تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد الدوال المثلثية في المثلث القائم الزاوية بمعلومية دالة مثلثية واحدة

سوزان فائق

يوضح الفيديو كيفية إيجاد الدوال المثلثية في المثلث القائم الزاوية بمعلومية دالة مثلثية واحدة.

٠٩:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم على إيجاد الدوال المثلثية في المثلث القائم الزاوية، بمعلومية دالة مثلثية واحدة.

في حساب المثلثات، اللي هو بيبقى دراسة العلاقة بين زوايا المثلث وأضلاعه، بتقارِن النسبة المثلثية بين طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية. لكن الدالة المثلثية بتُعرَّف من خلال نسبة مثلثية. وبنسميهم عندنا ست دوال مثلثية، اللي همّ بيبقوا جا 𝜃، وجتا 𝜃، وظا 𝜃. والمقلوب اللي هو قا 𝜃، وقتا 𝜃، وظتا 𝜃.

في الفيديو ده هنعرف إزاي يكون عندنا دالة مثلثية واحدة. وإزاي نحسب قِيَم الدوال المثلثية اللي باقية في مثلث قائم الزاوية.

دي القوانين اللي بنحسب منها الدوال المثلثية، اللي هي عبارة عن نسب مثلثية ما بين أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية، جا 𝜃، وجتا 𝜃، وظا 𝜃، وقتا 𝜃، وقا 𝜃، وظتا 𝜃. هنا الـ قتا 𝜃 دي مقلوب الـ جا. يعني واحد على جا 𝜃. الـ قا 𝜃 مقلوب الـ جتا، اللي هي واحد على جتا 𝜃. الـ ظتا 𝜃 هي مقلوب الـ ظا، اللي هو واحد على ظا 𝜃. دي علشان نسب مثلثية فبنبقى مش مرتبطين بأطوال الأضلاع للمثلثات. إحنا بنحتاج بس النسبة ما بين طولي ضلعين.

مجال أي دالة مثلثية هو مجموع قياسات الزوايا الحادة 𝜃 في المثلث القائم الزاوية. لذا فإن قيم الدوال المثلثية بتعتمد على قياسات الزوايا الحادة، وليس على أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية. أي أن قيم الدوال المثلثية للزاوية الحادة ستبقى كما هي مهما اختلفت أضلاع المثلث.

في المثلثين أ ب ج وَ أ ب شرطة ج شرطة، الـ جا 𝜃 في المثلث الأولاني عبارة عن ب ج على أ ج، اللي هو المقابل على الوتر. وَ جا 𝜃 في المثلث التاني عبارة عن ب شرطة ج شرطة على أ ج شرطة. عايزين فعلًا نتأكد إن الـ جا 𝜃 في المثلثين هي هيّاها. يعني ده المفروض إن هو هيساوي ده، بغَضّ النظر عن أطوال أضلاع المثلث.

بما إن المثلثين أ ب ج والمثلث أ ب شرطة ج شرطة متشابهين؛ لأنهمّ بيتشاركوا في الزاوية 𝜃، وهمّ مثلثين قائما الزاوية. يبقى المثلثان المتشابهان دول هيبقى نِسَب أطوال أضلاع المتناظرة بتاعتهم متساوية. يعني الـ ب ج على الـ أ ج بيساوي ب شرطة ج شرطة على أ ج شرطة. إذن الـ جا 𝜃 لها نفس القيمة بغَضّ النظر عن المثلث المُستخدَم. حيث أن قيم الدوال المثلثية ثابتة لكل زاوية، ولا تعتمد على أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية.

يبقى لمّا بيطلب مننا الدوال المثلثية، مش بنبقى محتاجين نعرف طول الضلع كام بالظبط. المهم عندنا نعرف النِّسَب ما بين أطوال أضلاع المثلث. وهي دي اللي بتدّيلنا الدوال المثلثية.

يعني في المثال ده إذا كان جتا 𝜃 بتساوي اتنين على خمسة. اوجد قيم الدوال المثلثية الخمس الباقية للزاوية الحادة 𝜃.

هنتكلم على خطوات ثابتة للحل، وهنحل بيها جميع المسائل اللي بيبقى فيها دالة مثلثية مدّيلنا قيمتها، وطالب باقي الدوال المثلثية.

أول خطوة عندنا هي رسم مثلث قائم الزاوية، وتوضيح الزاوية 𝜃 على الرسم. المثلث قدامنا هو بيقول جتا 𝜃 يساوي اتنين على خمسة؛ يعني المجاور قيمته اتنين، والوتر قيمته خمسة، ودي الزاوية 𝜃.

تاني خطوة عندنا هي استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المجهول. هنا لو قلنا إن قيمة الضلع المجاور اتنين، والوتر خمسة. فإحنا نقدر نحسب قيمة الضلع التالت، اللي هي هتساوي … اللي هو هنا بالنسبة للزاوية 𝜃 هنسميه المقابل. يساوي الجذر التربيعي للوتر تربيع ناقص المجاور تربيع. يعني هيساوي الجذر التربيعي خمسة تربيع ناقص اتنين تربيع، اللي هي هتساوي جذر واحد وعشرين. يعني كده المقابل قيمته الجذر التربيعي للواحد وعشرين.

تالت خطوة اوجد قيم الدوال المثلثية الخمس المجهولة. يبقى عايزين نحسب الـ جا 𝜃. والـ ظا 𝜃. ومقلوب الـ جتا 𝜃 هو مدّيلنا الـ جتا 𝜃 مقلوبها هيبقى الـ قا 𝜃. ومقلوب الـ جا 𝜃 هيبقى الـ قتا 𝜃. ومقلوب الـ ظا 𝜃 اللي هو ظتا 𝜃.

الـ جا 𝜃 عبارة عن المقابل على الوتر، يعني المقابل حسبنا قيمته اللي هي الجذر التربيعي للواحد وعشرين، على الوتر قيمته خمسة. الـ ظا 𝜃 اللي هي المقابل على المجاور. هتساوي المقابل الجذر التربيعي لواحد وعشرين، على المجاور قيمته اتنين. والـ قا 𝜃 مقلوب الـ جتا؛ يعني واحد على جتا 𝜃. والـ قتا 𝜃 مقلوب الـ جا، اللي هو واحد على جا 𝜃. والـ ظتا 𝜃 اللي هو واحد على ظا 𝜃.

يعني الـ قا 𝜃 هتساوي خمسة على اتنين. الـ قتا 𝜃 هتساوي خمسة على الجذر التربيعي لواحد وعشرين. يعني بضرب الجذر التربيعي للواحد وعشرين في البسط والمقام تبقى خمسة في الجذر التربيعي لواحد وعشرين على واحد وعشرين. والـ ظتا 𝜃 هتساوي اتنين على الجذر التربيعي لواحد وعشرين؛ يعني اتنين جذر التربيعي لواحد وعشرين على الواحد وعشرين.

يبقى كده دي قيم الدوال المثلثية الخمس المطلوبة بمعلومية دالة مثلثية واحدة قدرنا نجيب باقي الدوال المثلثية. هنا لمّا اتكلمنا في المثال ده، قلنا إن المجاور للزاوية 𝜃 اتنين، والوتر كان خمسة. برضو ممكن نقول إن المجاور طوله أربعة والوتر عشرة. يعني النسبة المثلثية ما بينهم هي نفس النسبة المثلثية اللي هو مدّيهالنا اتنين على خمسة، اللي هي قيمة الأربعة على عشرة. يعني النسب بين أطوال أضلاعها هي قيم الدوال المثلثية وليس الأطوال نفسها.

يعني ممكن أقول إن المجاور اتنين، أو ممكن أقول إن هو أربعة والوتر عشرة. ونحسب قيمة الضلع التالت اللي هو المقابل، هيطلع نفس النسب المثلثية اللي إحنا حسبناها. فيه بعض الزوايا الخاصة اللي بنستخدمها كتير، لها قيم للدوال المثلثية بتاعتها اللي مكتوبة في الجدول ده. يعني لو عندنا الزاوية تلاتين فإحنا عندنا الـ جا 𝜃 بتاعتها بنُص. والـ جتا 𝜃 جذر تلاتة عَ الاتنين. والـ ظا 𝜃 جذر تلاتة على التلاتة. والـ قتا 𝜃 باتنين. والـ قا 𝜃 باتنين جذر تلاتة على التلاتة. والـ ظتا 𝜃 بجذر تلاتة.

لو بصينا في المثلثات اللي قدامنا دي للزاوية تلاتين. هنلاقي إن لو المقابل اسمه س، يبقى المجاور عبارة عن جذر تلاتة س، والوتر هو اتنين س. ولو اتكلمنا على الزاوية ستين، فالمقابل ليها هيبقى جذر تلاتة س، الوتر اتنين س، والمجاور هو الـ س. وهنحسب قيم الـ جا 𝜃 زي ما هي مكتوبة كده في الجدول. جا 𝜃، والـ جتا 𝜃، والـ ظا 𝜃. والمقلوب بتاعهم اللي هو الـ قتا 𝜃، والـ قا 𝜃، والـ ظتا 𝜃. وممكن المثلث الخمسة وأربعين درجة هيبقى بنفس الشكل ده. النسب المثلثية ما بينه اللي هو المقابل والمجاور س وَ س، والوتر جذر اتنين س. وهو نفسه بالنسبة للزاوية خمسة وأربعين درجة اللي فوق دي هتبقى نفس القيم. ونقدر نحسب القيم للدوال المثلثية الخاصة بيهم زي ما هو مكتوب في الجدول كده.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده إزاي هنحسب قيم الدوال المثلثية الخمس بمعلومية دالة واحدة مثلثية بس، بإن إحنا بنعمل الخطوات دي اللي هي رسم مثلث قائم الزاوية، وتوضيح الزاوية 𝜃 على الرسم. بعد كده بنستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المجهول. والخطوة التالتة نوجد القيم الدوال المثلثية الخمس المجهولة باستخدام القوانين دي. ونبقى عارفين إن إحنا بنعتمد على نِسَب مثلثية وليس أطوال الأضلاع. وعرفنا كمان قِيَم الدوال المثلثية لبعض الزوايا الخاصة، اللي همّ التلاتين والستين والخمسة وأربعين.