فيديو السؤال: تبسيط مقدار يتضمن دوال أسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بسط ٣٦ أس ربع في ٢١ تربيع مضروبًا في ثمانية أس خمس، الكل مقسوم على ٤٨٦ أس واحد على ١٠ في ٤٢ تكعيب.

في هذا السؤال، مطلوب منا تبسيط مقدار يتضمن حواصل ضرب وقسمة مقادير أسية. ولفعل ذلك، علينا استخدام قوانين الأسس. يمكننا تبسيط المقدار كله دفعة واحدة. لكن من الأسهل تبسيط كل عامل على حدة. وذلك من شأنه أن يساعدنا على تجنب ارتكاب خطأ. هيا نبدأ بالعامل الأول في البسط. وهو يساوي ٣٦ أس ربع.

لتبسيط هذا العامل، علينا أولًا تحليل الأساس ٣٦ إلى عوامله الأولية. وذلك لأننا نحتاج إلى تبسيط مقدار بالكامل يتضمن حواصل ضرب وقسمة مقادير أسية. وحتى نتمكن من استخدام قوانين الأسس لتبسيط مقدار ما، يجب أن تكون إما الأسس أو الأساسات موحدة. لذا، علينا أن نجعل أساسات كل عامل من هذه العوامل في أبسط صورة ممكنة. ولهذا السبب نوجد العوامل الأولية للأساسات.

نلاحظ أن ٣٦ يساوي ستة تربيع وستة يساوي اثنين في ثلاثة. إذن، يمكننا كتابة ٣٦ على صورة اثنين تربيع مضروبًا في ثلاثة تربيع، ما يعني أنه يمكننا إعادة كتابة هذا العامل على صورة اثنين تربيع في ثلاثة تربيع، الكل أس ربع. علينا كتابة هذا العامل بدلالة مقادير أسية باستخدام الأساسين اثنين وثلاثة. ولفعل ذلك، علينا استخدام قوانين الأسس. بما أننا نريد رفع حاصل ضرب إلى قوة، فعلينا أن نستخدم النتيجة ﺃ في ﺏ الكل أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ. قيمة ﺃ تساوي اثنين تربيع. وقيمة ﺏ تساوي ثلاثة تربيع. وقيمة ﻥ تساوي ربعًا. هذا يعطينا اثنين تربيع أس ربع مضروبًا في ثلاثة تربيع أس ربع.

وأخيرًا، لكتابة ذلك على الصورة الأسية، علينا أن نلاحظ أننا نرفع مقدارًا أسيًّا إلى قوة أخرى. ونعرف أنه عندما نفعل ذلك، فإننا نحسب حاصل ضرب الأسين. ‏ﺃ أس ﻥ الكل أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ في ﻡ. وبما أن اثنين في ربع يساوي نصفًا، فيمكننا تبسيط ذلك لنحصل على اثنين أس نصف في ثلاثة أس نصف.

جدير بالملاحظة هنا أنه يمكننا إعادة كتابة هذا العامل باستخدام الجذور. لكننا سنستخدم هذه الطريقة لتبسيط المقدار المعطى في السؤال. وهذا يعني أننا سنحتاج في الأغلب إلى تطبيق قوانين الأسس، ومن ثم سيتعين علينا إجراء عمليات حسابية على الأسس. لذا، من الأسهل أن نتركها على صورة كسور. لننتقل الآن إلى العامل الثاني في البسط. وهو يساوي ٢١ تربيع. يمكننا اتباع خطوات مماثلة إلى حد كبير لإعادة كتابة هذا العامل. أولًا: نوجد العوامل الأولية للعدد ٢١. وهي تساوي ثلاثة في سبعة.

بعد ذلك، نطبق مرة أخرى قوانين الأسس لتوزيع الأس على حاصل الضرب. ثلاثة في سبعة الكل تربيع يساوي ثلاثة تربيع في سبعة تربيع. والآن يمكننا اتباع خطوات مماثلة لتبسيط العامل الثالث في البسط. أولًا: نحلل الأساس ثمانية إلى عوامله الأولية، ونجد أنه يساوي اثنين تكعيب، ما يعني أنه يمكننا إعادة كتابة هذا على صورة اثنين تكعيب، الكل أس خمس. بعد ذلك، يمكننا استخدام أحد قوانين الأسس لتبسيط ذلك إلى مقدار أسي له الأساس اثنان. اثنان أس ثلاثة الكل أس خمس يساوي اثنين أس ثلاثة في خمس، أو اثنين أس ثلاثة على خمسة.

هيا ننتقل الآن إلى العامل الأول في المقام. وسنتبع الخطوات نفسها التي اتبعناها مع العوامل الأخرى. أولًا: علينا تحليل العدد ٤٨٦ إلى عوامله الأولية. وعليه، سنجد أنه يساوي اثنين في ثلاثة أس خمسة. ومن ثم، يمكن تبسيط هذا العامل ليصبح اثنان في ثلاثة أس خمسة الكل أس واحد على ١٠. وبما أننا نرفع حاصل ضرب إلى قوة، فيمكننا إذن استخدام قوانين الأسس لتوزيع الأس على حاصل الضرب. وبهذا، نحصل على اثنين أس واحد على ١٠ مضروبًا في ثلاثة أس خمسة الكل أس واحد على ١٠.

ويمكننا تبسيط ذلك أكثر بملاحظة أننا رفعنا ثلاثة للقوة خمسة ورفعنا المقدار كله للقوة واحد على ١٠. ووفقًا لقوانين الأسس، فإن هذا سيساوي ثلاثة أس خمسة في واحد على ١٠. وخمسة على ١٠ يساوي نصفًا. إذن، يمكن تبسيط هذا العامل إلى اثنين أس واحد على ١٠ مضروبًا في ثلاثة أس نصف.

وأخيرًا، ننتقل إلى العامل الأخير في المقام. أولًا: نحلل الأساس ٤٢ إلى عوامله الأولية لنحصل على اثنين في ثلاثة في سبعة. بعد ذلك، نستخدم قوانين الأسس لتوزيع الأس على حاصل الضرب. ومن ثم، نحصل على اثنين تكعيب في ثلاثة تكعيب في سبعة تكعيب. علينا الآن التعويض بكل هذا في المقدار المعطى في السؤال. لفعل ذلك، دعونا نبدأ بإفراغ بعض المساحة مع الإبقاء على عمليات التبسيط التي أجريناها بالفعل أمامنا. والآن، كل ما علينا فعله هو التعويض بالعوامل المبسطة في المقدار المعطى في السؤال. وبناء عليه، نحصل على المقدار التالي. أصبح لدينا حاصل ضرب وقسمة مقادير أسية حيث جميع الأساسات أعداد أولية، وجميع الأسس أعداد نسبية.

يمكننا تبسيط هذا المقدار بعدة طرق مختلفة باستخدام قوانين الأسس. والطريقة التي نختارها تتوقف على تفضيلنا الشخصي. سنبدأ بإعادة كتابة هذا المقدار بحيث نقوم بتجميع كل العوامل التي لها الأساسات نفسها. على سبيل المثال، في البسط لدينا عاملان لهما الأساس اثنان. وهما اثنان أس نصف واثنان أس ثلاثة على خمسة. وفي المقام، لدينا عاملان أساسهما هو اثنان: اثنان أس واحد على ١٠، واثنان تكعيب. لذا، يمكننا تجميع كل هذه العوامل لنحصل على المقدار التالي. علينا بعد ذلك ضرب ذلك في بقية المقدار، ويمكننا تجميع كل العوامل التي أساسها ثلاثة. وأخيرًا، نضرب ذلك في العوامل المتبقية التي أساسها سبعة. وهذا يعطينا المقدار التالي.

وليس من الضروري إجراء هذه الخطوة. ومع ذلك، فهي تساعدنا كثيرًا في تصور كيفية تبسيط هذا المقدار. أولًا: نلاحظ أننا نحسب حاصل ضرب المقادير الأسية ذات الأساسات نفسها. ولفعل ذلك، علينا جمع الأسس معًا. ‏ﺃ أس ﻥ في ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻡ. يمكننا استخدام هذا لتبسيط البسط والمقام. لكن يمكننا أيضًا استخدام حقيقة أنه عندما نحسب خارج قسمة مقادير أسية لها الأساس نفسه، فإننا نوجد الفرق في الأسس. ‏ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. هذا يعني أنه يمكننا تطبيق كل من هاتين الخطوتين في الوقت نفسه. علينا جمع الأسس في البسط، ثم نطرح منها الأسس في المقام.

لكن تذكر أن هذه الطريقة ما هي إلا تفضيل شخصي. يمكننا فحسب تبسيط قيم البسط والمقام كل على حدة إذا أردنا. والآن سنطبق الخطوتين في الوقت نفسه. هذا يعني أن علينا جمع الأسس في البسط معًا، ونطرح منها الأسس في المقام. وبذلك نحصل على اثنين أس نصف زائد ثلاثة أخماس ناقص عشر ناقص ثلاثة. يمكننا بعد ذلك تطبيق الطريقة نفسها لتبسيط خارج القسمة الثاني. وبذلك نحصل على ثلاثة أس نصف زائد اثنين ناقص نصف ناقص ثلاثة. وبالنسبة إلى خارج القسمة الثالث والأخير، لدينا سبعة تربيع مقسومًا على سبعة تكعيب. علينا إيجاد الفرق في الأسين. وهذا يساوي سبعة أس اثنين ناقص ثلاثة.

والآن، علينا فقط حساب قيم المقادير الموجودة في الأسس. نحصل على اثنين أس سالب اثنين في ثلاثة أس سالب واحد مضروبًا في سبعة أس سالب واحد. ويمكننا تبسيط ذلك أكثر باستخدام قانون الأسس التالي. ‏ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ. وهذا يعطينا واحدًا على اثنين تربيع في واحد على ثلاثة في واحد على سبعة، وهو ما يمكننا إيجاد قيمته. إنه يساوي واحدًا مقسومًا على ٨٤، وهذه هي الإجابة النهائية. إذن، استطعنا تبسيط المقدار الأسي المعطى في السؤال باستخدام قوانين الأسس. ولقد وجدنا أنه يساوي واحدًا على ٨٤.