فيديو السؤال: إيجاد جميع القيم الممكنة للثابت التي تجعل جذور معادلة تربيعية معطاة غير حقيقية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت جذور المعادلة ٢٤ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ﻙ يساوي صفرًا غير حقيقية، فأوجد الفترة التي تحتوي على ﻙ.

قيل لنا إن جذور هذه المعادلة التربيعية، التي يمثل فيها ﻙ الحد الثابت، غير حقيقية. علينا أن نتذكر العلاقة الموجودة بين معاملات المعادلة التربيعية ونوع الجذور الخاصة بها.

لنفترض أن لدينا المعادلة التربيعية العامة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ومميز المعادلة التربيعية هو القيمة ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ. وقيمة المميز، أو بالأحرى، علامته هي التي تحدد نوع الجذور التي ستكون للمعادلة التربيعية.

فإذا كان المميز موجبًا، فسيكون للمعادلة التربيعية جذران حقيقيان ومختلفان. وإذا كانت قيمة المميز تساوي صفرًا، فسيكون للمعادلة التربيعية جذر حقيقي واحد مكرر. وإذا كانت قيمة المميز أقل من صفر، فلن يكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية، وهذه هي الحالة الموجودة لدينا في هذه المسألة.

وهكذا، نعلم أن مميز هذه المعادلة التربيعية لا بد أن يكون أقل من صفر. فلنحسب قيمة المميز بدلالة ﻙ. وعند مقارنة معاملات المعادلة التربيعية الموجودة لدينا بالصيغة العامة، نرى أن ﺃ يساوي ٢٤، وﺏ يساوي ستة، وﺟ يساوي ﻙ.

ومن ثم فالمميز ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ يساوي ستة تربيع ناقص أربعة في ٢٤ في ﻙ. ويمكن تبسيط هذا إلى ٣٦ ناقص ٩٦ﻙ. تذكروا أن جذور هذه المعادلة التربيعية ليست حقيقية. وبالتالي، فإن قيمة المميز أقل من صفر. ومن ثم، يصبح لدينا المتباينة ٣٦ ناقص ٩٦ﻙ أقل من صفر.

ولإيجاد الفترة التي تحتوي على ﻙ، علينا إيجاد قيمة ﻙ التي تحقق هذه المتباينة. والخطوة الأولى هي أن نطرح ٣٦ من كلا الطرفين. وهذا يعطينا سالب ٩٦ﻙ أقل من سالب ٣٦. والآن علينا قسمة طرفي المتباينة على سالب ٩٦.

ولا بد أن نتوخى الحذر الشديد هنا. فعلينا تذكر أنه عند قسمة أي متباينة على عدد سالب، يصبح علينا أن نعكس اتجاه المتباينة. وهكذا تتحول علامة أصغر من إلى علامة أكبر من. والآن لدينا ﻙ أكبر من سالب ٣٦ على سالب ٩٦. علامة السالب التي في البسط وعلامة السالب التي في المقام تلغي إحداهما الأخرى. ويمكن تبسيط الكسر إلى ثلاثة على ثمانية، وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على ١٢.

وهكذا، يصبح ﻙ أكبر من ثلاثة على ثمانية. لكن المسألة لم تطلب منا الحل في صورة متباينة. بل تطلب منا إيجاد الفترة التي تحتوي على ﻙ. إذا كان ﻙ لا بد أن يكون أكبر من ثلاثة على ثمانية، فمجموعة القيم الممكنة لـ ﻙ هي ما فوق ثلاثة على ثمانية إلى ما لا نهاية.

وحيث إن بداية الفترة ليست ضمن الحل ونهايتها ما لا نهاية، فيمكننا التعبير عن هذا بفترة مفتوحة، وهو ما تشير إليه الأقواس المربعة المواجهة للخارج. فينتمي ﻙ إلى الفترة المفتوحة التي طرفاها ثلاثة على ثمانية وما لا نهاية.