فيديو الدرس: العجلة المتوسطة واللحظية

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سندرس العجلة المتوسطة واللحظية. سنتعرف على هذين المصطلحين، وعلاقتهما بالسرعة المتجهة والموضع، وكيفية استخدامهما عمليًا في حل المسائل.

في البداية، تخيل أنك في مضمار سباق تشاهد سائقك المفضل يتنافس في سباق بطولة. وبعد عدة ساعات من القيادة، وصلت جميع السيارات إلى الدورة الأخيرة في السباق. لسوء الحظ، لم يكن سائقك المفضل في المقدمة. وتبدأ في التساؤل: إذا حافظت جميع السيارات الأخرى على سرعتها الحالية، فهل سيتمكن سائقك من التسارع ليتعداها ويقطع خط النهاية أولًا؟ للإجابة عن هذا السؤال سنحتاج إلى أن نفهم المقصود بالعجلة.

العجلة هي معدل تغير السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن. وهذا يعني أننا إذا أردنا حساب العجلة المتوسطة لجسم، فإننا خلال فترة زمنية ما، تبدأ بـ ‪𝑡‬‏ الابتدائي وتنتهي بـ ‪𝑡‬‏ النهائي، سنطرح السرعة المتجهة للجسم عند الزمن الابتدائي من السرعة المتجهة للجسم عند الزمن النهائي، ثم نقسم ذلك على الفرق الكلي في الزمن.

إذا أردنا توسيع نطاق هذا المفهوم ليشمل حساب العجلة اللحظية، وهي العجلة عند زمن معين، فإننا سنقلص الفجوة بين الزمن النهائي والابتدائي عن قصد، بحيث تصبح أصغر وأصغر حتى يقترب هذا الفرق الزمني من الصفر. نعلم الآن أن العجلة اللحظية تساوي مشتقة السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن. ويمكن أن نتذكر أن السرعة اللحظية تتحدد في صورة مشتقة الموضع بالنسبة إلى الزمن.

لدينا هنا ثلاثة مصطلحات: الموضع، والسرعة المتجهة، والعجلة؛ وجميعها مصطلحات مرتبطة ببعضها. ويمكن أن نفكر فيها كما لو كانت سلمًا؛ حيث يكون الموضع على الدرجة العلوية للسلم، والسرعة المتجهة على الدرجة التالية، والعجلة أسفل ذلك. للوصول من الموضع إلى السرعة المتجهة، سنحسب المشتقة بالنسبة إلى الزمن. وسنفعل ذلك أيضًا للانتقال من السرعة المتجهة إلى العجلة. وإذا أردنا صعود درجات السلم، من العجلة إلى السرعة المتجهة مثلًا، فإننا نحسب تكامل العجلة بالنسبة إلى الزمن. وسنفعل ذلك أيضًا للصعود من السرعة المتجهة إلى الموضع.

وكملاحظة جانبية، فإن هذه المصطلحات الثلاثة ليست المصطلحات الوحيدة التي تصف الحركة. إذا أخذنا مشتقة العجلة بالنسبة إلى الزمن، فسنصل إلى مصطلح أقل شهرة يعرف باسم «الهزة». إذا استقللنا سيارة تتحرك بعجلة متغيرة، فإن مصطلح الهزة يمكن أن يكون وصفًا جيدًا لما قد تشعر به. ولكن مفاهيم الموضع والسرعة المتجهة والعجلة تغطي معظم الحركة التي نهتم بدراستها. والآن بعدما تعلمنا كيفية حساب العجلة المتوسطة واللحظية، لنتدرب على استخدام هذه المفاهيم.

يجتاز حصان سباق بوابة البداية، ويتحرك بعجلة من السكون إلى سرعة مقدارها ‪15.0‬‏ مترًا لكل ثانية ناحية الغرب في فترة زمنية مقدارها ‪1.80‬‏ ثانية. أوجد العجلة المتوسطة لحصان السباق. افترض أن الحركة شرقًا تناظر الإزاحة الموجبة.

نريد إيجاد العجلة المتوسطة لحصان السباق خلال الفترة الزمنية ‪1.80‬‏ ثانية. يمكننا تسمية تلك الفترة الزمنية ‪𝛥𝑡‬‏. ويمكننا تسمية السرعة النهائية للحصان، ‪15.0‬‏ مترًا لكل ثانية، ‪𝑣𝑓‬‏. إذا سمينا العجلة المتوسطة لحصان السباق ‪𝑎 avg‬‏، يمكننا كتابة أنها تساوي السرعة المتجهة النهائية للحصان ناقص سرعته المتجهة الابتدائية على ‪𝛥𝑡‬‏، وهو الزمن الذي استغرقه في تغيير سرعته المتجهة بهذا المقدار.

بما أن الحصان كان يمر خلال بوابة البداية، فيمكننا افتراض أن ‪𝑣𝑖‬‏ تساوي صفرًا. وبما أن لدينا ‪𝑣𝑓‬‏ و‪𝛥𝑡‬‏ في رأس المسألة، فنحن جاهزون تقريبًا لإيجاد ‪𝑎 avg‬‏. النقطة الوحيدة التي نريد وضعها في الحسبان هي أنها قيمة متجهة. ومن ثم، يمكن أن تكون لها قيمة موجبة أو سالبة.

نعلم أن السرعة، ‪𝑣𝑓‬‏، في اتجاه الغرب، لكن الحركة في اتجاه الشرق هي الحركة التي نعتبرها في الاتجاه الموجب. وهذا يعني أنه يمكننا وضع إشارة سالبة أمام السرعة المتجهة النهائية للحصان. ففي النهاية، يتحرك الحصان في الاتجاه السالب، طبقًا للإشارات التي حددناها. وبناء عليه، فإن العجلة المتوسطة تساوي سالب ‪15.0‬‏ مترًا لكل ثانية مقسومًا على ‪1.80‬‏ ثانية، أو سالب ‪8.33‬‏ أمتار لكل ثانية تربيع. تلك هي العجلة المتوسطة للحصان.

الآن لنتناول تدريبًا لحساب العجلة اللحظية، وكذلك السرعة اللحظية.

يتغير موضع جسيم على المحور ‪𝑥‬‏ مع الزمن طبقًا للمعادلة: ‪𝑥‬‏ دالة في المتغير ‪𝑡‬‏ تساوي ‪1.5‬‏ ناقص ‪3.3𝑡‬‏ تربيع متر. ما سرعة الجسيم عند ‪𝑡‬‏ يساوي ‪2.7‬‏ ثانية؟ ما سرعة الجسيم عند ‪𝑡‬‏ يساوي ‪4.3‬‏ ثوان؟ ما عجلة الجسيم عند ‪𝑡‬‏ يساوي ‪2.7‬‏ ثانية؟ ما عجلة الجسيم عند ‪𝑡‬‏ يساوي ‪4.3‬‏ ثوان؟

إذن، لدينا معادلة تصف موضع جسيم باعتباره دالة في الزمن، ونريد حساب السرعة المتجهة اللحظية والعجلة اللحظية عند قيمتين مختلفتين للزمن، ‪𝑡‬‏ يساوي ‪2.7‬‏ ثانية و‪𝑡‬‏ يساوي ‪4.3‬‏ ثوان. يمكن أن نسمي القيم التي نريد إيجادها ‪𝑣‬‏ عند ‪2.7‬‏ ثانية، و‪𝑣‬‏ عند ‪4.3‬‏ ثوان، و‪𝑎‬‏ عند ‪2.7‬‏ ثانية، و‪𝑎‬‏ عند ‪4.3‬‏ ثوان.

وبالنظر إلى هذه المعطيات، نتذكر أنه ثمة علاقة بين الموضع، والسرعة المتجهة، والعجلة. السرعة المتجهة اللحظية تساوي مشتقة الموضع بالنسبة إلى الزمن. والعجلة اللحظية تساوي مشتقة السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن، وتساوي أيضًا المشتقة الثانية للموضع بالنسبة إلى الزمن. بما أن لدينا موضع الجسيم بالنسبة إلى الزمن، دعونا نشتقه مرتين لإيجاد السرعة اللحظية والعجلة اللحظية.

السرعة المتجهة اللحظية باعتبارها دالة في الزمن تساوي مشتقة ‪1.5‬‏ ناقص ‪3.3𝑡‬‏ تربيع متر بالنسبة إلى الزمن. بحساب هذه المشتقة، نجد أنها تساوي سالب ‪6.6𝑡‬‏ متر لكل ثانية. هذا يخبرنا أنه لإيجاد السرعة المتجهة عندما ‪𝑡‬‏ يساوي ‪2.7‬‏ ثانية وعندما ‪𝑡‬‏ يساوي ‪4.3‬‏ ثوان، كل ما نحتاجه هو التعويض بقيم الزمن تلك في هذه المعادلة العامة. عند فعل ذلك، فإن السرعة عند ‪2.7‬‏ ثانية تساوي سالب ‪18‬‏ مترًا لكل ثانية، مقربة لأقرب رقمين معنويين، والسرعة عند ‪4.3‬‏ ثوان تساوي سالب ‪28‬‏ مترًا لكل ثانية، مقربة لأقرب رقمين معنويين.

والآن لنواصل إيجاد العجلة عند قيمتي الزمن المحددتين. بتذكر أن العجلة تساوي مشتقة السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن، يمكننا كتابة أن العجلة باعتبارها دالة في الزمن تساوي مشتقة سالب ‪6.6𝑡‬‏ متر لكل ثانية بالنسبة إلى الزمن. فنجد أن هذه المشتقة تساوي قيمة ثابتة، سالب ‪6.6‬‏ أمتار لكل ثانية تربيع. هذا يعني أن هذه ستكون قيمة العجلة، عند أي قيمة للزمن. إذن، العجلة عند ‪2.7‬‏ ثانية تساوي العجلة عند ‪4.3‬‏ ثوان، والتي تساوي سالب ‪6.6‬‏ أمتار لكل ثانية تربيع. هذه هي العجلة عند قيمتي الزمن هاتين.

لنأخذ دقيقة لتلخيص ما تعلمناه عن العجلة المتوسطة واللحظية. العجلة هي معدل تغير السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن. وهذا يعني أنها قيمة متجهة. العجلة المتوسطة تساوي السرعة المتجهة لجسم عند زمن نهائي ما ناقص السرعة المتجهة لنفس الجسم عند زمن ابتدائي، الكل مقسوم على تلك الفترة الزمنية، ‪𝑡‬‏ النهائي ناقص ‪𝑡‬‏ الابتدائي.

العجلة اللحظية تساوي مشتقة السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑡‬‏. هاتان المعادلتان مرتبطتان. فكلما قل الفرق الزمني بين ‪𝑡‬‏ النهائي و‪𝑡‬‏ الابتدائي مقتربًا من الصفر، اقتربت العجلة المتوسطة من العجلة اللحظية.

وترتبط العجلة بالسرعة المتجهة والموضع من خلال الاشتقاق بالنسبة إلى الزمن. بمعلومية إحدى هذه الكميات الثلاث، يمكننا إيجاد القيم الأخرى إما بالتكامل أو بالاشتقاق بالنسبة إلى ‪𝑡‬‏. وعليه، فإننا عادة ما نفهم حركة الجسم جيدًا عند معرفة موضعه وسرعته المتجهة وعجلته باعتبارها دوال في الزمن.