فيديو: النموذج التجريبي الأول • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال السادس عشر

النموذج التجريبي الأول • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال السادس عشر

٠٧:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الصور المختلفة لمعادلة المستوى الذي يقطع من المحاور الإحداثية س وَ ص وَ ع أجزاءً طولها اتنين وأربعة وخمسة على الترتيب.

خلِّينا نتكلّم الأول بصورة عامة، لو عندنا مستوى في الفراغ بيقطع محاور الإحداثيات التلاتة س وَ ص وَ ع في النقاط س واحد وصفر وصفر وصفر وَ ص واحد وصفر وصفر وصفر وَ ع واحد. فهنلاقي إن معادلة المستوى بدلالة الأجزاء المقطوعة من محاور الإحداثيات بنقدر نكتبها بالشكل ده: س على س واحد، زائد ص على ص واحد، زائد ع على ع واحد يساوي واحد. حيث زيّ ما إحنا شايفين س واحد وَ ص واحد وَ ع واحد هتمثّل أطوال الأجزاء المقطوعة من المحاور التلاتة س وَ ص وَ ع على الترتيب.

طب إحنا مُعطى عندنا في السؤال أطوال الأجزاء المقطوعة من المحاور س وَ ص وَ ع على الترتيب أطوالها اتنين وأربعة وخمسة. يبقى كده إحنا عندنا س واحد وَ ص واحد وَ ع واحد. يعني كده عرفنا إن س واحد بتساوي اتنين، وَ ص واحد بيساوي أربعة، وَ ع واحد بيساوي خمسة.

دلوقتي هنعوَّض في معادلة المستوى بدلالة الأجزاء المقطوعة بقيم س واحد وَ ص واحد وَ ع واحد. فهتصبح المعادلة بالشكل ده: س على اتنين، زائد ص على أربعة، زائد ع على خمسة يساوي واحد. لو ضربنا طرفَي المعادلة اللي عندنا في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات التلاتة اللي على الطرف الأيمن، اللي هو هيبقى عشرين. عشان نوصل للصورة العامة لمعادلة المستوى. وبعد التبسيط، هنلاقي إن المعادلة اللي عندنا أصبحت بالشكل ده: عشرة س زائد خمسة س زائد أربعة ع يساوي عشرين. إحنا عارفين إن الصورة العامة لمعادلة أيّ مستوى بيبقى: أ س زائد ب ص زائد ج ع زائد د يساوي صفر. حيث أ وَ ب وَ ج دول إحداثيات المتجه ن، اللي هو متجه اتجاه عمودي على المستوى.

هنرجع دلوقتي لآخر معادلة كُنَّا كاتبينها. وعايزين نخلّيها في شكل الصورة العامة لمعادلة المستوى. فهنطرح عشرين من طرفَي المعادلة. فبالتالي هتصبح: عشرة س زائد خمسة ص زائد أربعة ع ناقص عشرين يساوي صفر. وبكده يبقى قدرنا نوصل لمعادلة المستوى مكتوبة على الصورة العامة.

عايزين نستنتج منها بقى قيم … عايزين نستنتج دلوقتي من المعادلة دي قيم متجه الاتجاه العمودي على المستوى، اللي هو المتجه ن. عايزين نستنتج أ وَ ب وَ ج. لمَّا نقارن المعادلة اللي حصلنا عليها بالصورة العامة لمعادلة أيّ مستوى، هنلاقي إن أ هو معامل الحدّ الأول اللي بيحتوي على س. يعني أ بتساوي عشرة. أمَّا ب، فهي معامل الحدّ اللي بيحتوي على ص. وهتبقى بتساوي خمسة. أمَّا ج، فهيكون معامل الحدّ اللي بيحتوي على ع. هيبقى بيساوي أربعة. بما إننا قدرنا نوجد قيم أ وَ ب وَ ج، فكده قدرنا نستنتج متجه الاتجاه العمودي على المستوى، اللي هو المتجه ن. واللي هيساوي عشرة وخمسة وأربعة. نقدر دلوقتي كمان نستنتج قيمة د، اللي هي هتبقى عبارة عن الحدّ المطلق في المعادلة اللي عندنا. فهنلاقي إن د بتساوي سالب عشرين.

دلوقتي بعد ما استنتجنا الصورة العامة لمعادلة المستوى. اللي من خلالها قدرنا نستنتج أو نحدّد المتجه ن، اللي هو المتجه العمودي على المستوى اللي عندنا. نقدر دلوقتي نوجد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى. دلوقتي الصورة المتجهة لمعادلة أيّ مستوى بتبقى عبارة عن: حاصل الضرب القياسي للمتجهين ن وَ ر يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ن وَ أ. حيث ن ده هو متجه اتجاه عمودي على المستوى. وإحنا أوجدناه في الحالة اللي عندنا. أمَّا ر، فده متجه موضع لأيّ نقطة على المستوى اللي بنفترض إنها س وَ ص وَ ع. أمَّا المتجه أ، فده متجه موضع نقطة معلومة على المستوى.

بما إن إحنا أصبح معلوم عندنا المتجه ن، فدلوقتي مش ناقص عشان نقدر نكتب معادلة المستوى اللي عندنا على الصورة المتجهة غير المتجه أ. المتجه أ زيّ ما قُلنا بيمثّل متجه موضع لنقطة معلومة على المستوى. يعني نقدر نعوَّض عنه بمتجه الموضع لأيّ نقطة من النقاط، اللي هي عبارة عن نقاط تقاطع المستوى مع المحاور الإحداثية التلاتة. يعني مثلًا نقدر نختار النقطة اللي المستوى بيقطع فيها محور الإحداثيات س، اللي هي س واحد وصفر وصفر. وهنعوَّض عن س واحد باتنين. فنقدر نقول: إن متجه أ في الحالة دي هيساوي اتنين وصفر وصفر.

كده بعد ما عرفنا المتجه أ نقدر ببساطة نكتب الصورة المتجهة لمعادلة المستوى اللي عندنا. وبعد التعويض هتصبح المعادلة اللي عندنا بالشكل ده. ولو أجرينا عملية الضرب القياسي للمتجهين اللي على الطرف الأيسر من المعادلة. هنلاقي إن حاصل الضرب القياسي هنا هيصبح عشرين. ويبقى كده قدرنا نوجد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى. ودي تاني صورة من الصور المختلفة لمعادلة أيّ مستوى.

ناقص آخر صورة، اللي هي الصورة القياسية. المعادلة اللي عندنا دي هي الصورة القياسية لمعادلة أيّ مستوى: أ في، س ناقص س اتنين، زائد ب في، ص ناقص ص اتنين، زائد ج في، ع ناقص ع اتنين يساوي صفر. حيث س اتنين وَ ص اتنين وَ ع اتنين دول بيمثّلوا إحداثيات متجه الموضع لنقطة بتقع على المستوى. واللي زيّ ما قُلنا ممكن نستخدم فيها أيّ نقطة من النقاط اللي بيقطع المستوى فيها محاور الإحداثيات التلاتة. وإحنا اشتغلنا عليها في المعادلة السابقة بالنقطة اتنين وصفر وصفر، اللي هي النقطة اللي بيقطع فيها المستوى المحور س.

أمَّا أ وَ ب وَ ج، فدول زيّ ما استخدمنا قبل كده همَّ إحداثيات المتجه ن العمودي على المستوى. فبعد التعويض عن أ وَ ب وَ ج بعشرة وخمسة وأربعة، اللي هي إحداثيات المتجه ن العمودي على المستوى. وهنعوَّض زيّ ما قُلنا عن س اتنين وَ ص اتنين وَ ع اتنين بإحداثيات النقطة اللي بيقطع فيها المستوى المحور س، اللي هي اتنين وصفر وصفر. هتصبح المعادلة اللي عندنا بالشكل ده: عشرة في، س ناقص اتنين، زائد خمسة في، ص ناقص صفر، زائد أربعة في، ع ناقص صفر يساوي صفر. يعني نقدر نقول: عشرة س ناقص اتنين، زائد خمسة ص، زائد أربعة ع يساوي صفر.

وبكده هتبقى المعادلة اللي عندنا أصبحت بتمثّل الصورة القياسية لمعادلة المستوى. وكده قدرنا نوجد الصور المختلفة لمعادلة المستوى اللي عندنا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.