نسخة الفيديو النصية
وضع جسم وزنه ٥٦ نيوتن على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٣٠ درجة. معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي جذر ثلاثة على ستة. سحب الجسم لأعلى بخيط فصنع زاوية قياسها ٣٠ درجة مع خط أكبر ميل للمستوى. أوجد أقل شد لازم في الخيط ليصبح الجسم على وشك الحركة في اتجاه أعلى المستوى.
لدينا الكثير من المعطيات في هذه المسألة، لذا سنبدأ برسم شكل. لدينا مستوى يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٣٠ درجة. توضح المعطيات أن هذا المستوى خشن، لذا علينا أن نضع الاحتكاك في الاعتبار. يرتكز على المستوى جسم وزنه ٥٦ نيوتن. وهذا يعني أن القوة المتجهة لأسفل التي يبذلها الجسم على المستوى تساوي ٥٦ نيوتن. نحن نعلم أن هناك قوة رد فعل تؤثر في الاتجاه المضاد. وفي الواقع، إنها تؤثر عموديًّا على المستوى. دعونا نسم هذه القوة ﺭ.
علمنا أيضًا أن الجسم سحب لأعلى بواسطة خيط. إذن، لدينا قوة شد هنا. هذا الخيط يصنع زاوية قياسها ٣٠ درجة مع خط أكبر ميل للمستوى. وهذا موضح في الشكل. نريد حساب أقل شد لازم في الخيط ليصبح الجسم على وشك الحركة في اتجاه أعلى المستوى. بعبارة أخرى، الجسم في حالة اتزان؛ إذن يجب أن تكون القوى المؤثرة لأعلى والموازية للمستوى مساوية للقوى المؤثرة لأسفل والموازية للمستوى.
ثمة قوة أخرى تعنينا. وهي قوة الاحتكاك. تؤثر هذه القوة عكس الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم. لذا، فهي قوة مؤثرة لأسفل وموازية للمستوى. وأخيرًا، سنستخدم حقيقة أن الاحتكاك يساوي ﻡﺱﺭ، حيث ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك، ونعلم أنه يساوي جذر ثلاثة على ستة. وبمجرد تحديد القوى ذات الصلة، تكون مهمتنا هي تحليل القوى العمودية والموازية للمستوى.
نبدأ عادة بتحليل القوى العمودية حتى نتمكن من إيجاد قيمة ﺭ. لكن قبل أن نفعل ذلك، نضيف إلى الشكل هذين المثلثين القائمي الزاوية. وبإضافة المثلثين، سنتمكن من إيجاد مركبتي الشد والوزن اللتين تؤثران في اتجاه مواز للمستوى واتجاه عمودي عليه.
نبدأ بتناول القوى المؤثرة عموديًّا على المستوى. نحن نعلم أن الجسم يرتكز على المستوى. وهذا يعني أن القوى المؤثرة لأعلى والعمودية على المستوى يجب أن تكون مساوية للقوى المؤثرة لأسفل والعمودية على المستوى. هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك وهي أن مجموع متجهات هذه القوى يساوي صفرًا.
دعونا نتناول إذن القوى المؤثرة لأعلى والعمودية على المستوى. لدينا ﺭ. وهي قوة رد الفعل. ما يعنينا أيضًا هو مركبة قوة الشد التي تؤثر عموديًّا على المستوى. فلنسمها ﺱ. وفي الواقع، ﺱ هو الضلع المقابل في المثلث القائم الزاوية لدينا. ولقد سمينا الوتر ﺵ. قياس الزاوية المحصورة ٣٠ درجة. وباستخدام نسبة الجيب، وهي جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، تكون لدينا المعادلة جا ٣٠ يساوي ﺱ على ﺵ. نضرب طرفي هذه المعادلة في ﺵ. ونجد أن ﺱ، الذي يمثل مركبة الشد المؤثرة عموديًّا على المستوى، يساوي ﺵجا ٣٠. وهو يؤثر في اتجاه ﺭ نفسه. لذا، سنضيفه. جا ٣٠ يساوي نصفًا. إذن، هذا يساوي نصف ﺵ.
في الاتجاه المضاد والعمودي على المستوى، توجد مركبة الوزن. ونسميها ﺹ. في هذا المثلث القائم الزاوية، الضلع المجاور هو ﺹ والوتر يساوي ٥٦ نيوتن. باستخدام نسبة جيب التمام، نجد أن جتا ٣٠ يساوي ﺹ على ٥٦. إذن، يجب أن تكون مركبة الوزن التي تؤثر عموديًّا على المستوى هي ٥٦ في جتا ٣٠ وجتا ٣٠ يساوي جذر ثلاثة على اثنين. ومن ثم، هذا يساوي ٢٨ جذر ثلاثة. نطرح ذلك لأننا نعلم أن هذه القوة تؤثر في الاتجاه المضاد. وبما أن الجسم في حالة سكون، فهذا يساوي صفرًا.
تذكر أن هناك طريقة مكافئة لكتابة ذلك، وهي القول إن ﺭ زائد نصف ﺵ يساوي ٢٨ جذر ثلاثة. مجموع القوى المؤثرة لأعلى والعمودية على المستوى يساوي مجموع القوى المؤثرة لأسفل والعمودية على المستوى. وأخيرًا نريد حساب ﺵ لإيجاد الشد. إذن، سنعيد ترتيب المعادلة ونجعل ﺭ المتغير التابع.
ﺭ يساوي ٢٨ جذر ثلاثة ناقص نصف ﺵ. والآن بعد أن أصبح لدينا مقدار يعبر عن ﺭ، سنحلل القوى الموازية للمستوى. تذكر أن الجسم على وشك الحركة، ومن ثم فإن القوى المؤثرة لأعلى والموازية للمستوى يجب أن تكون مساوية للقوى المؤثرة لأسفل والموازية للمستوى. بدلًا من ذلك، نتذكر أن مجموع متجهات هذه القوى يساوي صفرًا. حسنًا، دعونا نعرف ما الذي يؤثر في اتجاه أعلى المستوى.
لدينا أولًا مركبة قوة الشد التي توازي المستوى. لقد أعدنا تسمية المثلث وسمينا هذا الضلع ﺱ. وهذه المرة سيكون الضلع المجاور في المثلث. إذن، جتا ٣٠ يساوي الضلع المجاور على الوتر، وهو ما يساوي ﺱ على ﺵ. ومن ثم، فإن مركبة قوة الشد المؤثرة لأعلى المستوى والموازية له تساوي ﺵجتا ٣٠ أو جذر ثلاثة ﺵ على اثنين. وهذه هي القوة الوحيدة المؤثرة لأعلى المستوى والموازية له. وهي تساوي القوى المؤثرة في الاتجاه المضاد والموازية للمستوى.
تمثل قوة الاحتكاك إحدى تلك القوى. لكننا نعلم أن الاحتكاك يساوي ﻡﺱﺭ. عرفنا أيضًا أن ﻡﺱ، وهو معامل الاحتكاك، يساوي جذر ثلاثة على ستة. وبذلك، يصبح لدينا جذر ثلاثة على اثنين ﺵ يساوي جذر ثلاثة على ستة ﺭ. يمكننا التعويض عن ﺭ بالمقدار لدينا بدلالة ﺵ. وهو يساوي ٢٨ جذر ثلاثة ناقص نصف ﺵ.
هناك مركبة أخرى تعنينا أيضًا. وهي مركبة الوزن التي تؤثر في اتجاه مواز للمستوى. لقد أعدنا تسمية المثلث، وهذه المرة سمينا هذا الضلع ﺹ. باستخدام نسبة الجيب، نجد أن جا ٣٠ يساوي ﺹ على ٥٦. إذن، ﺹ يساوي ٥٦ جا ٣٠. وجا ٣٠ يساوي نصفًا. ومن ثم، نحصل على ٢٨. تذكر أن هذه المركبة تؤثر في اتجاه قوة الاحتكاك نفسه.
لدينا الآن معادلة بدلالة ﺵ. دعونا نفك القوسين بالتوزيع. نحصل على ١٤ ناقص جذر ثلاثة على ١٢ﺵ عندما نضرب كل حد داخل القوسين في جذر ثلاثة على ستة. يبسط الطرف الأيسر إلى ٤٢ ناقص جذر ثلاثة على ١٢. نجمع جذر ثلاثة على اثنين ﺵ وجذر ثلاثة على ١٢ﺵ. ونضرب بسط الكسر الأول لدينا ومقامه في ستة. وبذلك نحصل على ستة جذر ثلاثة على ١٢ﺵ. وعندما نضيف جذر ثلاثة ﺵ على ١٢ إلى الطرفين، نحصل على سبعة جذر ثلاثة على ١٢ﺵ يساوي ٤٢.
نريد إيجاد قيمة ﺵ، لذلك سنقسم طرفي المعادلة على سبعة ثم نضربهما في ١٢. إذن، جذر ثلاثة ﺵ يساوي ٧٢. وأخيرًا، عند القسمة على جذر ثلاثة، نحصل على ٧٢ على جذر ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٢٤ جذر ثلاثة. بذلك، نجد أن مقدار الشد في الخيط يساوي ٢٤ جذر ثلاثة نيوتن. وهذا بالطبع أقل شد في الخيط. وإذا كان مقدار الشد أكبر من ذلك، فإن القوى المؤثرة لأعلى والموازية للمستوى ستكون أكبر من القوى المؤثرة لأسفل والموازية للمستوى. وسيبدأ الجسم في التحرك لأعلى.
