نسخة الفيديو النصية
هاتف محمول كتلته 120 جرامًا يمسك به سائح يقضي عطلته على قارب. كان السائح يحمل الهاتف فوق سطح الماء مباشرة، وفجأة فقد التحكم به. غاص الهاتف في الماء. وكانت السرعة اللحظية التي غاص بها عندما كان على عمق 10 سنتيمترات تساوي 1.1 متر لكل ثانية. ما مقدار الشغل المبذول لإبعاد الماء عن مسار الهاتف عندما غاص مسافة 10 سنتيمترات؟
حسنًا، للإجابة على هذا السؤال، دعونا نرسم في البداية رسمًا توضيحيًّا. هذا هو سطح الماء الذي اضطرب للتو بسبب سقوط هاتف السائح المسكين في الماء. نعرف الآن أن المسافة التي قطعها الهاتف في السقوط تساوي 10 سنتيمترات. ونعرف أيضًا أن سرعة الهاتف اللحظية عند وصوله لعمق 10 سنتيمترات تساوي 1.1 متر لكل ثانية.
السرعة اللحظية تعني في الأساس سرعة الهاتف في تلك اللحظة، أي سرعة الهاتف عندما يكون على مسافة 10 سنتيمترات تحت السطح. وأخيرًا، نحن نعلم أيضًا أن كتلة الهاتف تساوي 120 جرامًا. ما يطلبه منا السؤال هو إيجاد مقدار الشغل المبذول، الذي سنسميه 𝑊، لإبعاد الماء عن مسار الهاتف.
قبل أن نبدأ في إيجاد أي شيء، علينا تسمية جميع القيم التي حددناها في الرسم التوضيحي، وسنبدأ بمسافة الـ 10 سنتيمترات التي قطعها الهاتف في السقوط. فلنسمها ماجد. أو نسميها زياد. لا، أنا أمزح بالتأكيد. يجب أن نطلق عليها اسمًا رياضيًّا. ربما يمثل الحرف 𝑑 اسمًا جيدًا لأن هذا هو العمق الذي سقط إليه الهاتف.
ثانيًا، يمكننا أيضًا أن نسمي كتلة الهاتف 𝑚، وأخيرًا سرعة الهاتف في تلك اللحظة، التي سنسميها 𝑉. أخيرًا، من المهم أن نلاحظ أن 𝑊 هو الشغل المبذول لإبعاد الماء عن مسار الهاتف. بمعنى آخر، هذا هو الشغل المبذول من الهاتف على الماء.
إذن، لكي نبدأ في حل هذه المسألة، دعونا أولًا نمسح السؤال حتى تصبح لدينا مساحة أكبر للشرح. الآن، أول شيء يمكننا فعله هو تذكر أننا نحصل على الشغل المبذول على جسم ما، وسنسمي هذا الشغل 𝑊، من خلال ضرب القوة المؤثرة على الجسم في المسافة التي قطعها الجسم. إذن، لكي نوجد الشغل المبذول لإبعاد الماء عن مسار الهاتف، نحتاج إلى إيجاد حاصل ضرب القوة المبذولة من الهاتف على الماء في المسافة المقطوعة.
إيجاد المسافة المقطوعة أمر بسيط جدًّا. إنها 10 سنتيمترات. لقد أعطيت هذه المسافة لنا بالفعل. لكن ما لا نعرفه هو القوة المبذولة. ولأننا نحاول إيجاد الشغل المبذول من الهاتف على الماء، فإننا نحتاج تحديدًا إلى حساب القوة المبذولة من الهاتف على الماء.
ولكي نقوم بذلك، نحتاج إلى استخدام ما يعرف باسم قانون نيوتن الثالث للحركة. هذا القانون يخبرنا أنه إذا بذل جسم ما — لنسمه الجسم واحد — قوة على جسم آخر، الجسم اثنين، فإن الجسم اثنين يبذل قوة مساوية ومعاكسة في الاتجاه على الجسم واحد.
بم يفيدنا ذلك إذن؟ حسنًا، دعونا أولًا نتطرق إلى القوى التي تؤثر على الهاتف. هذا هو الهاتف أثناء سقوطه في الماء. توجد قوتان تؤثران على الهاتف. أولًا، لدينا قوة الجاذبية التي تسحبه إلى أسفل. وسنسمي هذه القوة 𝐹 الجاذبية، لأن هذه هي قوة الجاذبية.
ننتقل الآن إلى القوة الأخرى التي تؤثر على الهاتف، وهي قوة السحب. هذه القوة مبذولة من الماء على الهاتف. وهي تؤثر في الاتجاه المعاكس لحركة الهاتف. بمعنى آخر، إنها تحاول إبطاء سرعة الهاتف. وبالتالي فهي تؤثر في الاتجاه لأعلى. سوف نسمي هذه القوة 𝐹 السحب.
وكما ذكرنا بالفعل، 𝐹 السحب هي القوة المبذولة من الماء على الهاتف. إذن باستخدام قانون نيوتن الثالث، يمكننا القول إن القوة المبذولة من الهاتف على الماء لها نفس مقدار 𝐹 السحب. وبالطبع، فهي تؤثر في الاتجاه المعاكس. لكن هذا الأمر لا يعنينا الآن.
ومع ذلك، فهو استنتاج منطقي. فالجاذبية تسحب الهاتف إلى أسفل. وبالتالي، مع تحرك الهاتف لأسفل، فإنه يبذل قوة لأسفل على الماء. لكن ما يهم هو مقدار هذه القوة. ومقدار هذه القوة يساوي 𝐹 السحب. وبالمناسبة، هذه هي القوة التي نبحث عنها عندما نحاول إيجاد الشغل المبذول من الهاتف على الماء. إذن ببساطة، نحن نحاول إيجاد قيمة 𝐹 السحب.
لنبدأ في القيام بذلك من خلال إيجاد القوة المحصلة على الهاتف أولًا. الفكرة وراء ذلك هي وجود قوتين تؤثران على الهاتف كما رأينا بالفعل: 𝐹 الجاذبية و𝐹 السحب. ومحصلة هذه القوى سوف تحدد عجلة الهاتف. إذن كيف نعرف ذلك؟
نعرف ذلك باستخدام قانون آخر من قوانين نيوتن للحركة، وهذه المرة سنستخدم القانون الثاني. ينص هذا القانون على أن القوة المحصلة على جسم ما، والتي سنطلق عليها 𝐹 المحصلة، تساوي حاصل ضرب كتلة هذا الجسم في عجلته. إذن ما 𝐹 المحصلة؟ أي ما القوة المحصلة على الهاتف؟
حسنًا، القوة المحصلة هي ببساطة مجموع القوتين المؤثرتين على الهاتف، مع الأخذ في الاعتبار الاتجاه الذي تؤثران فيه. بمعنى آخر، القوة المحصلة تساوي 𝐹 الجاذبية ناقص 𝐹 السحب. عندما كتبنا هذه المعادلة، افترضنا ضمنيًّا أن الاتجاه لأسفل موجب، وبالتالي فالاتجاه لأعلى سالب. وبالتالي، القوة المؤثرة لأسفل، 𝐹 الجاذبية، موجبة. وقد وضعنا علامة سالب أمام القوة المؤثرة لأعلى. لكن هذه هي صيغة 𝐹 المحصلة، أو القوة المحصلة على الهاتف. لذلك، دعونا أولًا نوجد صيغة لـ 𝐹 الجاذبية.
𝐹 الجاذبية هي ببساطة قوة الجاذبية المؤثرة على الهاتف. أو بعبارة أخرى، هي وزن الهاتف. الآن يمكننا أن نتذكر أننا نحصل على وزن جسم ما، 𝐹 الجاذبية، من خلال ضرب كتلة الجسم في شدة مجال جاذبية الأرض.
لاحظ أننا لم نستخدم 𝑊 لنرمز إلى الوزن. وذلك لأننا استخدمنا 𝑊 بالفعل لنرمز إلى الشغل المبذول من الهاتف على الماء. لذلك، دعونا نستمر في استخدام 𝐹 الجاذبية بدلًا من ذلك. من حسن حظنا أننا نعرف كتلة الهاتف. إنها معطاة لدينا في السؤال، وهي تساوي 120 جرامًا. ويمكننا تذكر أن شدة مجال جاذبية الأرض هي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.
وبذلك أصبح لدينا صيغة لـ 𝐹 الجاذبية. دعونا نعوض بذلك في المعادلة. وبعد ذلك يمكننا الانتقال إلى 𝐹 المحصلة. كما ذكرنا بالفعل، نحصل على 𝐹 المحصلة من خلال ضرب كتلة الجسم في عجلة الجسم. لا نعرف بعد عجلة الجسم. ولكن يمكننا إيجادها. ذلك لأننا نعلم من البداية أن السرعة الابتدائية للهاتف يجب أن تساوي صفر متر لكل ثانية، لأن السائح كان يمسك بالهاتف في البداية على سطح الماء. ومن ثم، كان الهاتف في حالة سكون عندما سقط. سنسمي هذا السرعة الابتدائية 𝑢.
ثانيًا، نحن نعرف أن الهاتف قطع مسافة 𝑑 لأسفل، وهي تساوي 10 سنتيمترات. ثالثًا، نعرف أيضًا أن الهاتف عندما قطع مسافة 10 سنتيمترات لأسفل، كانت سرعته التي أسميناها 𝑉 تساوي 1.1 متر لكل ثانية. وفي ضوء هذه المعلومات الثلاث، يمكننا إيجاد عجلة الهاتف.
يمكننا القيام بذلك باستخدام إحدى معادلات الحركة. وتحديدًا، المعادلة المطلوبة هي التي تخبرنا أن السرعة النهائية تربيع تساوي السرعة الابتدائية تربيع زائد اثنين في العجلة والمسافة المقطوعة. ويمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝑎. لكي نفعل ذلك، نطرح 𝑢 تربيع أولًا من طرفي المعادلة. وبهذه الطريقة، تحذف 𝑢 تربيع من الجانب الأيمن، ويتبقى لدينا اثنان 𝑎𝑑 فقط. بعد ذلك، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على اثنين 𝑑 بحيث تحذف الاثنان و𝑑 من الجانب الأيمن. والآن لدينا صيغة لـ 𝑎 بدلالة 𝑉 و𝑢 و𝑑.
لكن لماذا كنا نحاول إيجاد 𝑎 في المقام الأول؟ أجل، أحسنت! هذا صحيح، لكي نتمكن من إيجاد قيمة 𝐹 المحصلة. حيث نضرب هذه العجلة التي أوجدناها للتو في كتلة الهاتف لكي تعطينا القوة المحصلة على الهاتف. بعبارة أخرى، نضرب كلا طرفي هذه المعادلة في 𝑚، كتلة الهاتف. ويجب ألا ننسى وضع قوسين حول 𝑉 تربيع ناقص 𝑢 تربيع. وهذا كله يساوي 𝐹 المحصلة.
هذا يعني أنه يمكننا أخذ هذا الصيغة والتعويض بها عن 𝐹 المحصلة. وبذلك نجد أن حاصل ضرب 𝑚 في 𝑉 تربيع ناقص 𝑢 تربيع على اثنين 𝑑 يساوي 𝑚𝑔 ناقص 𝐹 السحب. وكما ذكرنا من قبل، 𝐹 السحب هي ما نحاول إيجاده لأن هذه هي القوة هنا. لذلك، دعونا نعد الترتيب لإيجاد قيمة 𝐹 السحب.
أولًا، يمكننا إضافة 𝐹 السحب إلى طرفي المعادلة. وبهذه الطريقة، تحذف 𝐹 السحب من الجانب الأيمن. بعد ذلك يمكننا حذف هذا الحد بالكامل من طرفي المعادلة بحيث يتبقى لدينا فقط 𝐹 السحب على الجانب الأيسر. الآن تذكر أن 𝐹 السحب هي قوة السحب التي تؤثر على الهاتف. بمعنى آخر، هي القوة المبذولة من الماء على الهاتف. وكما قلنا سابقًا، باستخدام قانون نيوتن الثالث للحركة، فإن القوة المبذولة من الهاتف على الماء لها نفس المقدار. أي إن لها نفس الحجم.
ومن ثم، إذا كنا نهتم فقط بمقادير القوى وليس بالاتجاه الذي تؤثر فيه، يمكن أن نقول إن الشغل المبذول من الهاتف على الماء، الذي نحاول إيجاده في النهاية، يعطى من خلال الصيغة 𝑊 تساوي حاصل ضرب 𝐹 السحب في المسافة 𝑑. بعبارة أخرى، ما نحتاج إلى القيام به لإيجاد الإجابة النهائية هو ضرب طرفي هذه المعادلة في 𝑑.
بالتأكيد، لا يمكننا أن ننسى وضع الأقواس مرة أخرى حول الصيغة بأكملها. وبالطبع، يصبح الجانب الأيسر ببساطة هو الشغل المبذول 𝑊. وعلى الجانب الأيمن، يمكننا أن نوزع 𝑑 على كلا الحدين بين القوسين. ما نحصل عليه هو 𝑚𝑔𝑑 ناقص حاصل ضرب 𝑚 في 𝑉 تربيع ناقص 𝑢 تربيع على اثنين، لأنه كما تتذكر يوجد 𝑑 هنا، وضربنا هذا الحد في 𝑑 أيضًا، وبذا حذف كلا رمزي 𝑑.
الآن، في هذه المرحلة، أصبح لدينا صيغة للشغل المبذول لإبعاد الماء عن مسار الهاتف. بعبارة أخرى، لدينا صيغة للشغل المبذول من الهاتف على الماء. وقد حصلنا عليه بدلالة القيم التي عرفناها بالفعل، لأننا نعرف بالفعل كتلة الهاتف. ونعرف بالفعل شدة مجال جاذبية الأرض. ونعرف المسافة التي قطعها الهاتف في الماء. كما نعرف السرعة النهائية للهاتف والسرعة الابتدائية للهاتف. إذن، في هذه المرحلة، كل ما تبقى لدينا فعله هو التعويض بهذه القيم.
ولكن قبل القيام بذلك، نحتاج إلى تحويل كل القيم التي حصلنا عليها إلى وحدات أساسية. لنبدأ بكتلة الهاتف 𝑚. نحن نعرف أن 𝑚، أو الكتلة، تساوي 120 جرامًا. لكن الوحدة الأساسية للكتلة هي الكيلوجرام. لذلك، نحتاج إلى تحويل هذه الكتلة إلى كيلوجرام. للقيام بذلك، يمكننا تذكر أن الكيلوجرام الواحد يساوي 1000 جرام. ويمكننا أن نقسم طرفي هذه المعادلة على 1000 بحيث تحذف الـ 1000 من الجانب الأيمن. وما يتبقى لدينا هو واحد جرام.
وكما رأينا، يبسط الجانب الأيمن إلى جرام واحد. ويبسط الجانب الأيسر إلى جزء واحد من الألف من الكيلوجرام. لكننا لا نحاول إيجاد مقدار الواحد جرام بالكيلوجرام. بل نحاول إيجاد مقدار 120 جرامًا. للقيام بذلك، نضرب طرفي المعادلة في 120. وبالتالي، يتبقى لدينا على الجانب الأيمن 120 جرامًا. وعلى اليسار 0.12 كيلوجرام. وهذه هي كتلة الهاتف بالوحدات الأساسية. إذن، نعوض عن الكتلة 𝑚 هنا 0.12 كيلوجرام.
بعد ذلك، ما يمكننا فعله هو النظر إلى قيم 𝑢 و𝑑 و𝑉 و𝑎. قيمة 𝑢 مذكورة في المعطيات بالمتر لكل الثانية. وهذه هي الوحدة الأساسية للسرعة. لذلك، لا نحتاج إلى تحويلها.
لكن قيمة 𝑑 مذكورة في المعطيات بالسنتيمتر، في حين أن الوحدة الأساسية للمسافة هي المتر. لذلك، نحتاج إلى تحويل وحدة 𝑑 إلى المتر. للقيام بذلك، نتذكر أن المتر الواحد يساوي 100 سنتيمتر. الآن، إذا قسمنا طرفي هذه المعادلة على 10، نجد أن الطرف الأيمن يصبح 10 سنتيمترات والطرف الأيسر يصبح 0.1 متر. وبالتالي، عوضنا عن قيمة 𝑑 بـ 0.1 متر. والآن، أصبحت 𝑑 بالوحدة الصحيحة، وهي المتر.
ثالثًا، السرعة النهائية للهاتف 𝑉 مذكورة في المعطيات بالمتر لكل ثانية. إذن، هذه وحدة صحيحة. رابعًا، هناك وحدة العجلة، ولكننا لم نحسب العجلة بعد. ومع ذلك، فقد استخدمنا معادلات الحركة وهذه القيم الثلاث لإيجاد قيمة العجلة. ثم استخدمنا صيغة العجلة في هذا الحد النهائي هنا. لكننا إذا استخدمنا هذه القيم الثلاث، 𝑢 و𝑑 و𝑉، بالوحدات الصحيحة، فسنحصل على العجلة أيضًا بوحدتها الأساسية وهي المتر لكل ثانية مربعة. لذلك، لا داعي للقلق بشأنها.
في هذه المرحلة، يمكننا أن نعوض بجميع القيم في الصيغة النهائية هنا. إذن، الشغل المبذول من الهاتف على الماء 𝑊 يساوي، أولًا، كتلة الهاتف، وهي 0.12 كيلوجرام، مضروبة في شدة مجال جاذبية الأرض، وهي 9.8 متر لكل ثانية مربعة، مضروبة في المسافة التي قطعها الهاتف، التي ذكرنا إنها تساوي 0.1 متر، ناقص كتلة الهاتف مرة أخرى، وهي 0.12 كيلوجرام، مضروبة في مربع السرعة النهائية للهاتف، وهي 1.1 متر لكل ثانية، الكل تربيع، ناقص مربع السرعة الابتدائية للهاتف، وهي صفر تربيع. ويقسم الكل على اثنين.
الآن، يمكننا أن نحسب هذه الصيغة لكي نحصل أخيرًا على قيمة الشغل المبذول من الهاتف على الماء. ولأننا حرصنا على وضع كل القيم بالوحدات الأساسية، سنحصل على الشغل المبذول أيضًا بوحدته الأساسية، وهي الجول. وهكذا، بحساب هذه الصيغة على الجانب الأيمن، نجد أن الشغل المبذول لإبعاد الماء عن مسار الهاتف يساوي 0.045 جول. وبذلك نكون قد حصلنا على الإجابة النهائية للسؤال.
