فيديو الدرس: حساب السرعة باستخدام التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن العلوم

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد السرعات باستخدام التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن. لنبدأ بتذكر ما يوضحه لنا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هو تمثيل بياني يقيس المسافة على المحور ﺹ مقابل الزمن على المحور ﺱ. إذا تضمن التمثيل البياني وحدات ومقياسًا عدديًّا لكلا المحورين، يمكننا قراءة المسافة والزمن لأي نقطة محددة على التمثيل البياني.

على سبيل المثال، لننظر إلى هذا التمثيل البياني. سنفترض أننا نريد قراءة قيمتي المسافة والزمن لهذه النقطة. لإيجاد قيمة الزمن، نرسم خطًّا رأسيًّا لأسفل من النقطة حتى نصل إلى محور الزمن. هذا هو المحور الأفقي أو المحور ﺱ. ونقرأ القيمة الموضحة على محور الزمن عند النقطة التي يلتقي عندها مع الخط الرأسي. في هذا المثال، هذه القيمة هي أربعة. ويمكننا ملاحظة أن وحدة محور الزمن هي الثانية. إذن الزمن عند هذه النقطة يساوي أربع ثوان.

لإيجاد قيمة المسافة، نعود إلى هذه النقطة ونرسم منها خطًّا أفقيًّا حتى نصل إلى محور المسافة. هذا هو المحور الرأسي أو المحور ﺹ. بقراءة القيمة الموضحة على محور المسافة عند النقطة التي يلتقي عندها هذا الخط مع المحور، نجد أن هذه القيمة هي اثنان. ويمكننا ملاحظة أن وحدة محور المسافة هي المتر. بذلك نكون قد قرأنا من التمثيل البياني أن المسافة عند هذه النقطة هي متران.

حسنًا، الآن وبعد أن ذكرنا أنفسنا بالتمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، دعونا نتناول الكمية الفيزيائية للسرعة. نتذكر هنا أن سرعة الجسم تعرف بأنها المسافة التي يقطعها هذا الجسم لكل وحدة زمن. لنفترض أن لدينا جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة سنسميها ﻉ. إذا علمنا أن الجسم يقطع المسافة ﻑ في الزمن ﺯ، فإن سرعة هذا الجسم ﻉ تساوي ﻑ على ﺯ.

وبما أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يعطينا معلومات عن كل من المسافة والزمن، فإنه يخبرنا بالسرعة أيضًا. ولعلك تتذكر أن الخط المرسوم عبر نقاط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يمثل السرعة. والخط المستقيم، تحديدًا، يمثل سرعة ثابتة. يقطع الجسم مقادير متساوية من المسافة في مقادير متساوية من الزمن. سنضيف بعض الوحدات والقيم العددية على محوري هذا التمثيل البياني لنرى مثالًا على ذلك. في البداية، دعونا نلق نظرة على ما يحدث بين الزمن صفر ثانية والزمن ثانية واحدة. يمكننا ملاحظة أنه عند الزمن صفر ثانية، قطع الجسم مسافة تساوي صفر متر. سنميز هذا الزوج من الزمن والمسافة بكتابة العدد واحد تحتهما. إذن عند الزمن ﺯ واحد الذي يساوي صفر ثانية، قطع الجسم المسافة ﻑ واحد التي تساوي صفر متر.

والآن سنلقي نظرة على النقطة الموضحة على التمثيل البياني التي يساوي فيها الزمن ثانية واحدة. دعونا نميز ذلك بالعدد اثنين تحت الرمز، بحيث يصبح لدينا ﺯ اثنان يساوي ثانية واحدة. نريد إيجاد المسافة التي قطعها الجسم عند هذا الزمن ﺯ اثنين. سنسمي هذه المسافة ﻑ اثنين. لإيجاد قيمة ﻑ اثنين، نرسم خطًّا رأسيًّا لأعلى من الزمن ﺯ اثنين، الذي يساوي ثانية واحدة، حتى يلتقي هذا الخط الرأسي بالخط المرسوم على التمثيل البياني. هذه النقطة على التمثيل البياني تناظر الزمن ﺯ اثنين الذي يساوي ثانية واحدة.

بعد ذلك، لإيجاد المسافة ﻑ اثنين، نرسم خطًّا أفقيًّا من هذه النقطة حتى نصل إلى محور المسافة. يلتقي الخط بالمحور عند القيمة واحد، ووحدة محور المسافة هي المتر. إذن فقيمة ﻑ اثنين تساوي مترًا واحدًا. بعبارة أخرى، بين الزمن ﺯ واحد الذي يساوي صفر ثانية والزمن ﺯ اثنين الذي يساوي ثانية واحدة، يتحرك الجسم من المسافة ﻑ واحد التي تساوي صفر متر إلى المسافة ﻑ اثنين التي تساوي مترًا واحدًا.

الزمن المستغرق بين هذه النقطة وهذه النقطة على التمثيل البياني يساوي الزمن النهائي، ﺯ اثنين، ناقص الزمن الابتدائي، ﺯ واحد. نسمي هذا الزمن المستغرق Δﺯ. ‏Δ حرف يوناني نستخدمه عادة لتمثيل التغير في الكمية. في هذا المثال، هذه الكمية هي الزمن. وΔﺯ هو التغير في الزمن بين الزمن ﺯ واحد والزمن ﺯ اثنين. بالتعويض بقيمتي ﺯ واحد وﺯ اثنين، نجد أن Δﺯ يساوي ثانية واحدة ناقص صفر ثانية، وهو ما يساوي ثانية واحدة. بالطريقة نفسها، يمكننا تعريف التغير في المسافة المقطوعة بين هذه النقطة وهذه النقطة بأنه Δﻑ يساوي ﻑ اثنين ناقص ﻑ واحد. بالتعويض بقيمتي ﻑ واحد وﻑ اثنين، نجد أن Δﻑ يساوي مترًا واحدًا ناقص صفر متر، وهو ما يساوي مترًا واحدًا.

رأينا سابقًا أننا إذا قسمنا المسافة التي يقطعها الجسم على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة، فسنحصل على سرعة الجسم. في هذا المثال، Δﻑ هو المسافة المقطوعة بين هذه النقطة وهذه النقطة على التمثيل البياني. وΔﺯ هو الزمن المستغرق لقطع المسافة بين هاتين النقطتين. إذن بين هاتين النقطتين على التمثيل البياني، قطع الجسم مسافة قدرها Δﻑ في زمن قدره Δﺯ. هذا يعني أنه يمكننا كتابة سرعة الجسم في صورة المسافة المقطوعة، Δﻑ، مقسومة على الزمن المستغرق، Δﺯ. فيما يخص الجزء الذي تناولناه من التمثيل البياني، Δﻑ يساوي مترًا واحدًا وΔﺯ يساوي ثانية واحدة. بالتعويض بهاتين القيمتين في هذه الصيغة للسرعة، نجد أن ﻉ تساوي مترًا واحدًا مقسومًا على ثانية واحدة. هذا يعني أن السرعة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية.

ذكرنا أن الخط المستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يمثل سرعة ثابتة. ومن الواضح أن ما على التمثيل البياني هنا خط مستقيم. لذا، دعونا نتحقق من أنه يمثل بالفعل سرعة ثابتة. لقد وجدنا السرعة بين صفر ثانية وثانية واحدة. هذه السرعة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية. لنتحقق الآن من أننا سنحصل على القيمة نفسها باستخدام الجزء الذي يقع بين ثانيتين وثلاث ثوان على التمثيل البياني. أولًا، علينا إخلاء بعض المساحة لفعل ذلك.

لحساب السرعة بين ثانيتين وثلاث ثوان، سنستخدم الطريقة نفسها التي استخدمناها لإيجاد هذه السرعة بين صفر ثانية وثانية واحدة. الخطوة الأولى هي إيجاد المسافة المقطوعة عند كل قيمة من القيمتين الزمنيتين. ونرسم خطًّا رأسيًّا لأعلى من الزمن الذي يساوي ثانيتين حتى نصل إلى الخط المرسوم. وبعد ذلك، نرسم خطًّا أفقيًّا يصل إلى محور المسافة. يمكننا بعد ذلك أن نقرأ من التمثيل البياني أنه عند الزمن ثانيتين، قطع الجسم مسافة تساوي مترين. سنسمي هذا الزمن ﺯ واحد، وهذه المسافة ﻑ واحد.

علينا الآن فعل الشيء نفسه مع الزمن ثلاث ثوان. نجد أنه عند الزمن ثلاث ثوان، قطع الجسم مسافة تساوي ثلاثة أمتار. سنميز هذا الزوج الثاني من القيم بكتابة العدد اثنين تحته. وكما فعلنا من قبل، يمكننا حساب المسافة المقطوعة بين هذه النقطة وهذه النقطة على التمثيل البياني. هذه المسافة المقطوعة، Δﻑ، تساوي ﻑ اثنين ناقص ﻑ واحد. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نجد أن Δﻑ يساوي ثلاثة أمتار ناقص مترين، وهو ما يساوي مترًا واحدًا.

وبالمثل، الفترة الزمنية بين النقطتين، Δﺯ، تساوي ﺯ اثنين ناقص ﺯ واحد. مرة أخرى، بالتعويض بالقيم التي لدينا، نجد أن Δﺯ يساوي ثلاث ثوان ناقص ثانيتين، وهو ما يساوي ثانية واحدة. لنستخدم الآن هذه المعادلة لحساب سرعة الجسم بين النقطتين. بالتعويض بقيمتي Δﻑ وΔﺯ، نجد أن السرعة ﻉ تساوي مترًا واحدًا مقسومًا على ثانية واحدة. هذا يعني أن السرعة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية.

لقد ألقينا نظرة على جزأين مختلفين من التمثيل البياني وتوصلنا إلى السرعة نفسها التي تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية في كل حالة. في الواقع، بغض النظر عن الجزء الذي نستخدمه من التمثيل البياني، سنحصل على النتيجة نفسها. يمثل هذا التمثيل البياني جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية. ولإيجاد هذه السرعة، ما فعلناه هو أننا حسبنا ميل الخط المستقيم على التمثيل البياني.

ميل الخط المستقيم، المعروف أيضًا بتدرج الخط المستقيم، يعرف بأنه التغير في الإحداثي الرأسي بين نقطتين على هذا الخط مقسومًا على التغير في الإحداثي الأفقي بين نفس النقطتين. وهذا بالضبط ما حسبناه لإيجاد السرعة ﻉ. ‏Δﻑ هو التغير في المسافة أو الإحداثي الرأسي. وقد قسمناه على Δﺯ، وهو التغير في الزمن أو الإحداثي الأفقي. إذن ميل الخط المستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يخبرنا بسرعة الجسم. وتوصلنا إلى أن ميل هذا الخط البرتقالي أو السرعة التي يمثلها تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية.

والآن لنلق نظرة على هذا الخط الوردي الذي أضفناه. بما أنه خط مستقيم، فإننا نعرف أنه يمثل سرعة ثابتة. هذا يعني أنه يمكننا استخدام أي جزء من الخط لحساب السرعة. لنلق نظرة على الجزء الذي يقع بين صفر ثانية وثانية واحدة. سنسمي هذين الزمنين ﺯ واحد وﺯ اثنين، على الترتيب. يمكننا أن نرى من التمثيل البياني أنه عند الزمن صفر ثانية، قطع الجسم مسافة تساوي صفر متر. سنسمي هذه المسافة ﻑ واحد. عند الزمن ثانية واحدة، قطع الجسم مسافة تساوي مترين. سنسمي هذه المسافة ﻑ اثنين.

نريد إيجاد ميل الخط المستقيم أو سرعة الجسم، التي تساوي حاصل قسمة التغير في المسافة، Δﻑ، على التغير في الزمن، Δﺯ. ‏Δﻑ يساوي ﻑ اثنين ناقص ﻑ واحد، في حين أن Δﺯ يساوي ﺯ اثنين ناقص ﺯ واحد. بالتعويض بالقيم التي لدينا وحل المعادلتين، نجد أن Δﻑ يساوي مترين، وΔﺯ يساوي ثانية واحدة. إذن فإن ﻉ تساوي مقدار الميل Δﻑ مقسومًا على Δﺯ. بالتعويض بالقيم، نجد أن هذا يساوي مترين على ثانية واحدة. وهذا يساوي مترين لكل ثانية.

إذن في هذا التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، وجدنا أن الخط البرتقالي يمثل سرعة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية، في حين يمثل الخط الوردي سرعة تساوي مترين لكل ثانية. ميل الخط الوردي أكبر، ومن ثم فهو يمثل سرعة أكبر. دون أي حسابات، يمكننا ملاحظة أن الخط الوردي يبدو أكثر انحدارًا من الخط البرتقالي. في حالة أي خطين مستقيمين مرسومين على نفس التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، يكون الخط الأكثر انحدارًا ذا ميل أكبر، ومن ثم يمثل السرعة الأكبر.

ينطبق الأمر نفسه عندما يكون لدينا تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن مثل هذا؛ حيث يتكون الخط من أجزاء مختلفة ذات انحدارات متباينة. دون أي حسابات، يمكننا بالنظر إلى هذا التمثيل البياني ملاحظة أن الخط يبلغ أقصى انحدار له بين صفر ثانية وثانية واحدة. ومن ثم، فإن هذا الجزء من التمثيل البياني له أقصى ميل. وعليه، يمكننا القول إن الجسم يبلغ أقصى سرعة له بين صفر ثانية وثانية واحدة. ولكن فيما يخص أي خطين مرسومين على تمثيلين بيانيين مختلفين للمسافة مقابل الزمن، لا يكون ميل هذين الخطين مماثلًا بالضرورة لمدى الانحدار الذي يبدوان عليه.

على سبيل المثال، لننظر إلى هذين التمثيلين البيانيين للمسافة مقابل الزمن. التمثيل البياني الموجود على اليسار مماثل للتمثيل البياني الأول الذي تناولناه. وقد أوجدنا بالفعل أن ميل هذا الخط يساوي مترًا واحدًا لكل ثانية. يبدو الخط على التمثيل البياني الموجود على اليمين أكثر انحدارًا من ذلك الموجود على التمثيل البياني على اليسار. لنحسب الآن ميل هذا الخط الموجود على التمثيل البياني على اليمين. نتذكر هنا أن الميل يساوي التغير في الإحداثي الرأسي، وهو المسافة، مقسومًا على التغير في الإحداثي الأفقي، وهو الزمن. لننظر إلى الجزء الذي يقع بين هاتين النقطتين على محور الزمن في التمثيل البياني. بقراءة المقياس على محور الزمن، نرى أن النقطة الأولى تقع عند زمن يساوي صفر ثانية والنقطة الثانية تقع عند زمن يساوي ١٠ ثوان. الفترة الزمنية، Δﺯ، بين النقطتين تساوي قيمة الزمن الثانية، ١٠ ثوان، ناقص قيمة الزمن الأولى، صفر ثانية. وهذا يساوي ١٠ ثوان.

يمكن أن نرى من التمثيل البياني أن المسافة المقطوعة عند صفر ثانية تساوي صفر متر، والمسافة المقطوعة عند ١٠ ثوان تساوي ثلاثة أمتار. هذا يعني أن المسافة Δﻑ المقطوعة في الزمن Δﺯ تساوي ثلاثة أمتار ناقص صفر متر. وهذا يساوي ثلاثة أمتار. إذن ميل هذا التمثيل البياني، Δﻑ مقسومًا على Δﺯ، يساوي ثلاثة أمتار على ١٠ ثوان، وهو ما يساوي ٠٫٣ متر لكل ثانية.

على الرغم من أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن الموجود على اليمين يبدو أكثر انحدارًا من ذلك الموجود على اليسار، فقيمة ميل التمثيل البياني الموجود على اليمين أقل من قيمة ميل ذلك الموجود على اليسار. ومن ثم، فالتمثيل البياني الموجود على اليمين يمثل سرعة أقل. والسبب في ذلك هو أن للتمثيلين البيانيين مقياسين مختلفين على محور الزمن. وعندما نستخدم هذه المعادلة لحساب الميل، فإننا نستخدم القيم العددية الموضحة على المحورين. ومن ثم، فإن مقاييس المحاور تؤخذ في الاعتبار عند حساب الميل. لكن الأمر ليس كذلك عندما ننظر فقط إلى مدى انحدار الخط. لذا، علينا توخي الحذر الشديد عند المقارنة بين الخطوط المرسومة على مجموعات مختلفة من المحاور. وبوجه عام، عندما نحسب أي ميل، من المهم أن نحرص على التحقق من مقاييس كل محور من المحورين.

لنختم هذا الدرس بتلخيص ما تعلمناه. أولًا، ذكرنا أنفسنا بأن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يوضح المسافة على المحور الرأسي مقابل الزمن على المحور الأفقي، والخط المستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يمثل جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة. ورأينا بعد ذلك أن ميل الخط المستقيم على التمثيل البياني يعرف بأنه التغير في الإحداثي الرأسي بين نقطتين مقسومًا على التغير في الإحداثي الأفقي بين النقطتين نفسيهما.

في هذه الحالة، الإحداثي الرأسي هو المسافة، والإحداثي الأفقي هو الزمن. ومن ثم، فإن ميل الخط المستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يساوي التغير في المسافة، Δﻑ، مقسومًا على التغير في الزمن، Δﺯ. تعلمنا أن الميل يساوي سرعة الجسم. وبعد ذلك، رأينا أنه في حالة أي خطين مرسومين على نفس التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، يكون ميل الخط الأكثر انحدارًا أكبر، ومن ثم فإنه يمثل السرعة الأكبر. ولكن الأمر نفسه لا ينطبق بالضرورة على أي خطين مرسومين على تمثيلين بيانيين مختلفين للمسافة مقابل الزمن لأن مقاييس المحاور في كل تمثيل قد تكون مختلفة.