نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق قوانين الأسس لضرب وقسمة القوى، وحساب قيمة القوة المرفوعة لقوة. سنلخص الأسس ونتناول بعض الأسئلة، ومنها سؤال مثل هذا السؤال. باستخدام قوانين الأسس، سنرى كيف يمكن حل أسئلة كهذه بسهولة أكبر. دعونا نبدأ بتذكر أساسيات الأسس أو القوى.
عادة ما يشار إلى العدد الصغير هنا بالأس أو القوة. ثلاثة مرفوعة للقوة الرابعة، أو ثلاثة أس أربعة، يعني أن لدينا أربعة أعداد ثلاثة مضروبة في بعضها. يمكننا حساب قيمة ذلك بعدة طرق. يمكننا البدء بضرب ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة. وبضرب تسعة في ثلاثة أخرى نحصل على ٢٧. ثم بضرب ٢٧ في الثلاثة الأخيرة نحصل على ٨١. بدلًا من ذلك، كان من الممكن أن نحسب ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة، ونضرب ذلك في المجموعة الثانية، وهي ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة أيضًا. وتسعة في تسعة يساوي ٨١. لذا، دعونا نلق نظرة على ما يحدث عندما نضرب قيمتين لهما أسس.
أكمل الفراغ: سالب اثنين أس سبعة في سالب اثنين أس خمسة يساوي سالب اثنين أس (فراغ).
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد الأس أو القوة التي سيرفع إليها سالب اثنين في الإجابة. يمكننا البدء بالتفكير في قيمة سالب اثنين أس سبعة. هذا يعني أن لدينا سالب اثنين سبع مرات. وكل ذلك سيضرب معًا. بالطريقة نفسها، سالب اثنين أس خمسة يعني أن لدينا سالب اثنين مضروبًا في نفسه خمس مرات. ولدينا سالب اثنين أس سبعة مضروبًا في سالب اثنين أس خمسة. وهذا يعني أن سالب اثنين المضروب في نفسه سبع مرات مضروب في سالب اثنين المضروب في نفسه خمس مرات.
إذن كم مرة يوجد العدد سالب اثنين إجمالًا الآن؟ حسنًا، يوجد ١٢ مرة، وهو ما يعني أنه يمكننا كتابة ذلك على الصورة سالب اثنين مرفوعًا للقوة ١٢. ومن ثم، قيمة الأس المجهولة هي ١٢. كان بإمكاننا أيضًا الإجابة عن ذلك باستخدام قاعدة الأسس التي تنص على أن ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. قيمة ﺱ في السؤال الذي لدينا تساوي سالب اثنين، والأسان ﺃ وﺏ هما سبعة وخمسة على الترتيب. إذن، قيمة الأس في النهاية تساوي ﺃ زائد ﺏ، وهو ما يساوي سبعة زائد خمسة، يساوي ١٢، وهو ما يؤكد صحة الإجابة الأولى.
في هذا السؤال، رأينا أول قاعدة للأعداد المرفوعة لقوى، وهي تنص على أن ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. نعلم أن هذا صحيح؛ لأننا إذا كتبنا ﺱ الأول أس ﺃ في صورة ﺱ مكرر ﺃ مرة، ومضروب بعضها في بعض، وكتبنا ﺱ الثاني أس ﺏ في صورة ﺱ مكرر ﺏ مرة، فإننا عند دمجهما معًا نعلم أننا سنحصل على ﺱ مكرر ﺃ زائد ﺏ مرة. ونظرًا لأن هذه الأعداد كلها ستكون مضروبة في بعضها، يمكننا كتابة ذلك على الصورة ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ.
في السؤال الآتي، سنلقي نظرة على قسمة القيم ذات الأسس.
هل ثلاثة أس ٧٤ على ثلاثة أس ٧٥ أكبر من، أو أقل من، أو يساوي ثلاثة؟
دعونا نبدأ هذا السؤال بالتفكير فيما يتضمنه بالفعل ثلاثة أس ٧٤ وثلاثة أس ٧٥. يمكننا أن نتذكر على سبيل المثال أن ثلاثة أس أربعة يعني أن نكتب ثلاثة أربع مرات ونضربها معًا. إذن، ثلاثة أس ٧٤ يعني أنه سيكون لدينا العدد ثلاثة مضروبًا في نفسه ٧٤ مرة. وثلاثة أس ٧٥ سيساوي ثلاثة مضروبة في نفسها ٧٥ مرة. في الواقع، سيستغرق حساب قيمة هذين العددين الأسيين وقتًا طويلًا للغاية. وفي هذا السؤال، علينا أن نجري عملية قسمة أيضًا. لكن دعونا نلق نظرة على ما يحدث إذا حذفنا القيم من البسط والمقام.
يمكننا حذف أول عددي ثلاثة وثاني عددي ثلاثة وهكذا، حتى نحذف ٧٤ ثلاثة من البسط والمقام، ليتبقى لدينا ثلاثة واحدة فقط في المقام. نعرف أن ذلك يساوي ثلثًا. إذن، ثلاثة أس ٧٤ على ثلاثة أس ٧٥ يساوي ثلثًا. هناك طريقة أخرى لحساب ذلك أيضًا. يخبرنا قانون قسمة الأعداد المرفوعة لقوى بأن ﺱ أس ﺃ على ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ ناقص ﺏ.
هنا، قيمة ﺱ ستساوي ثلاثة، والأسان ﺃ وﺏ هما ٧٤ و٧٥. إذن، الإجابة ستكون ثلاثة أس ٧٤ ناقص ٧٥. وهذا يساوي ثلاثة أس سالب واحد. ثلاثة أس سالب واحد هو مقلوب ثلاثة، وهذا يساوي ثلثًا. طلب منا السؤال تحديد إذا ما كان ذلك أكبر من أم أقل من أم يساوي ثلاثة. ثلث أصغر من ثلاثة. وهذه هي الإجابة.
يمكننا التوقف قليلًا وإضافة هذا القانون الثاني لقسمة الأعداد المرفوعة لقوى إلى قوانين الأسس. ﺱ أس ﺃ على ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ ناقص ﺏ. يمكننا بالطبع أن نرى بدلًا من ذلك السؤال المكافئ مكتوبًا بعلامة القسمة، ﺱ أس ﺃ مقسومًا على ﺱ أس ﺏ. وستظل القيمة كما هي. حتى الآن، عرفنا ما يحدث عند ضرب القيم ذات الأسس وقسمتها. لكن ماذا يحدث عندما يكون لدينا قوة مرفوعة لقوة؟ دعونا نكتشف ذلك في السؤال الآتي.
أوجد قيمة سالب ثلاثة أس ثلاثة في ثلاثة تربيع أس ثلاثة.
في هذا السؤال، يمكننا أن نلاحظ أن القيم التي لدينا هنا قيم ذات أسس أو قوى. تجدر الإشارة إلى أن عبارة «أوجد قيمة» تعني أننا لا نبحث عن إجابة لها أس. على سبيل المثال، إذا وجدنا أن هذا يساوي ثلاثة أس ثلاثة، فعلينا كتابة الإجابة على الصورة ٢٧ بدلًا من ذلك. لعلنا نتذكر أن سالب ثلاثة أس ثلاثة يعني أن لدينا العدد سالب ثلاثة مضروبًا في نفسه ثلاث مرات. عندما ننظر إلى ثلاثة تربيع أس ثلاثة، يمكننا أن نتذكر أن ثلاثة تربيع يعني ثلاثة في ثلاثة. وبكتابة هذا مرفوعًا للقوة الثالثة، يصبح لدينا ثلاثة في ثلاثة ثلاث مرات.
أصبح الأمر معقدًا نوعًا ما. لذا دعونا نقارن هذا بالقاعدة التي لدينا الخاصة بإيجاد أس له أس. في هذه الحالة، ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃﺏ. إذا نظرنا إلى ثلاثة تربيع أس ثلاثة، فسنجد أن القيمة ثلاثة هنا هي قيمة ﺱ. إذن، الإجابة هي ثلاثة أس اثنين في ثلاثة، أي ثلاثة أس ستة. وكتبنا بالفعل العدد ثلاثة مضروبًا في نفسه ست مرات. إذن، دعونا نحسب القيمة عندما يكون لدينا سالب ثلاثة أس ثلاثة مضروبًا في ثلاثة تربيع أس ثلاثة أو ثلاثة أس ستة.
دعونا نبدأ بسالب ثلاثة في سالب ثلاثة. نعرف أنه بضرب قيمتين سالبتين معًا نحصل على قيمة موجبة، ومن ثم نبدأ بتسعة. ثم نضرب التسعة في العدد سالب ثلاثة التالي، وتسعة في سالب ثلاثة يساوي سالب ٢٧. وباستمرار الضرب في ثلاثة، يصبح لدينا سالب ٢٧ في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ٨١. يمكننا الاستمرار في الضرب في ثلاثة، وكتابة ذلك في الأسفل حتى نحصل على الإجابة النهائية.
وجدير بالملاحظة أن لدينا بالطبع عدة طرق يمكننا الضرب بها. نعلم أن سالب ثلاثة في سالب ثلاثة في سالب ثلاثة يساوي سالب ٢٧، وثلاثة في ثلاثة في ثلاثة يساوي ٢٧. ومن ثم فإن ضرب سالب ٢٧ في ٢٧ سيعطينا سالب ٧٢٩، وضرب ذلك في عدد ٢٧ الأخير سيعطينا القيمة سالب ١٩٦٨٣. وهذا هو الحل النهائي للقيمة سالب ثلاثة أس ثلاثة في ثلاثة تربيع أس ثلاثة.
دعونا نتوقف قليلًا لتحديث الملاحظات التي لدينا. رأينا أنه يمكننا حساب أس له أس، مثل ﺱ أس ﺃ أس ﺏ، عن طريق ضرب الأسس لنحصل على ﺱ أس ﺃﺏ. تناولنا حتى الآن في هذا الفيديو أعدادًا صحيحة مرفوعة لقوة. والآن دعونا نلق نظرة على بعض الكسور المرفوعة لقوة.
أي مما يلي يساوي سالب واحد ونصف أس ثلاثة في سالب واحد ونصف تربيع؟ الخيار أ: سبعة و١٩ على ٣٢، الخيار ب: سالب سبعة، و١٩ على ٣٢، الخيار ج:٣٢ على ٢٤٣، الخيار د: سالب ٣١٢٥ على ١٠٢٤، الخيار هـ: سالب ٢٤٣.
في هذا السؤال، مطلوب منا ضرب هاتين القيمتين ذواتي الأسس. عند التعامل مع الكسور وكتابتها باستخدام الأسس، من الجيد دائمًا التأكد من كتابتها على صورة كسور بسطها أكبر من مقامها أو كسور غير فعلية بدلًا من عدد كسري. في كلتا الحالتين، سيكون لدينا سالب واحد ونصف. ومن ثم يمكننا كتابة ذلك على صورة سالب ثلاثة على اثنين أس ثلاثة في سالب ثلاثة على اثنين تربيع.
من المفيد أن نتذكر قانون حاصل ضرب الأعداد المرفوعة لقوى عندما نضرب القيمة ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ. عندها نجمع الأسس لنحصل على القيمة ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. في هذه الحالة، قيمة ﺱ ستساوي سالب ثلاثة على اثنين، ويمكن حساب الأس الذي لدينا بجمع الأسين ثلاثة واثنين، وهو ما يعطي خمسة. لدينا إذن سالب ثلاثة على اثنين أس خمسة. ما فعلناه بعد ذلك هو تبسيط العملية الحسابية للحصول على قيمة ذات أس. لكن إذا نظرنا إلى خيارات الإجابة، نجد أن ما نبحث عنه هنا هو بالفعل إيجاد قيمة سالب ثلاثة على اثنين أس خمسة.
سالب ثلاثة على اثنين أس خمسة يعني أن لدينا سالب ثلاثة على اثنين مضروبًا في نفسه خمس مرات. كملاحظة جانبية، عندما نتعامل مع كسر مثل سالب ثلاثة على اثنين، توجد عدة طرق يمكننا من خلالها كتابة ذلك، أولًا بكتابة إشارة السالب أمام الكسر، أو بكتابة سالب ثلاثة في البسط، أو بكتابة إشارة السالب في المقام فنحصل على سالب اثنين. ومع أن الصيغة الأخيرة صحيحة رياضيًّا، فإننا عادة ما نكتب الإشارة السالبة في البسط أو أمام الكسر.
بالعودة إلى المسألة، يمكننا التفكير فيها بوصفها كسرًا كبيرًا يتكون من سالب ثلاثة مضروبة في نفسها خمس مرات في البسط واثنين مضروبة في نفسها خمس مرات في المقام. إذن بضرب سالب ثلاثة في سالب ثلاثة نحصل على تسعة. سالب ثلاثة أخرى في سالب ثلاثة أخرى يساوي تسعة. وتسعة في تسعة يساوي ٨١. و ٨١ في سالب ثلاثة يساوي سالب ٢٤٣ في البسط. في المقام، نعلم أن اثنين في اثنين يساوي أربعة، وأربعة في أربعة يساوي ١٦، و١٦ في اثنين أخرى يساوي ٣٢ في المقام.
علينا الآن كتابة الكسر غير الفعلي سالب ٢٤٣ على ٣٢ على صورة عدد كسري. عند إجراء قسمة مطولة بعض الشيء لـ ٢٤٣ مقسومًا على ٣٢، نحصل على القيمة سبعة، والباقي ١٩. تمثل القيمة سبعة الجزء الصحيح من العدد. أما باقي القسمة فيمثل بسط الكسر. وبما أننا قسمنا على ٣٢، فإن المقام سيكون ٣٢. يجب ألا ننسى أننا قسمنا سالب ٢٤٣ على ٣٢. إذن القيمة التي لدينا ستساوي سالب سبعة و١٩ على ٣٢. يمكننا أن نلاحظ أن هذه هي الإجابة المعطاة في الخيار ب.
سنتناول الآن سؤالًا أخيرًا يتضمن الأسس.
احسب سالب ثلاثة وخمس أس سبعة في سالب واحد ونصف أس ستة على سالب ١٦ على خمسة أس ستة في سالب ثلاثة على اثنين أس أربعة، واكتب إجابتك في أبسط صورة.
مع أن هذا السؤال قد يبدو صعبًا إلى حد ما، فإننا سنبدأ بكتابة الأعداد الكسرية على صورة كسور غير فعلية، ثم نرى ما يمكننا تطبيقه من قوانين الأسس. دعونا نبدأ بالعدد الكسري سالب ثلاثة وخمس. جزء العدد الصحيح الذي قيمته ثلاثة يتكون من ثلاثة في خمسة أخماس زائد خمس متبق، وهو ما يساوي ١٦ خمسًا. ليس لدينا ثلاثة وخمس فقط، بل أيضًا سالب ثلاثة وخمس. إذن لدينا سالب ١٦ على خمسة أس سبعة.
بعد ذلك، سالب واحد ونصف يكافئ سالب ثلاثة على اثنين، والأس هنا ستة. يمكننا ترك المقام كما هو؛ حيث إن الكسور هنا غير فعلية وليست أعدادًا كسرية. في هذه المرحلة، نأمل أن نخرج بملاحظة مما كتبناه. يمكننا أن نلاحظ أن لدينا سالب ١٦ على خمسة في البسط وفي المقام. ولدينا أيضًا سالب ثلاثة على اثنين في البسط وفي المقام. عند هذه النقطة، يمكننا البدء في التفكير في إمكانية اختصار بسط هذا الكسر ومقامه.
دعونا نتناول الجزء الأول من هذا الكسر. يمكننا استخدام قانون قسمة الأعداد المرفوعة لقوى، ﺱ أس ﺃ على ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ ناقص ﺏ؛ لأن لدينا القيمة نفسها مرفوعة لأس. هذه القيمة هي قيمة ﺱ. والإجابة ستتضمن ﺱ. وﺱ هنا يساوي سالب ١٦ على خمسة مرفوعًا لقوة. لإيجاد هذا الأس، نجد أن لدينا سبعة ناقص ستة، وهو ما يساوي واحدا. سالب ١٦ على خمسة أس واحد يساوي سالب ١٦ على خمسة.
والآن، دعونا نبسط الجزء الثاني من هذا الكسر. باستخدام قاعدة الأسس نفسها لتبسيط سالب ثلاثة على اثنين أس ستة على سالب ثلاثة على اثنين أس أربعة، نحصل على سالب ثلاثة على اثنين تربيع، مع تذكر أن التربيع يأتي من ستة ناقص أربعة. إذن لدينا الآن عملية حسابية مبسطة، وهي سالب ١٦ على خمسة في سالب ثلاثة على اثنين تربيع. إذا نظرنا إلى سالب ثلاثة على اثنين تربيع، فسنجد أن ذلك يكافئ سالب ثلاثة تربيع في البسط واثنين تربيع في المقام. وهذا لأنه يمكننا تطبيق قانون الأسس ﺱ على ﺹ أس ﺃ يساوي ﺱ أس ﺃ على ﺹ أس ﺃ.
دعونا نبسط هذه العملية الحسابية قدر الإمكان. سالب ثلاثة تربيع يساوي تسعة، واثنان تربيع يساوي أربعة. يمكننا ضرب الكسرين بضرب البسط في البسط والمقام في المقام، لكن قبل ذلك نلاحظ أنه يمكننا تبسيط الكسرين معًا. العدد أربعة عامل مشترك لكل من سالب ١٦ وأربعة. إذن نحسب سالب أربعة في تسعة، وهو ما يساوي سالب ٣٦. وخمسة في واحد يساوي خمسة. إذن، الإجابة النهائية هي سالب ٣٦ على خمسة. وسيكون صحيحًا أيضًا أن نحصل على الحل على الصورة سالب سبعة وخمس.
يمكننا الآن تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو. عرفنا أن هناك عددًا من القوانين التي يمكننا استخدامها عند التعامل مع الأسس. تناول أول قانونين رأيناهما ما يحدث عندما نضرب ونقسم قيمًا ذات أسس. رأينا أيضًا القانون الذي يتناول ما يحدث عندما يكون لدينا أس له أس. وفي هذه الحالة نضرب الأسس.
يتناول القانون الأخير الذي رأيناه ما يحدث عندما يكون لدينا كسر مرفوع لقوة ﺃ. وهذا سيساوي البسط والمقام، وكل منهما مرفوع للقوة ﺃ. والنقطة الأخيرة التي ينبغي أن نتذكرها هي تحويل الأعداد الكسرية المرفوعة لقوة إلى كسور غير فعلية عند التعامل معها.
