فيديو: حل مسائل المعدّل باستخدام المتوسّط المرجّح

أحمد مدحت

يوضِّح الفيديو كيفية استخدام المتوسّط المرجّح في حل مسائل المعدّل (السرعة المنتظمة)، مع أمثلة توضيحية.

١١:٠٩

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن حلّ مسائل المعدّل باستخدام المتوسّط المرجّح.

لمَّا يبقى عندنا بيانات، وتكون مختلفة في الأهمية أو الوزن. وناخد في اعتبارنا وإحنا بنجيب المتوسّط وزن كل قيمة في البيانات دي. وندّي البيانات الأكتر أهمية وزن أكبر. العملية دي بنسمّيها عملية الترجيح. والمتوسّط اللي إحنا بنحسبه اسمه المتوسّط المرجّح.

وفي الفيديو ده، هنعرف إزَّاي نقدر نستخدم المتوسّط المرجّح؛ علشان نحلّ مسائل المعدّل. واللي هي برضو اسمها مسائل الحركة المنتظمة. واللي بيكون فيها جسم بيتحرّك بسرعة معيّنة أو معدّل معيّن. وده لأن السرعة عبارة عن معدّل. أمَّا بالنسبة للعلاقة الرياضية اللي بنستخدمها، هي: ف يساوي ع في ن، بحيث إن ف تمثّل المسافة. أمَّا ع، فهي المعدّل أو السرعة. أمَّا ن، فبتمثّل الزمن.

عندنا مثالين. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال الأول. في المثال اللي عندنا: في رياضة التزحلق على الجليد، استغرق عمر أربعين دقيقة علشان يقطع خمسة كيلومتر. وفي رحلة العودة، استغرق تلاتين دقيقة. وعايزين نعرف السرعة المتوسّطة للرحلة دي.

بالنسبة للوقت اللي استغرقه عمر في الذهاب، مش نفس الوقت اللي استغرقه في العودة. وبالتالي علشان نجيب السرعة المتوسّطة، فإحنا هنجيب المتوسّط المرجّح لسرعة الذهاب وسرعة العودة. فأول حاجة، هنجيب معدّل أو سرعة الذهاب. وبعد كده هنجيب معدّل أو سرعة العودة، بس بوحدة الكيلومتر لكل ساعة. وبالتالي هنحوّل الوقت من دقيقة لساعة. فهنلاقي إن أربعين دقيقة بيساوي تقريبًا ستمية سبعة وستين من ألف ساعة. وهنلاقي كمان إن تلاتين دقيقة، ده بيساوي خمسة من عشرة ساعة.

هنبدأ بعد كده نجيب معدّل الذهاب. والمعدّل، واللي هو ع، يساوي المسافة، اللي هي ف، على الزمن ن. هنبدأ نعوّض بقيمة ف وقيمة ن في العلاقة اللي عندنا. فبالتالي هتبقى المعدّل اللي عندنا، واللي هو ع، تقريبًا بيساوي خمسة كيلومتر على ستمية سبعة وستين من ألف ساعة. يعني بيساوي تقريبًا سبعة ونصّ كيلومتر لكل ساعة.

بعد كده هنجيب معدّل العودة. والمعدّل، اللي هو ع، يساوي ف على ن. يعني هيساوي خمسة كيلومتر. الزمن اللي استغرقه في العودة هو خمسة من عشرة ساعة. يعني خمسة كيلومتر على خمسة من عشرة ساعة. يعني معدّل العودة بيساوي عشرة كيلومتر لكل ساعة.

الخطوة اللي بعد كده، إن إحنا هنجيب المتوسّط المرجّح لمعدّل الذهاب ومعدّل العودة، واللي هو عبارة عن السرعة المتوسّطة المطلوبة. هنرمز للسرعة المتوسّطة بالرمز م. وهنبدأ نجيب المتوسّط المرجّح للمعدّلين اللي عندنا. هيظهر لنا القانون. بكده هتبقى السرعة المتوسّطة للرحلة دي بتساوي معدّل الذهاب في زمن الذهاب زائد، معدّل العودة في زمن العودة على، زمن الذهاب زائد زمن العودة.

فهنبدأ نجيب السرعة المتوسّطة للرحلة دي، من خلال إن إحنا هنعوّض في العلاقة اللي عندنا. فيبقى م، واللي هي السرعة المتوسّطة، تقريبًا بتساوي معدّل الذهاب، واللي هو تقريبًا سبعة ونصّ كيلومتر لكل ساعة، في زمن الذهاب، واللي هو ستمية سبعة وستين من ألف ساعة. زائد معدّل العودة، واللي هو عشرة كيلومتر لكل ساعة. أمَّا زمن العودة، فهو خمسة من عشرة ساعة. وده مقسوم على زمن الذهاب زائد زمن العودة. زمن الذهاب ستمية سبعة وستين من ألف ساعة، زائد زمن العودة، اللي هو خمسة من عشرة ساعة.

وبالتالي هنلاقي إن السرعة المتوسّطة تقريبًا بتساوي عشرة وخمسة وعشرين من عشرة آلاف على واحد ومية سبعة وستين من ألف. يعني حوالي تقريبًا تمنية وستة من عشرة. وبالتالي هتبقى السرعة المتوسّطة للرحلة هي تمنية وستة من عشرة كيلومتر لكل ساعة تقريبًا.

هنلاقي إن الإجابة بتاعتنا، واللي هي تمنية وستة من عشرة كيلومتر لكل ساعة تقريبًا، ما بين معدّل الذهاب، واللي هو تقريبًا سبعة ونصّ كيلومتر لكل ساعة، ومعدّل العودة، واللي هو عشرة كيلومتر لكل ساعة. وبالتالي هتبقى الإجابة بتاعتنا منطقية.

هنقلب الصفحة، هيظهر لنا مثال كمان. في المثال اللي عندنا، هنلاقي إن إحنا فيه عندنا جسمين بيتحرّكوا في نفس الوقت. فهنلاقي إن المسافة بين قَطرين هي تسعمية كيلومتر. وبيتحرّك القطارين دول في مسارين متوازيين، وفي اتجاهين متضادّين. فإذا كان القطار أ ده بيتحرّك بسرعة تمانين كيلومتر لكل ساعة، وفي اتِّجاه الشرق. والقطار ب بيتحرّك بسرعة مية كيلومتر لكل ساعة، وفي اتِّجاه الغرب. عايزين نعرف إمتى القطارين دول هيتخطّوا بعض.

أول خطوة، هنرسم مخطّط يوضّح البيانات اللي عندنا في المسألة. هيظهر لنا شكل. بالنسبة للشكل اللي عندنا ده، فهو عبارة عن رسم تخطيطي بيوضّح البيانات اللي عندنا في المسألة. وهو إن إحنا عندنا قَطرين المسافة بينهم هي تسعمية كيلومتر. القَطر أ ده بيتحرّك ناحية السهم ده بسرعة تمانين كيلومتر لكل ساعة. والقَطر ب بيتحرّك في الاتجاه التاني، في اتجاه السهم ده، بسرعة مية كيلومتر لكل ساعة. هنبدأ علشان نجيب ونعرف إمتى يتخطّى القطاران بعضهما لبعض، هنرسم الجدول اللي هيظهر لنا، واللي هنبدأ نكتب فيه البيانات.

بعد ما رسمنا الجدول، هنبدأ نكتب البيانات اللي عندنا في المسألة في الجدول ده. بالنسبة للقطار أ، المعدّل بتاعه، واللي هو سرعته، هو تمانين كيلومتر لكل ساعة. يعني المعدّل هو تمانين. أمَّا بالنسبة للقطار ب، فكانت سرعته مية كيلومتر لكل ساعة. يعني المعدّل مية. بالنسبة للزمن، فإحنا عايزين نعرف إمتى يتخطّى القطارين بعضهم بعض. وبالتالي يبقى الزمن عندنا مجهول. ولأن القَطر أ هيقطع المسافة بتاعته في نفس الزمن اللي هيقطع فيها القطار ب المسافة بتاعته، فهنفرض إن الزمن ن. فيبقى الزمن بتاع القطار أ، اللي هو هيبقى ن، هيساوي الزمن بتاع القطار ب، اللي هو برضو ن.

بعد كده هنجيب المسافة اللي هيقطعها القطار أ، والمسافة اللي هيقطعها القطار ب. والمسافة هتساوي المعدّل في الزمن. يعني بالنسبة للمسافة اللي هيقطعها القطار أ، هيبقى عبارة عن تمانين في ن، يعني تمانين ن. أمَّا بالنسبة للمسافة اللي هيقطعها القطار ب، فهتبقى عبارة عن مية في ن، يعني مية ن. الخطوة اللي بعد كده، إن إحنا نستخدم الجدول اللي عندنا؛ علشان نكتب المعادلة اللي هنحلّها علشان نجيب إمتى هيتخطّى القطاران بعضهما لبعض.

فهنقلب الصفحة، هيظهر لنا الجدول. علشان نكتب المعادلة، فإحنا هنلاقي إن المسافة اللي بين القَطرين هتساوي المسافة اللي هيقطعها القطار أ زائد المسافة اللي هيقطعها القطار ب. معنى كده إن المعادلة بتاعتنا هتبقى على الشكل: تمانين ن، وهي عبارة عن المسافة اللي هيقطعها القطار أ، زائد مية ن، وهي المسافة اللي هيقطعها القطار ب. يساوي تسعمية كيلومتر، واللي هي المسافة اللي بين القَطرين. يعني المعادلة عبارة عن: تمانين ن زائد مية ن يساوي تسعمية. يعني مية وتمانين ن يساوي تسعمية.

الخطوة اللي بعد كده، إن إحنا هنقسم طرفَي المعادلة على مية وتمانين. لمَّا هنقسم طرفَي المعادلة على مية وتمانين، فهنلاقي إن الطرف الأيمن هيبقى عبارة عن ن. أمَّا الطرف الأيسر، فهيبقى عبارة عن خمسة. يعني ن تساوي خمسة. ولأن ن بتساوي خمسة، نقدر نقول: إن يتخطّى القطاران بعضهما لبعض في حوالي خمس ساعات.

كده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إزَّاي نقدر نستخدم المتوسّط المرجّح؛ علشان نحلّ مسائل المعدّل. واللي هي تُعتَبَر مسائل الحركة المنتظمة. واللي بيكون فيها جسم بيتحرّك بسرعة معيَّنة أو معدّل معيّن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.