فيديو الدرس: العلاقات الخطية: ‪𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐‬‏ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد ونمثل بيانيًّا العلاقات الخطية بين متغيرين بمعلومية العلاقة في الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، وكيف نكتب الأزواج المرتبة التي تحقق المعادلة المعطاة.

لنبدأ بتعريف ما نعنيه بالعلاقة الخطية. إذا كان المتغيران ﺱ وﺹ تربط بينهما معادلة على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ أعداد حقيقية، فهذا يعني أن ﺱ وﺹ مرتبطان ارتباطًا خطيًّا. يمكن تمثيل هذه العلاقة بمجموعة من الأزواج المرتبة ﺱ وﺹ. دعونا إذن نلق نظرة على مثال.

افترض أن تكلفة إرسال بطاقة عيد ميلاد بالبريد هي ٢٫٤ جنيه مصري. إذا كانت الطوابع المتاحة طوابع قيمتها ٥٠ قرشًا و٢٠ قرشًا فقط، فاكتب الأزواج المرتبة لعدد الطوابع التي يمكننا استخدامها من كل نوع لإرسال بطاقة عيد ميلاد. لاحظ أن ١٠٠ قرش يساوي جنيهًا مصريًّا واحدًا.

بما أن ٢٫٤ جنيه مصري يساوي ٢٤٠ قرشًا، فإن القيمة الإجمالية للطوابع لا بد أن تساوي ٢٤٠ قرشًا. إذا افترضنا أن ﺱ يمثل عدد الطوابع التي قيمتها ٢٠ قرشًا وﺹ يمثل عدد الطوابع التي قيمتها ٥٠ قرشًا، فسنستخدم العلاقة الخطية:٢٠ﺱ زائد ٥٠ﺹ يساوي ٢٤٠ لتمثيل هذه الطوابع البريدية. نريد أن نعرف أزواج قيم ﺱ وﺹ، إن وجدت، التي تحقق هذه المعادلة.

لاحظ أنه لا يمكننا تقسيم عدد هذه الطوابع إلى قيم صغرى. إذن ﺱ وﺹ يجب أن يكونا عددين طبيعيين؛ أي عددين كليين موجبين. الزوج المرتب الأول الذي يحقق هذه المعادلة هو ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي أربعة. هذا يعطينا الزوج المرتب: اثنان، أربعة؛ بحيث يصبح ٢٠ في اثنين زائد ٥٠ في أربعة يساوي ٢٤٠. هذا يعني أن ٤٠ قرشًا زائد ٢٠٠ قرش يساوي ٢٤٠ قرشًا. الزوج المرتب الثاني هو ﺱ يساوي سبعة، وﺹ يساوي اثنين. هذا يعطينا الزوج المرتب: سبعة، اثنين. ومن ثم نحصل على ٢٠ في سبعة زائد ٥٠ في اثنين؛ أي ١٤٠ قرشًا زائد ١٠٠ قرش، وهو ما يساوي ٢٤٠ قرشًا. الزوج المرتب الأخير الممكن هو ﺱ يساوي ١٢، وﺹ يساوي صفرًا. هذا يعطينا ٢٠ في ١٢ زائد ٥٠ في صفر، وهو ما يساوي ٢٤٠ زائد صفر. إذن هذا يساوي ٢٤٠ قرشًا. ومن ثم فإن الأزواج المرتبة هي: اثنان، أربعة؛ وسبعة، اثنان؛ و١٢، صفر.

لاحظ أن كل حد في هذه العلاقة الخطية يتضمن العامل المشترك ١٠. وبقسمة طرفي المعادلة على ١٠، نحصل على اثنين ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ٢٤. وفي الواقع يحقق كل زوج من الأزواج المرتبة لدينا هذه المعادلة الجديدة أيضًا. وبما أنه لا توجد عوامل مشتركة بين جميع حدود هذه المعادلة الجديدة، فإننا نطلق عليها أبسط صورة للعلاقة الخطية. لنلق نظرة الآن على مثال حول كيفية تحديد إذا ما كان هناك زوج مرتب يحقق علاقة خطية معينة أم لا.

أي من الأزواج المرتبة الآتية يحقق العلاقة ﺱ ناقص ﺹ يساوي سالب ١٠ ؟ أ: الزوج المرتب سالب اثنين، سالب اثنين. ب: الزوج المرتب سالب ١٦، ستة. ج: الزوج المرتب تسعة، سالب واحد. د: الزوج المرتب سالب ١٢، سالب اثنين. هـ: الزوج المرتب سالب خمسة، سالب ١٥.

للإجابة عن هذا السؤال، سنجرب كل زوج من القيم على حدة في المعادلة المعطاة. وهذه المعادلة هي ﺱ ناقص ﺹ يساوي سالب ١٠. هذا يعني أننا، من كل زوج، سنعوض بالقيمة الأولى عن ﺱ وبالقيمة الثانية عن ﺹ. وإذا وجدنا أن الطرفين الأيمن والأيسر متساويان، فعندئذ نقول إن هذا الزوج يحقق العلاقة ﺱ ناقص ﺹ يساوي سالب ١٠.

بالنظر إلى الخيار أ أولًا، نجد أن ﺱ يساوي سالب اثنين، وﺹ يساوي سالب اثنين أيضًا. وبالتعويض بهاتين القيمتين في العلاقة الخطية لدينا، نحصل على سالب اثنين ناقص سالب اثنين. نريد أن نعرف الآن هل ناتج هذا يساوي سالب ١٠ ؟ حسنًا، بما أن طرح سالب اثنين هو نفسه جمع موجب اثنين، فهذا يعطينا سالب اثنين زائد اثنين. لكن هذا يساوي صفرًا، وهو ما لا يساوي سالب ١٠ بالطبع. هذا يعني أن الزوج المرتب الأول، أ، لا يحقق العلاقة الخطية ﺱ ناقص ﺹ يساوي سالب ١٠.

بعد ذلك، سنتناول الخيار ب. في هذا الخيار، ﺱ يساوي سالب ١٦، وﺹ يساوي ستة. بالتعويض بذلك في العلاقة الخطية لدينا، نحصل على سالب ١٦ ناقص ستة. وهذا يساوي سالب ٢٢؛ أي إنه لا يساوي سالب ١٠. ومن ثم يمكننا القول إن الخيار ب لا يحقق العلاقة الخطية.

بالنسبة إلى الخيار ج، لدينا القيمتان ﺱ يساوي تسعة، وﺹ يساوي سالب واحد. هذا يعطينا تسعة ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي ١٠؛ أي إنه لا يساوي سالب ١٠. ومن ثم الخيار ج لا يحقق العلاقة الخطية.

بالنسبة إلى الخيار د، لدينا القيمتان ﺱ يساوي سالب ١٢، وﺹ يساوي سالب اثنين. بالتعويض بذلك في العلاقة الخطية: ﺱ ناقص ﺹ يساوي سالب ١٠، نحصل على سالب ١٢ ناقص سالب اثنين. وبما أن طرح سالب اثنين هو نفسه جمع موجب اثنين، يصبح لدينا سالب ١٢ زائد اثنين، وهو ما يساوي سالب ١٠. ومن ثم فإن الخيار د يحقق العلاقة الخطية بالفعل.

وأخيرًا: عند التحقق من الخيار هـ، نجد أن لدينا القيمتين ﺱ يساوي سالب خمسة وﺹ يساوي سالب ١٥، وهو ما يعطينا سالب خمسة ناقص سالب ١٥ عند التعويض بالقيمتين في العلاقة الخطية لدينا. هذا يساوي سالب خمسة زائد ١٥، وهو ما يساوي ١٠. وبما أن هذا الناتج لا يساوي سالب ١٠، فإنه يمكننا القول إن الخيار هـ لا يحقق العلاقة الخطية ﺱ ناقص ﺹ يساوي سالب ١٠.

نلاحظ من ذلك أن زوجًا واحدًا فقط من الأزواج المرتبة المعطاة يحقق العلاقة ﺱ ناقص ﺹ يساوي سالب ١٠، وهو الزوج المذكور في الخيار د. إذن الزوج المرتب: سالب ١٢، سالب اثنين؛ يحقق العلاقة.

في المثال الآتي، سنتناول كيفية إيجاد القيمة الناقصة في الزوج المرتب بمعلومية العلاقة الخطية.

في الجدول الآتي، يوجد بعض قيم ﺱ وﺹ الناقصة في الأزواج المرتبة، التي تحقق العلاقة الخطية سالب خمسة ﺱ زائد ﺹ يساوي سالب ثلاثة. أوجد قيم ﺱ وﺹ الناقصة.

يمكننا إيجاد القيمة الناقصة في كل زوج مرتب عن طريق التعويض بقيمة ﺱ أو ﺹ المعلومة في المعادلة التي تمثل العلاقة الخطية. وهذه المعادلة هي سالب خمسة ﺱ زائد ﺹ يساوي سالب ثلاثة. بعد ذلك نحل المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ أو ﺹ الناقصة. ويمكننا فعل ذلك عن طريق إعادة ترتيب المعادلة، وجعل القيمة الناقصة المتغير التابع، ثم حل المعادلة لإيجادها.

بالنسبة إلى الزوج المرتب الأول، بما أننا نريد إيجاد قيمة ﺹ، دعونا نعد ترتيب المعادلة لجعل ﺹ المتغير التابع. يمكننا فعل ذلك بإضافة خمسة ﺱ إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا ﺹ يساوي سالب ثلاثة زائد خمسة ﺱ. وبالتعويض عن ﺱ بسالب أربعة، نحصل على ﺹ يساوي سالب ثلاثة زائد خمسة في سالب أربعة. نجد بذلك أن ﺹ يساوي سالب ثلاثة ناقص ٢٠، وهو ما يساوي سالب ٢٣. إذن الزوج المرتب الأول هو سالب أربعة، سالب ٢٣.

في الزوج المرتب الثاني، نعرف قيمة ﺹ. ‏ﺹ يساوي سالب ١٣. وبما أننا نريد إيجاد قيمة ﺱ، دعونا نجعل ﺱ المتغير التابع في هذه العلاقة. بطرح ﺹ من طرفي المعادلة سالب خمسة ﺱ زائد ﺹ يساوي سالب ثلاثة، نحصل على سالب خمسة ﺱ يساوي سالب ثلاثة ناقص ﺹ. وبقسمة الطرفين على سالب خمسة، نحصل على ﺱ يساوي ثلاثة على خمسة زائد ﺹ على خمسة. يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة ﺱ يساوي ثلاثة زائد ﺹ على خمسة. وبالتعويض عن ﺹ بسالب ١٣ في هذه المعادلة، نجد أن ﺱ يساوي ثلاثة زائد سالب ١٣ مقسومًا على خمسة؛ أي سالب ١٠ على خمسة، وهو ما يساوي سالب اثنين. ومن ثم فإن قيمة ﺱ في الزوج المرتب الثاني هي سالب اثنين. إذن الزوج المرتب الثاني هو سالب اثنين، سالب ١٣.

بالنسبة إلى الزوج المرتب الثالث، نجد أن ﺱ يساوي صفرًا. وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة المستخدمة لإيجاد قيمة ﺹ، نجد أن ﺹ يساوي سالب ثلاثة زائد خمسة في صفر. ومن ثم فإن ﺹ يساوي سالب ثلاثة. إذن الزوج المرتب الثالث هو صفر، سالب ثلاثة.

في الزوج المرتب الرابع، لدينا أيضًا قيمة ﺱ، وهي ثلاثة؛ ومن ثم يمكننا الاستعانة بالمعادلة المستخدمة لإيجاد قيمة ﺹ مرة أخرى. ‏ﺹ يساوي سالب ثلاثة زائد خمسة في ثلاثة؛ أي سالب ثلاثة زائد ١٥، وهو ما يساوي ١٢. إذن الزوج المرتب الرابع هو ثلاثة، ١٢.

بالنسبة إلى الزوج المرتب الخامس والأخير، نلاحظ أن قيمة ﺹ تساوي ٣٢. وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة المستخدمة لإيجاد قيمة ﺱ، نجد أن ﺱ يساوي ثلاثة زائد ٣٢ على خمسة؛ أي ٣٥ مقسومًا على خمسة، وهو ما يساوي سبعة. إذن الزوج المرتب الأخير هو سبعة، ٣٢.

وبذلك نجد أن القيم الناقصة في الجدول هي ﺹ يساوي سالب ٢٣، وﺱ يساوي سالب اثنين، وﺹ يساوي سالب ثلاثة، وﺹ يساوي ١٢، وﺱ يساوي سبعة. ومن ثم فإن الأزواج المرتبة لدينا هي: سالب أربعة، سالب ٢٣؛ وسالب اثنين، سالب ١٣؛ وصفر، سالب ثلاثة؛ وثلاثة، ١٢؛ وسبعة، ٣٢.

في المثال الآتي، سنستخدم معادلة خطية معطاة وزوجًا مرتبًا يحقق هذه العلاقة لإيجاد قيمة معامل مجهول.

إذا كان الزوج المرتب سالب سبعة، سالب ثلاثة يحقق العلاقة ثلاثة ﺱ زائد ﺏﺹ يساوي سالب ثلاثة، فأوجد قيمة ﺏ.

لإيجاد قيمة ﺏ في العلاقة الخطية المعطاة، نعوض بقيمتي ﺱ وﺹ من الزوج المرتب في العلاقة الخطية لدينا. بعد ذلك نحل العلاقة الخطية لإيجاد قيمة ﺏ. بالتعويض عن ﺱ بسالب سبعة وعن ﺹ بسالب ثلاثة في العلاقة الخطية ثلاثة ﺱ زائد ﺏﺹ يساوي سالب ثلاثة، نحصل على ثلاثة في سالب سبعة زائد ﺏ في سالب ثلاثة يساوي سالب ثلاثة. وهذا يعطينا سالب ٢١ ناقص ثلاثة ﺏ يساوي سالب ثلاثة. لإيجاد قيمة ﺏ، يمكننا إضافة ٢١ إلى كلا الطرفين، وهذا يعطينا سالب ثلاثة ﺏ يساوي سالب ثلاثة زائد ٢١، وهو ما يساوي ١٨ في الطرف الأيمن.

وبقسمة الطرفين على سالب ثلاثة، نجد أن ﺏ يساوي ١٨ على سالب ثلاثة. ومن ثم فإن ﺏ يساوي سالب ستة. إذن قيمة ﺏ التي تحقق العلاقة ثلاثة ﺱ زائد ﺏﺹ يساوي سالب ثلاثة، إذا كانت النقطة سالب سبعة، سالب ثلاثة تحقق هذه العلاقة، هي سالب ستة.

يمكن تمثيل العلاقة الخطية بيانيًّا على صورة خط مستقيم، ومن هنا جاء مصطلح «خطي». إذا عرفنا زوجين مرتبين على الأقل يحققان علاقة خطية محددة، فإنه يمكننا تحديد النقطتين الممثلتين بالزوجين المرتبين ثم رسم الخط المستقيم الذي يمر بهاتين النقطتين لتمثيل هذه العلاقة بيانيًّا. على سبيل المثال، الزوجان المرتبان سالب واحد، سالب ثلاثة؛ واثنان، ثلاثة كلاهما يحققان العلاقة الخطية: سالب اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي سالب واحد. يمكننا تمثيل هذه العلاقة بيانيًّا بتمثيل النقطتين اللتين إحداثياتهما ﺱ يساوي سالب واحد، ﺹ يساوي سالب ثلاثة وﺱ يساوي اثنين، ﺹ يساوي ثلاثة، ثم رسم خط مستقيم يمر بهاتين النقطتين.

لاحظ أنه على الرغم من أننا رسمنا الخط المستقيم الممثل للعلاقة الخطية باستخدام النقطتين المعطاتين فقط، فإن كل نقطة واقعة على هذا الخط المستقيم ممثلة بزوج مرتب ﺱ، ﺹ تحقق العلاقة الخطية: سالب اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي سالب واحد. وهنا ﺱ وﺹ هما إحداثيات النقطة الواقعة على الخط المستقيم.

بوضع ذلك في الاعتبار، والنظر مرة أخرى إلى مثال الطوابع البريدية، نلاحظ أن العلاقة الخطية: ٢٠ﺱ زائد ٥٠ﺹ يساوي ٢٤٠، التي يمكننا كتابتها على الصورة المكافئة: اثنان ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ٢٤، يمكن تمثيلها بيانيًّا كما هو موضح. لكن في هذه الحالة، على الرغم من أن العلاقة الخطية: ٢٠ﺱ زائد ٥٠ﺹ يساوي ٢٤٠ ممثلة بالكامل بهذا الخط المستقيم المرسوم، فإننا نعلم أنه في الواقع توجد ثلاث نقاط فقط على هذا الخط المستقيم تتوافق مع المثال السابق لشراء طوابع بقيمة ٢٤٠ قرشًا. تذكر أن ﺱ هو عدد الطوابع التي قيمتها ٢٠ قرشًا، وﺹ هو عدد الطوابع التي قيمتها ٥٠ قرشًا، ولا يمكن تقسيم عدد هذه الطوابع إلى وحدات أصغر. ومن ثم في هذا المثال تحديدًا، يجب أن تكون الحلول قيمًا لأعداد كلية موجبة. وعلى الرغم من أن هذا ينطبق على عدد الطوابع، فإن أي نقطة ﺱ، ﺹ واقعة على الخط المستقيم المعطى تحقق العلاقة الخطية: ٢٠ﺱ زائد ٥٠ﺹ يساوي ٢٤٠، أو العلاقة المكافئة: اثنان ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ٢٤.

في العلاقات الخطية التي ناقشناها حتى الآن؛ أي العلاقات التي على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، كان المعاملان ﺃ وﺏ لا يساويان صفرًا. لنلق نظرة الآن على الحالات الخاصة؛ حيث ﺃ أو ﺏ يساوي صفرًا.

بالنسبة إلى العلاقة الخطية ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، ففي الحالة الخاصة؛ حيث ﺃ يساوي صفرًا، تبسط العلاقة إلى ﺏﺹ يساوي ﺟ. وإذا قسمنا الطرفين على ﺏ، فسنحصل على ﺹ يساوي ﺟ على ﺏ. هذا يعني أنه لكل قيمة من قيم ﺱ، فإن ﺹ يساوي الثابت ﺟ على ﺏ. ما يعنيه ذلك بيانيًّا هو أن التمثيل البياني لهذه العلاقة هو خط أفقي يمر بالنقطة ﺹ يساوي ﺟ على ﺏ على المحور ﺹ. إذن هذه هي الحالة التي يكون فيها ﺃ مساويًا للصفر.

وإذا نظرنا إلى الحالة التي يكون فيها ﺃ لا يساوي صفرًا في حين ﺏ يساوي صفرًا، نجد أن ﺃﺱ يساوي ﺟ. وإذا قسمنا الطرفين على ﺃ، فسنحصل على ﺱ يساوي ﺟ على ﺃ. وبيانيًّا هذا يمثل بخط رأسي يمر بالنقطة ﺱ يساوي ﺟ على ﺃ على المحور ﺱ. في المثال الآتي، مطلوب منا رسم التمثيل البياني لعلاقة خطية من هذا النوع.

بمعلومية العلاقة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، ارسم التمثيل البياني لها إذا كان ﺃ يساوي صفرًا، وﺏ يساوي ثلاثة، وﺟ يساوي اثنين.

لرسم التمثيل البياني للعلاقة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ؛ حيث تأخذ المعاملات القيم المعطاة، نعوض أولًا بهذه القيم في المعادلة. بما أن ﺃ يساوي صفرًا، وﺏ يساوي ثلاثة، وﺟ يساوي اثنين، يصبح لدينا صفر في ﺱ زائد ثلاثة في ﺹ يساوي اثنين. وهذا يعطينا ثلاثة ﺹ يساوي اثنين. وبقسمة الطرفين على ثلاثة، نحصل على ﺹ يساوي اثنين على ثلاثة.

قبل رسم التمثيل البياني، دعونا نلاحظ أن هناك طريقة أخرى للنظر إلى ذلك وهي أنه في العلاقة الخطية ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، إذا كان ﺃ يساوي صفرًا، فإن العلاقة تصبح ﺹ يساوي ﺟ على ﺏ. أخبرنا السؤال بأن ﺟ يساوي اثنين وﺏ يساوي ثلاثة. وكما أوجدنا، فإن ﺹ يساوي اثنين على ثلاثة. لرسم التمثيل البياني لهذه العلاقة ﺹ يساوي اثنين على ثلاثة، نلاحظ أن تفسير هذه العلاقة هو أنه لكل قيمة من قيم ﺱ، فإن ﺹ يساوي القيمة الثابتة اثنين على ثلاثة. إذن التمثيل البياني لهذه العلاقة هو خط أفقي يمر بالنقطة ﺹ يساوي اثنين على ثلاثة على المحور ﺹ.

دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها. يمكن تمثيل أي علاقة خطية على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ بمجموعة من الأزواج المرتبة ﺱ، ﺹ بحيث تحقق كل مجموعة من القيم هذه العلاقة. بمعلومية الزوج المرتب ﺱ، ﺹ، يمكننا إيجاد معامل مجهول في العلاقة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ. لرسم التمثيل البياني لعلاقة خطية، نرسم إحداثيات زوجين مرتبين أو أكثر. يمثل الخط المستقيم الوحيد المار بهذه النقاط العلاقة الخطية. العلاقتان الخطيتان ﻡﺃﺱ زائد ﻡﺏﺹ يساوي ﻡﺟ، وﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، متكافئتان ولهما نفس التمثيل البياني. إذا لم توجد أي عوامل مشتركة بين ﺃ وﺏ وﺟ، فإن ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ هي أبسط صورة للعلاقة. إذا كان ﺃ يساوي صفرًا في العلاقة الخطية ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ، فإن ﺹ يساوي ﺟ على ﺏ، وتمثيلها البياني يكون خطًّا أفقيًّا يمر بالنقطة ﺹ يساوي ﺟ على ﺏ. وأخيرًا: إذا كان ﺏ يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي ﺟ على ﺃ، وتمثيلها البياني يكون خطًّا رأسيًّا يمر بالنقطة ﺱ يساوي ﺟ على ﺃ.