فيديو السؤال: استخدام نسبة جيب الزاوية لإيجاد ظل تمام الزاوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد ظتا 𝜃 إذا كان جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس، حيث 𝜃 تقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة.

إذن، فإننا نحاول إيجاد قيمة ظتا 𝜃. وباستخدام المتطابقات المثلثية، نعرف بعض الأمور. نعلم أن ظتا 𝜃 يساوي cos 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃، وهو ما يماثل ظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃؛ لأن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 مقسومًا على cos 𝜃. إذن، عند كتابة واحد مقسومًا على ذلك، فإنه يساوي المقلوب، أي جيب تمام الزاوية على جيب الزاوية. هذا لن يكون مفيدًا جدًّا؛ لأننا نعرف قيمة جيب الزاوية، لكن ليس لدينا أي معلومات عن جيب تمام الزاوية. لذا، لا نريد استخدامهما.

في المعادلة الثانية، لدينا ظتا تربيع 𝜃 زائد واحد يساوي قتا تربيع 𝜃. وقتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، ونحن نعلم قيمة جيب الزاوية. إذن، سيتبقى لدينا ظتا تربيع 𝜃 فقط غير معلوم قيمتها، ويمكننا حساب الجذر التربيعي وإيجاد قيمة ظتا 𝜃 بسهولة. إذن، لنبدأ ونستخدم هذه المعادلة.

كما ذكرنا، يمكننا التعويض عن قتا 𝜃 بواحد على جا 𝜃. وبالطبع، علينا تربيعه. دعونا الآن نعوض عن جا 𝜃 بثلاثة أخماس، ما يعني أن لدينا واحدًا مقسومًا على ثلاثة أخماس داخل القوس. الآن، واحد يساوي واحدًا على واحد، لذا، إذا أخذنا واحدًا على واحد وقسمنا على ثلاثة أخماس، فهذا يعني أنه سيصبح علينا الضرب في مقلوب المقام. لذا، علينا أن نقلب الجزء السفلي من الكسر. والآن، نجري عملية الضرب مباشرة. إذن، واحد في خمسة يساوي خمسة، وواحد في ثلاثة يساوي ثلاثة. ومن ثم، نحصل على خمسة أثلاث. وإذا قمنا بتربيع خمسة أثلاث، فإن خمسة تربيع يساوي ٢٥، وثلاثة تربيع يساوي تسعة.

الخطوة التالية هي أن نفصل ظتا تربيع 𝜃. لذا دعونا نطرح واحدًا من كلا الطرفين. نحذف العددين واحدًا الموجودين في الطرف الأيمن، لكن في الطرف الأيسر، لدينا ٢٥ على تسعة ناقص واحد، فيمكننا أن نضع واحدًا يساوي تسعة على تسعة؛ لأن هذا يساوي واحدًا. الآن عندما نطرح الكسرين، نطرح البسطين ونحتفظ بالمقامين. إذن، لدينا ظتا تربيع 𝜃 يساوي ١٦ على تسعة. الآن، لكي نوجد قيمة ظل تمام الزاوية، علينا حساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين. إذن، الجذر التربيعي لـ ١٦ يساوي أربعة، والجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. وعليه، فإن ظتا 𝜃 يساوي أربعة أثلاث.

لدينا معلومة أخرى، وهي أن 𝜃 تقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة. بالنظر إلى التمثيل البياني هنا، نجد أن لدينا صفر درجة، ثم ٩٠، ثم ١٨٠، ثم ٢٧٠. وعندما نقطع دورة كاملة، ينتهي بنا المطاف عند ٣٦٠ درجة، وهو ما يكافئ صفر درجة. وبما أن المسألة تخبرنا أن 𝜃 تقع بين ٩٠ و١٨٠، فهذا يعني أن 𝜃 تقع هنا. الآن، نوجد قيمة ظل تمام الزاوية، ومن المهم أن نعرف أنه عند النظر إلى تمثيل بياني، نجد أن قيمة الإحداثي ﺱ تمثل cos 𝜃، وقيمة الإحداثي ﺹ تمثل جا 𝜃. وظل تمام الزاوية يساوي cos 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃. ومن ثم، نقتصر على النظر إلى هذا لتحديد إذا ما كان أربعة أثلاث موجبًا أم سالبًا.

في الربع الثاني، من إجمالي أربعة أرباع، ننظر إلى الربع الثاني، لأن 𝜃 تقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة. هنا، يمكننا ملاحظة أن قيمة ﺹ موجبة، لكن قيمة ﺱ سالبة. هذا يعني أن قيمة جيب الزاوية موجبة وقيمة جيب تمام الزاوية سالبة. وسالب مقسومًا على موجب يساوي سالبًا. لذا، علينا تغيير أربعة أثلاث إلى سالب أربعة أثلاث بسبب موضع 𝜃.

إذن، ظل تمام الزاوية ظتا 𝜃 يساوي سالب أربعة أثلاث.