فيديو السؤال: تبسيط مقدار يتضمن أسسًا الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

بسط ٠٫٨ أس واحد على أربعة مضروبًا في ٣٦ أس واحد على ثمانية مضروبًا في خمسة أس ثلاثة على أربعة الكل مقسومًا على ٣٠ أس سالب سبعة على أربعة مضروبًا في ١٫٢٥ أس ربع.

في هذا السؤال، مطلوب منا تبسيط مقدار يتضمن حاصل ضرب وخارج قسمة مقادير أسية. وهذا يعني أن علينا تبسيط هذا المقدار باستخدام قوانين الأسس. لكننا نلاحظ أن هذا المقدار معقد للغاية. لذا، بدلًا من ذلك، دعونا نبسط العوامل الموجودة في البسط والمقام كلًّا على حدة. ومن ثم، يمكننا استخدام ناتج ذلك كله لتبسيط المقدار بأكمله في النهاية. هيا نبدأ بالعامل الأول في البسط. وهو ٠٫٨ أس ربع.

عند تبسيط المقادير المكتوبة على هذه الصورة، من الجيد عادة كتابة الأساس على صورة كسر. هذا يعطينا أربعة على خمسة الكل أس ربع. وبعد ذلك، علينا تحليل كل من بسط الكسر ومقامه إلى عواملهما الأولية. وذلك لأن قوانين الأسس تتطلب، في العادة، أن تكون الأسس موحدة أو أن تكون الأساسات موحدة عند التبسيط. وعليه، فإن أسهل طريقة لتبسيط مقدار يتضمن العديد من الأساسات المختلفة هي جعل الأساسات أبسط ما يمكن. وسنفعل ذلك بتحليل الأساسات إلى عواملها الأولية. بما أن أربعة يساوي اثنين تربيع وخمسة عدد أولي، يعطينا هذا اثنين تربيع على خمسة الكل أس ربع.

والآن، يمكننا تبسيط ذلك أكثر باستخدام قوانين الأسس. نتذكر أن ﺃ على ﺏ الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺏ أس ﻥ. في هذه الحالة، قيمة ﺃ هي اثنان تربيع، وقيمة ﺏ هي خمسة، وقيمة ﻥ هي ربع. هذا يعطينا اثنين تربيع الكل أس ربع مقسومًا على خمسة أس ربع.

وأخيرًا، يمكننا تبسيط بسط هذا المقدار من خلال ملاحظة أننا نرفع اثنين إلى القوة اثنين، ثم نرفع هذا كله إلى القوة ربع. وعند رفع الأساس إلى قوة ثم رفع كل ذلك إلى قوة أخرى، فإننا نضرب الأسين. أي إن ﺃ أس ﻥ الكل مرفوعًا للقوة ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ في ﻡ. اثنان في ربع يساوي نصفًا. إذن، هذا يعطينا اثنين أس نصف مقسومًا على خمسة أس ربع. ويمكننا إعادة كتابة ذلك باستخدام الجذور. ولكن، عند تبسيط المقادير الأسية، عادة ما يكون من الجيد ترك الأسس على صورة كسرية. فهذا يجعل التبسيط أسهل لاحقًا؛ لأننا قد نحتاج إلى إجراء عمليات حسابية على الأسس.

الآن، يمكننا الانتقال إلى العامل الثاني في البسط. ولفعل ذلك، نفرغ بعض المساحة. علينا تبسيط ٣٦ أس ثمن. سنبسط ذلك باستخدام طريقة مشابهة. في البداية، نحلل الأساس إلى عوامله الأولية. ‏٣٦ يساوي اثنين تربيع مضروبًا في ثلاثة تربيع. يعطينا ذلك اثنين تربيع في ثلاثة تربيع الكل أس ثمن. والآن، بما أن الأساس عبارة عن حاصل ضرب، يمكننا إذن توزيع الأس على عوامل الضرب. أي إن ﺃ في ﺏ الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ في ﺏ أس ﻥ. وهذا يعطينا اثنين تربيع الكل أس واحد على ثمانية مضروبًا في ثلاثة تربيع الكل أس واحد على ثمانية.

وأخيرًا، بما أن كل عامل عبارة عن أساس مرفوع لقوة ما الكل مرفوع لقوة أخرى، فإنه يمكننا تبسيط كل عامل منهما بضرب الأسين. وفي كلا العاملين، نحصل على أس جديد عن طريق ضرب اثنين في واحد على ثمانية، وهو ما يساوي ربعًا. ومن ثم، يبسط ذلك ليصبح لدينا اثنان أس ربع مضروبًا في ثلاثة أس ربع. والآن، دعونا نحاول تبسيط العامل الثالث في البسط. ولكن، نلاحظ هنا أن الأساس عدد أولي، كما أن لدينا بالفعل أسًّا كسريًّا. إذن، فإن هذا العامل مبسط بالفعل.

والآن، هيا ننتقل إلى العامل الأول في المقام. يمكننا إفراغ بعض المساحة. ولكن، عملية التبسيط هذه سوف تتبع الطريقة نفسها التي استخدمناها لتبسيط ٣٦ أس واحد على ثمانية. في البداية، نحلل الأساس إلى عوامله الأولية. نلاحظ أن ٣٠ يساوي اثنين في ثلاثة في خمسة. بعد ذلك، نستخدم قوانين الأسس لتوزيع الأس على عوامل الضرب هذه. وهذا يعطينا اثنين أس سالب سبعة على أربعة في ثلاثة أس سالب سبعة على أربعة في خمسة أس سالب سبعة على أربعة. وهذا المقدار عبارة عن حاصل ضرب أساسات مرفوعة لأسس كسرية، بحيث إن جميع الأساسات هي أعداد أولية. لذلك، ليس علينا تبسيطه أكثر من ذلك.

في الواقع، يمكننا اتباع طريقة مشابهة تمامًا لتبسيط العامل الأخير في المقام. مرة أخرى، سنبدأ بكتابة الأساس على صورة كسر ثم نحلل البسط والمقام إلى عواملهما الأولية. هذا يعطينا خمسة مقسومًا على اثنين تربيع الكل أس ربع. والآن، نريد توزيع الأس على ما بداخل القوسين. ولفعل ذلك، نتذكر أن ﺃ على ﺏ الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺏ أس ﻥ. يعطينا ذلك إذن خمسة أس ربع مقسومًا على اثنين تربيع الكل أس ربع. نجد أن لدينا في المقام اثنين مرفوعًا لقوة معينة الكل مرفوع لقوة أخرى.

تذكر أن هذا يماثل اثنين مرفوعًا لقوة عبارة عن حاصل ضرب أسين: أي اثنين أس اثنين في ربع، وهذا يعطينا اثنين أس نصف. ومن ثم، يمكن تبسيط العامل الأخير ليعطينا خمسة أس ربع مقسومًا على اثنين أس نصف.

والآن، بعد أن بسطنا كل هذه المقادير، دعونا نفرغ بعض المساحة لنتمكن من التعويض بها في المقدار الذي لدينا. نريد التعويض بكل هذه المقادير في آن واحد، غير أن ذلك يعطينا مقدارًا معقدًا للغاية. نلاحظ أن لدينا ٠٫٨ أس ربع في البسط. لذلك، عندما نعوض بالمقدار اثنين أس نصف الكل مقسوم على خمسة أس ربع، يمكننا بدلًا من ذلك وضع العامل اثنين أس نصف في البسط والعامل خمسة أس ربع في المقام. وهذا لأن قسمة البسط على خمسة أس ربع تماثل ضرب المقام في خمسة أس ربع.

ويمكننا فعل الأمر نفسه مع ١٫٢٥ أس ربع الموجود في المقام. فبدلًا من التعويض بخمسة أس ربع مقسومًا على اثنين أس نصف، يمكننا وضع العامل خمسة أس ربع في المقام والعامل اثنين أس نصف في البسط. وهذا لأن قسمة المقام على اثنين أس نصف تماثل ضرب البسط في اثنين أس نصف. ومن ثم، إذا عوضنا بهذه المقادير، وأعدنا ترتيبها قليلًا، فإننا نحصل على المقدار التالي. وهذا المقدار الذي لدينا عبارة عن حاصل ضرب وخارج قسمة عدة مقادير أسية، أساساتها أعداد أولية وأسسها أعداد كسرية. وهذا سيسمح لنا بتبسيط هذا المقدار باستخدام قوانين الأسس.

يمكننا تبسيط هذا المقدار كله مرة واحدة، ولكننا سنبسط البسط والمقام كلًّا على حدة. بداية، نتذكر أنه إذا ضربنا مقدارين أسيين لهما الأساس نفسه، فإننا نجمع الأسين. ‏ﺃ أس ﻥ في ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ زائد ﻡ. ويمكننا استخدام ذلك لتبسيط البسط. لدينا اثنان أس نصف في اثنين أس ربع في اثنين أس نصف. إذن، علينا جمع هذه الأسس معًا. أي نصف زائد ربع زائد نصف. وإذا حسبنا نصف زائد ربع زائد نصف، فإننا سنحصل على خمسة على أربعة. إذن، يمكن تبسيط هذه العوامل لتعطينا اثنين أس خمسة على أربعة.

نلاحظ أنه لا يمكننا استخدام هذه القاعدة لتبسيط العاملين اللذين أساسهما ثلاثة أو خمسة في البسط؛ وذلك لأن هذين الأساسين يظهران مرة واحدة فقط. لذا، سنترك هذين العاملين كما هما في البسط. ولدينا أمر مشابه لهذا في المقام. الأساسان اثنان وثلاثة يظهران مرة واحدة فقط. لذا، سنترك هذين العاملين كما هما. لكن يمكننا استخدام هذه القاعدة لتبسيط جميع العوامل ذات الأساس خمسة في المقام. دعونا نستخدم القاعدة نفسها. بما أن أساسات هذه العوامل الثلاثة هي نفسها، علينا جمع الأسس. أي ربع زائد سالب سبعة على أربعة زائد ربع، وهذا يساوي سالب خمسة على أربعة. ومن ثم، يمكننا تبسيط هذه العوامل الموجودة في المقام إلى خمسة أس سالب خمسة على أربعة. وهذا يعطينا المقدار التالي.

والآن، يمكننا ملاحظة أننا نحسب ناتج قسمة مقادير أسية ذات أساسات مشابهة. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام قوانين الأسس. ‏ﺃ أس ﻥ مقسومًا على ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. أي إننا نحسب الفرق بين الأسين. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا تطبيق هاتين الخطوتين في الوقت نفسه. على سبيل المثال، لتبسيط العوامل ذات الأساس اثنين، علينا جمع جميع أسس الأساس اثنين في البسط، ثم نطرح منها جميع أسس الأساس اثنين في المقام. ومع ذلك، فإن الطريقة التي نستخدمها ما هي إلا تفضيل شخصي.

لنبدأ باستخدام هذه القاعدة لتبسيط اثنين أس خمسة على أربعة مقسومًا على اثنين أس سالب سبعة على أربعة. علينا طرح الأسين. وبهذا، نحصل على خمسة أرباع ناقص سالب سبعة على أربعة، وهو ما يساوي ١٢ على أربعة، أي ثلاثة. وبهذا، نحصل على العامل اثنين تكعيب. يمكننا اتباع الطريقة نفسها مع ثلاثة أس ربع مقسومًا على ثلاثة أس سالب سبعة على أربعة. إننا نوجد الفرق بين الأسين. وهذا يعطينا ثمانية على أربعة، وهو ما يساوي اثنين. إذن، هذا هو أس الأساس ثلاثة، وبذلك نحصل على العامل ثلاثة تربيع.

وأخيرًا، نتبع الطريقة نفسها مع الأساس خمسة. ثلاثة أرباع ناقص سالب خمسة أرباع يساوي ثمانية أرباع، وهو ما يساوي اثنين. ومن ثم، نحصل على العامل خمسة تربيع في إجابتنا. إذن، لدينا اثنان تكعيب في ثلاثة تربيع في خمسة تربيع. وأخيرًا، يمكننا حساب قيمة هذا المقدار. نتذكر أن اثنين تكعيب يساوي اثنين في اثنين في اثنين، وثلاثة تربيع يساوي ثلاثة في ثلاثة، وخمسة تربيع يساوي خمسة في خمسة، وهو ما يساوي ١٨٠٠، وهذا هو الحل النهائي.