فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة ضمنيًّا باستخدام الاشتقاق الضمني

نسخة الفيديو النصية

إذا كان أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثمانية ﺹ تربيع ناقص ثلاثة ﺹ يساوي واحد، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

يمكن أن نحاول إعادة ترتيب هذه المعادلة حتى يكون لدينا ﺹ بدلالة ﺱ، ثم نجري عملية الاشتقاق بالطريقة المعتادة. وهذا أمر صعب؛ إذ إنه بالإضافة إلى الحد سالب ثلاثة ﺹ هذا، لدينا أيضًا الحد ثمانية ﺹ تربيع هذا. إذن، لدينا معادلة تربيعية فيها المتغير ﺹ. من الممكن حل هذه المعادلة التربيعية وإيجاد ﺹ بدلالة ﺱ، ثم إجراء الاشتقاق. لكن هناك طريقة أفضل.

فبما أن هذه المعادلة هي علاقة بين المتغيرين ﺱ وﺹ، فيمكننا إجراء عملية الاشتقاق للطرفين بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا اشتقاق الطرف الأيسر حدًّا تلو الآخر، وذلك بالاستفادة من حقيقة أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱﺃ في ﺱ أس ﻥ، تساوي ﺃ في ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وهكذا، سنجد أن المشتقة الأولى هي ثمانية ﺱ.

وبالمثل، ﺩ على ﺩﺱ لخمسة ﺱ يساوي خمسة. وهذا الحد اشتقاقه أصعب قليلًا. كيف توجد ﺩ على ﺩﺱ لدالة في المتغير ﺹ؟ يمكننا هنا استخدام قاعدة السلسلة التي تنص على أن ﺩﺩ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺩ على ﺩﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وباستخدام صيغة ترميز مختلفة قليلًا هنا، نرى أنه لاشتقاق دالة في المتغير ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، نجري اشتقاقًا للدالة في المتغير ﺹ هذه بالنسبة إلى ﺹ، ثم نضرب في ﺩﺹ على ﺩﺱ.

إذن، ما ناتج ﺩ على ﺩﺱ لثمانية ﺹ تربيع؟ نجري اشتقاقًا لثمانية ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ، ونحصل على ١٦ﺹ، ثم نضرب ذلك في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبالمثل، بالنسبة إلى الحد ﺩ على ﺩﺱ لثلاثة ﺹ، نجري عملية الاشتقاق لثلاثة ﺹ بالنسبة إلى ﺹ لنحصل على ثلاثة، ثم نضرب ذلك في ﺩﺹ على ﺩﺱ. أما الطرف الأيسر، فهو أسهل من ذلك. فمشتقة واحد بالنسبة إلى ﺱ هي صفر.

إذن، لدينا الآن معادلة بدلالة ﺱ، وﺹ، وﺩﺹ على ﺩﺱ، ويمكننا إعادة ترتيبها لإيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ؛ أي، كتابة ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ وﺹ. أول ما نفعله هنا هو أن نستخرج ﺩﺹ على ﺩﺱ كعامل مشترك من الحدين اللذين ظهر فيهما. وبعد ذلك، يمكننا طرح ثمانية ﺱ ناقص خمسة من كلا الطرفين، وسيصبح لدينا قيمة ما مضروبة في ﺩﺹ على ﺩﺱ على الجانب الأيمن. وبالقسمة على هذه القيمة، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ثمانية ﺱ زائد خمسة على ١٦ﺹ ناقص ثلاثة.

وهذا هو الحل النهائي. لاحظ أنه مكتوب بدلالة كل من ﺱ وﺹ. قد لا ترتاح لذلك قليلًا إذا كنت معتادًا على كتابة ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ وحدها. لكن كي نكتب ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ وحدها، سيتعين علينا كتابة ﺹ بدلالة ﺱ. وكما ذكرنا في بداية هذا الفيديو، فإن هذا أمر صعب بعض الشيء. وبالإضافة إلى ذلك، في الغالب سنجد أن التعبير عن المتغير ﺹ بدلالة ﺱ شكله سيئ للغاية. ومن ثم، نحصل على تعبير سيئ الشكل جدًّا لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ.

لذا، في هذه المسألة، والمسائل التي تتناول عملية الاشتقاق الضمني بنحو عام — حيث نجري اشتقاقًا لكلا الطرفين نسبة إلى أحد المتغيرات — من الأفضل أن تترك الحل بدلالة كل من ﺱ وﺹ.