فيديو السؤال: إيجاد معادلة الدائرة في نظام إحداثي الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

باستخدام الشكل التالي، أوجد معادلة الدائرة.

توجد طريقتان لكتابة معادلة الدائرة. يمكننا كتابة المعادلة على الصورة القياسية بمعلومية المركز وطول نصف القطر. أو يمكن أن نعبر عنها بالصورة التحليلية، وهي الصورة العامة لمعادلة الدائرة. لنتذكر صورة المركز وطول نصف القطر. إذا كان لدائرة مركز عند النقطة التي إحداثياتها ﻫ، ﻙ ونصف قطرها نق من الوحدات، فإن معادلتها على الصورة القياسية بمعلومية المركز وطول نصف القطر هي: ﺱ ناقص ﻫ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﻙ الكل تربيع يساوي نق تربيع.

لإيجاد معادلة الدائرة هنا، كل ما علينا فعله هو تحديد إحداثيات مركزها وطول نصف قطرها. مركز الدائرة هو هذه النقطة هنا. بالنظر رأسيًّا لأعلى من هذه النقطة إلى المحور ﺱ، نلاحظ أن المركز له الإحداثي ﺱ وهو سالب خمسة. وبالنظر أفقيًّا من هذا النقطة إلى المحور ﺹ، نلاحظ أن المركز له الإحداثي ﺹ وهو سالب أربعة. إذن، إحداثيات مركز الدائرة هي سالب خمسة، سالب أربعة. والآن، لنلق نظرة على طول نصف قطرها.

نصف قطر الدائرة هو الخط المستقيم الواصل بين المركز وأي نقطة على المحيط. لذا يمكننا رسم نصف القطر في أي مكان نختاره. على سبيل المثال، يمكننا رسم نصف القطر الأفقي هذا هنا. بما أن هذا الخط المستقيم أفقي، فسيكون طوله هو الفرق بين الإحداثيين ﺱ لنقطتي الطرفين، وسنلاحظ أنهما سالب خمسة وسالب ١٠. ومن ثم، فإن طول نصف القطر يساوي سالب خمسة ناقص سالب ١٠، وهو ما يساوي في الواقع سالب خمسة زائد ١٠، وهو ما يساوي خمسة. بما أن المقياس الأفقي على المحور ﺱ هو أن كل مربع يمثل وحدة واحدة، فيمكننا أيضًا ملاحظة ذلك عن طريق عدد المربعات أفقيًّا من مركز الدائرة إلى محيطها.

الآن بعد أن أوجدنا مركز هذه الدائرة وطول نصف قطرها، فإننا نعرف قيم ﻫ وﻙ ونق، التي يمكننا التعويض بها في معادلة الصورة القياسية بمعلومية المركز وطول نصف القطر للدائرة. نحصل على ﺱ ناقص سالب خمسة الكل تربيع زائد ﺹ ناقص سالب أربعة الكل تربيع يساوي خمسة تربيع. الآن، يوجد بعض التبسيط الذي يمكننا فعله، بل ويتوجب علينا فعله. في كل قوس، لدينا إشارتان سالبتان. ‏ﺱ ناقص سالب خمسة هو نفسه ﺱ زائد خمسة. وﺹ ناقص سالب أربعة هو نفسه ﺹ زائد أربعة. يمكن تبسيط القوسين إلى ﺱ زائد خمسة الكل تربيع، وﺹ زائد أربعة الكل تربيع. في الطرف الأيسر، يمكننا إيجاد خمسة تربيع، وهو ما يساوي ٢٥.

بذلك نكون قد وجدنا أن معادلة الدائرة الموضحة في الشكل المعطى على الصورة القياسية بمعلومية المركز وطول نصف القطر هي: ﺱ زائد خمسة الكل تربيع زائد ﺹ زائد أربعة الكل تربيع يساوي ٢٥. إذا أردنا كتابة معادلة الدائرة في صورتها العامة، فعلينا فك ما بداخل الأقواس ثم تبسيط الناتج.