فيديو: العجلة المتوسطة واللحظية

في هذا الفيديو، سندرس العجلة المتوسطة واللحظية؛ حيث سنتعلم كيفية حسابهما وعلاقتهما بموضع الجسم وسرعته المتجهة.

٠٩:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سندرس العجلة المتوسطة واللحظية. فسنتعرف على هذين المصطلحين، وعلاقتهما بالسرعة المتجهة والموضع، وكيفية استخدامهما عمليًا في حل المسائل.

في البداية، تخيل أنك في مضمار سباق تشاهد سائقك المفضل يتنافس في سباق بطولة. وبعد عدة ساعات من القيادة، وصلت جميع السيارات إلى الدورة الأخيرة في السباق. لسوء الحظ، لم يكن سائقك المفضل في المقدمة. وتبدأ في التساؤل: إذا حافظت جميع السيارات الأخرى على سرعتها الحالية، فهل سيتمكن سائقك من التسارع ليتعداها ويقطع خط النهاية أولًا؟ هذا سؤال سنحتاج للإجابة عنه إلى أن نفهم المقصود بالعجلة.

العجلة هي معدل تغير السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن. وهذا يعني أننا إذا أردنا حساب العجلة المتوسطة لجسم، فإننا خلال فترة زمنية ما، تبدأ بـ 𝑡 الابتدائي وتنتهي بـ 𝑡 النهائي، سنطرح السرعة المتجهة للجسم عند الزمن الابتدائي من السرعة المتجهة للجسم عند الزمن النهائي، ثم نقسم ذلك على الفرق الكلي في الزمن. إذا أردنا توسيع نطاق هذا المفهوم ليشمل حساب العجلة اللحظية، وهي العجلة عند نقطة زمنية معينة، فإننا سنقلص الفجوة بين الزمن النهائي والابتدائي عن قصد، بحيث تصبح أصغر وأصغر حتى يقترب هذا الفرق الزمني من الصفر.

نعلم الآن أن العجلة اللحظية تساوي مشتقة السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن. ويمكن أن نتذكر أن السرعة اللحظية تتحدد في صورة مشتقة الموضع بالنسبة إلى الزمن. لدينا هنا ثلاثة مصطلحات: الموضع، والسرعة المتجهة، والعجلة؛ وجميعها مصطلحات مرتبطة ببعضها. ويمكن أن نفكر فيها كما لو كانت سلمًا؛ حيث يكون الموضع على الدرجة العلوية للسلم، والسرعة المتجهة على الدرجة التالية، والعجلة أسفل ذلك. للوصول من الموضع إلى السرعة المتجهة، سنحسب مشتقة بالنسبة إلى الزمن. وسنفعل ذلك أيضًا للانتقال من السرعة إلى العجلة. وإذا أردنا صعود درجات السلم، من العجلة إلى السرعة المتجهة مثلًا، فإننا نحسب تكامل العجلة بالنسبة إلى الزمن. وسنفعل ذلك أيضًا للصعود من السرعة المتجهة إلى الموضع.

وكملاحظة جانبية، فإن هذه المصطلحات الثلاثة ليست المصطلحات الوحيدة التي تصف الحركة. إذا أخذنا مشتقة العجلة بالنسبة إلى الزمن، فسنصل إلى مصطلح أقل شهرة يعرف باسم «الهزة». إذا استقللنا سيارة تتحرك بعجلة متغيرة، فإن مصطلح الهزة يمكن أن يكون وصفًا جيدًا لما قد تشعر به. ولكن مفاهيم الموضع والسرعة المتجهة والعجلة تغطي معظم الحركة التي نهتم بدراستها. والآن بعدما تعلمنا كيفية حساب العجلة المتوسطة واللحظية، لنتدرب على استخدام هذه المفاهيم.

حصان سباق يمر خلال بوابة الانطلاق ويتسارع من السكون إلى سرعة متجهة مقدارها 15.0 مترًا لكل ثانية في اتجاه الغرب، في فترة زمنية مقدارها 1.80 ثانية. أوجد العجلة المتوسطة لحصان السباق. افترض أن الحركة شرقًا تناظر الإزاحة الموجبة. نريد إيجاد العجلة المتوسطة لحصان السباق خلال الفترة الزمنية 1.80 ثانية. يمكننا تسمية تلك الفترة الزمنية 𝛥𝑡. ويمكننا تسمية السرعة المتجهة النهائية للحصان، 15.0 مترًا في الثانية، 𝑣 𝑓. إذا سمينا العجلة المتوسطة لحصان السباق 𝑎 avg، يمكننا كتابة أنها تساوي السرعة المتجهة النهائية للحصان ناقص سرعته المتجهة الابتدائية على 𝛥𝑡، وهو الزمن الذي استغرقه في تغيير سرعته المتجهة بهذا المقدار.

بما أن الحصان كان يمر خلال بوابة الانطلاق، فيمكننا افتراض أن 𝑣 𝑖 تساوي صفرًا. وبما أن لدينا 𝑣 𝑓 و𝛥𝑡 في رأس المسألة، فنحن جاهزون تقريبًا لإيجاد 𝑎 avg. النقطة الوحيدة التي نريد وضعها في الحسبان هي أن هذا متجه. ومن ثم، يمكن أن تكون له قيمة موجبة أو سالبة. نعلم أن السرعة، 𝑣 𝑓، في اتجاه الغرب. لكن الحركة في اتجاه الشرق هي الحركة التي نعتبرها في الاتجاه الموجب. وهذا يعني أنه يمكننا وضع إشارة سالب أمام السرعة المتجهة النهائية للحصان. ففي النهاية، يتحرك الحصان في الاتجاه السالب، طبقًا للإشارات التي حددناها. وبناء عليه، فإن العجلة في المتوسط تساوي سالب 15.0 مترًا لكل ثانية مقسومًا على 1.80 ثانية، أو سالب 8.33 أمتار لكل ثانية تربيع. تلك هي العجلة المتوسطة للحصان. الآن لنتناول تدريبًا لحساب العجلة اللحظية، وكذلك السرعة اللحظية.

يتغير موضع جسيم على المحور 𝑥 مع الزمن طبقًا للمعادلة: الدالة 𝑥 في المتغير 𝑡 تساوي 1.5 ناقص 3.3𝑡 تربيع مترًا. ما سرعة الجسيم عندما 𝑡 يساوي 2.7 ثانية؟ ما سرعة الجسيم عندما 𝑡 يساوي 4.3 ثوان؟ ما عجلة الجسيم عندما 𝑡 يساوي 2.7 ثانية؟ ما عجلة الجسيم عندما 𝑡 يساوي 4.3 ثوان؟

إذن، لدينا معادلة تصف موضع جسيم كدالة في الزمن، ونريد حساب السرعة اللحظية والعجلة اللحظية عند قيمتين مختلفتين للزمن، 𝑡 يساوي 2.7 ثانية و𝑡 يساوي 4.3 ثوان. يمكن أن نسمي القيم التي نريد إيجادها 𝑣 عند 2.7 ثانية، و𝑣 عند 4.3 ثوان، و𝑎 عند 2.7 ثانية، و𝑎 عند 4.3 ثوان. وبالنظر إلى هذه المعطيات، نتذكر أنه ثمة علاقة بين الموضع، والسرعة المتجهة، والعجلة. السرعة اللحظية تساوي مشتقة الموضع بالنسبة إلى الزمن. والعجلة اللحظية تساوي مشتقة السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن، وتساوي أيضًا المشتقة الثانية للموضع بالنسبة إلى الزمن. بما أن لدينا موضع الجسيم بالنسبة إلى الزمن، دعونا نشتقه مرتين لإيجاد السرعة اللحظية والعجلة اللحظية.

السرعة اللحظية كدالة في الزمن تساوي مشتقة 1.5 ناقص 3.3𝑡 تربيع أمتار بالنسبة إلى الزمن. بحساب هذه المشتقة، نجد أنها تساوي سالب 6.6𝑡 أمتار لكل ثانية. هذا يخبرنا أنه لإيجاد السرعة المتجهة عندما 𝑡 يساوي 2.7 ثانية وعندما 𝑡 يساوي 4.3 ثوان، كل ما نحتاجه هو التعويض بقيم الزمن تلك في هذا المقدار العام. عند فعل ذلك، فإن السرعة عند 2.7 ثانية تساوي سالب 18 مترًا لكل ثانية، مقربة لأقرب رقمين معنويين. والسرعة عند 4.3 ثوان تساوي سالب 28 مترًا لكل ثانية، مقربة لأقرب رقمين معنويين. والآن لنواصل إيجاد العجلة عند قيمتي الزمن المحددتين.

بتذكر أن العجلة تساوي مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن، يمكننا كتابة أن العجلة كدالة في الزمن تساوي مشتقة سالب 6.6𝑡 أمتار لكل ثانية بالنسبة إلى الزمن. فنجد أن هذه المشتقة تساوي قيمة ثابتة، سالب 6.6 أمتار لكل ثانية تربيع. هذا يعني أن هذه ستكون قيمة العجلة، بالنسبة لأي قيمة للزمن. إذن، العجلة عند 2.7 ثانية تساوي العجلة عند 4.3 ثوان، والتي تساوي سالب 6.6 أمتار لكل ثانية تربيع. هذه هي العجلة عند قيمتي الزمن هاتين.

لنأخذ دقيقة لتلخيص ما تعلمناه عن العجلة المتوسطة واللحظية. العجلة هي معدل تغير السرعة بالنسبة إلى الزمن. وهذا يعني أنها متجه. العجلة المتوسطة تساوي السرعة المتجهة لجسم عند زمن نهائي ما ناقص السرعة المتجهة لنفس الجسم عند زمن ابتدائي، الكل مقسومًا على تلك الفترة الزمنية، 𝑡 النهائي ناقص 𝑡 الابتدائي. العجلة اللحظية تساوي مشتقة السرعة بالنسبة إلى الزمن 𝑑𝑣 𝑑𝑡. هاتان المعادلتان مرتبطتان. فكلما قل الفاصل الزمني بين 𝑡 النهائي و𝑡 الابتدائي مقتربًا من الصفر، اقتربت العجلة المتوسطة من العجلة اللحظية. وترتبط العجلة بالسرعة المتجهة والموضع من خلال مشتقات بالنسبة إلى الزمن. بمعلومية إحدى هذه الكميات الثلاث، يمكننا إيجاد القيم الأخرى إما بالتكامل أو بالاشتقاق بالنسبة إلى 𝑡. وعليه، فإننا عادة ما نفهم حركة الجسم جيدًا عند معرفة موضعه وسرعته المتجهة وعجلته كدالة في الزمن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.