن سينقصنا شيء واحد فقط. لاحظ أن المسافة في المقام بوحدة الكيلومتر. ولكي تتفق مع وحدات المسافة في باقي التعبير، نريد تحويلها إلى أمتار. لعلنا نتذكر أن الكيلومتر الواحد يساوي 1000 متر، ومن ثم فإن 100 كيلومتر يساوي 100000 متر. بعد أن عرفنا كل ذلك، عند إيجاد قيمة هذا الكسر لثلاثة أرقام معنوية، نجد أن الناتج يساوي 3.34 نيوتن. وهذا هو مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم A.
والآن هيا نتناول السؤال التالي في هذا التدريب.
ما عجلة الجسم A في اتجاه الجسم الأكبر؟ أوجد الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.
حسنًا، لقد حسبنا قوة الجاذبية بين هذين الجسمين. والآن نريد حساب مقدار عجلة الجسم A. يمكننا البدء في ذلك بتذكر قانون نيوتن الثاني للحركة. وينص هذا القانون على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي كتلة هذا الجسم في عجلته. العجلة، في حالة الجسم A، هي ما نريد إيجاد قيمته. وإليك كيفية القيام بذلك. كما رأينا، ينص قانون نيوتن الثاني على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي كتلة هذا الجسم في عجلته.
عندما نفكر في القوى المؤثرة على الجسم A، نجد أن هناك قوتين. إحداهما هي قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم B، والأخرى هي قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الكروي الكبير. لكن سنوضح الآن أمرًا. قوة الجاذبية بين A وB أصغر بكثير جدًّا من قوة الجاذبية بين A والجسم الكروي الكبير. وهذا لأن كتلة الجسم B صغيرة جدًّا مقارنة بكتلة الجسم الأكبر. يمكننا القول إذن إن قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم A هي القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم A.
ويعني هذا أنه يمكننا القول إن هذه المعادلة تساوي كتلة الجسم A مضروبة في عجلة الجسم A. وسنطلق عليها 𝑎 A. ولاحظ أننا حصلنا على هذا التعبير باستخدام قانون نيوتن الثاني. لكن الآن بينما نفكر في هذه المعادلة، نلاحظ أن كتلة الجسم A تظهر في الطرفين، ومن ثم يمكننا حذفها منهما. إذا فعلنا ذلك، فستنتج هذه المعادلة. عجلة الجسم A تساوي ثابت الجذب العام مضروبًا في كتلة الجسم الأكبر مقسومًا على مربع المسافة بين مركزي كتلة الجسم A والجسم الأكبر.
والآن عندما ننظر إلى هذا الجزء من التعبير، نرى أنه يساوي هذا التعبير إذا حذفنا كتلة الجسم، وهو في هذه الحالة الجسم A. بعد استبعاد هذه الكتلة، نلاحظ أن لدينا ثابت الجذب، بحرف 𝐺 كبير، مضروبًا في كتلة الجسم الأكبر مقسومًا على 𝑟 تربيع. وهو ما يطابق العوامل التي نراها هنا في الطرف الأيمن من هذه المعادلة. بعد ذلك إذا حسبنا كل ذلك، فسنوجد قيمة عجلة الجسم A الناتجة عن الجسم الأكبر. لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، ستساوي 0.667 متر لكل ثانية مربعة. هذه هي عجلة الجسم A باتجاه الجسم الأكبر.
والآن لنلق نظرة على الجزء التالي من التدريب.
ما مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم B؟ أوجد الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.
حسنًا، فكرنا قبل قليل في قوة الجاذبية بين الجسم A والجسم الكروي الكبير، والآن سنفكر في هذه القوة بين الجسم الأكبر والجسم B. مرة أخرى سنستخدم قانون نيوتن للجاذبية لإيجاد مقدار هذه القوة. ولكن هذه المرة بدلًا من إيجاد القوة المؤثرة على الجسم A، سنوجد القوة المؤثرة على الجسم B. وسنفترض أن كتلة هذا الجسم تساوي 𝑚B. ونظرًا لأن كلا الجسمين A وB يقعان على مسافة واحدة من مركز كتلة الجسم الكروي الكبير، فلن نغير 𝑟، أي المسافة بين مركزي كتلة الكتلتين في المعادلة. وهو ما يعني أنه عند حساب هذه القوة، 𝐹B، باستخدام تعبير كهذا، فسيكون كل ما علينا فعله هو التعويض بكتلة الجسم B حيث عوضنا بكتلة الجسم A.
نعرف أن هذه الكتلة تساوي 100 كيلوجرام. وبذلك، يصبح لدينا تعبير عند إيجاد قيمته سينتج لنا قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الكروي الكبير على الجسم B. لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، تساوي هذه القوة 66.7 نيوتن. ولاحظ أن هذا أكبر من مقدار القوة المؤثرة على الجسم A. في الواقع إنها أكبر 20 مرة لأن كتلة الجسم B أكبر 20 مرة من الجسم A.
والآن بعد أن توصلنا إلى هذا، لننظر إلى الجزء الأخير من المسألة.
ما عجلة الجسم B في اتجاه الجسم الأكبر؟ أوجد الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.
للإجابة عن هذا السؤال سنستخدم مرة أخرى قانون نيوتن الثاني للحركة. ومثلما فعلنا مع الجسم A، نفترض أيضًا أن قوة الجاذبية بين الجسمين A وB ضئيلة جدًّا، مقارنة بمقدار هذه القوة بين الجسم B والجسم الأكبر. ويعني هذا أنه يمكننا القول إن كتلة الجسم B مضروبة في عجلته تساوي قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم B. وبعد ذلك يمكننا الانتقال إلى معادلة هذه القوة، ويمكننا مساواتها بكتلة الجسم B في عجلة الجسم B. وسنسميها 𝑎B.
وكما رأينا من قبل، فإن كتلة الجسم، في هذه الحالة الجسم B، مشتركة بين الطرفين. ومعنى هذا أن العجلة التي يتحرك بها الجسم B تساوي 𝐺 في كتلة الجسم الأكبر مقسومًا على مربع المسافة بين B والجسم الأكبر. وهذا التعبير هنا يساوي هذا التعبير هنا إذا تجاهلنا كتلة الجسم B. وعليه لإيجاد قيمة 𝑎B، سنضرب ثابت الجذب العام في كتلة الجسم الأكبر مقسومًا على مربع المسافة بين ذلك الجسم وB.
لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، سيساوي ذلك 0.667 متر لكل ثانية مربعة. لاحظ أن هذا الناتج يساوي عجلة الجسم A. ويعود ذلك إلى حقيقة أن معادلة عجلة الجسم لا تعتمد على كتلة الجسم الذي سنوجد عجلته. إذن هذه هي العجلة التي سيتحرك بها الجسم B والجسم A وأي جسم آخر باتجاه الجسم الأكبر.
دعونا نتذكر الآن بعض النقاط الأساسية المتعلقة بجاذبية السطح.
بعد البدء بقانون نيوتن للجاذبية والقانون الثاني للحركة، رأينا أنه يمكن دمج هذين القانونين للحصول على تعبير لإيجاد العجلة التي تكتسبها إحدى الكتلتين. وقد لاحظنا الحالة التي تكون فيها هذه هي عجلة الكتلة المشار إليها بحرف 𝑚 صغير. وفيها، بشكل مكافئ، ستكتسب الكتلة الأخرى، التي نشير إليها بحرف 𝑀 كبير، أيضًا عجلة ناتجة في هذه الحالة عن الكتلة الأصغر، بحرف 𝑚 الصغير. وفيما يتعلق بذلك رأينا أن العجلة التي يتحرك بها الجسم لا تعتمد على كتلته. وأخيرًا رأينا أن جاذبية السطح تصف عجلة الجسم عندما يكون على سطح جسم كروي أكبر منه بكثير أو بالقرب منه.
