فيديو: الدوال كثيرات الحدود ذات الأصفار المتكررة

يوضح الفيديو المفهوم الأساسي لأصفار الدوال كثيرات الحدود، ونقاط الانعطاف لها، ومتى يكون لها أصفار متكررة، ومدى تأثير هذه الأصفار على التمثيل البياني للدالة.

١٠:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

الدوال كثيرات الحدود ذات الأصفار المتكررة.

في الفيديو ده هنراجع الصيغة القياسية للدوال كثيرات الحدود. والمفهوم الأساسي لأصفار دوال كثيرات الحدود ونقاط الانعطاف. بعد كده هنعرف متى يكون للدالة كثيرة الحدود أصفار متكررة. وإزّاي هذه الأصفار المتكررة يمكن أن تؤثر على التمثيل البياني للدالة كثيرة الحدود.

نجد أن الصيغة القياسية للدوال كثيرات الحدود د س تساوي: أ ن س أُس ن، زائد أ ن ناقص واحد في س أُس ن ناقص واحد، زائد نقط نقط نقط، زائد أ واحد س أُس واحد، زائد أ صفر.

معنى زائد نقط نقط نقط؛ أي وهكذا لحدّ ما نوصل إلى أ واحد س أُس واحد زائد أ صفر. نجد أن د س هي كثيرة حدود من الدرجة ن. وَ ن عدد صحيح موجب. وَ أ ن لا يساوي صفر. ونجد أن المعاملات أ ن وَ أ ن ناقص واحد، وهكذا إلى أ واحد وَ أ صفر أعداد حقيقية.

بنجد أن تحتوي د س من الدرجة ن على ن من الأصفار الحقيقية المميزة على الأكثر، وعلى ن ناقص واحد نقطة انعطاف على الأكثر. ولكن الدوال كثيرات الحدود يمكن أن يكون لها أصفار متكررة.

بنكمّل في صفحة جديدة؛ عشان نعرف متى يكون للدوال كثيرات الحدود أصفار متكررة. نفتح صفحة جديدة.

بنكمّل الدوال كثيرات الحدود ذات الأصفار المتكررة. بنلاقي إذا كانت د س كثيرة حدود من الدرجة ن؛ حيث ن عدد طبيعي. وكان س ناقص ج لكل أُس م أكبر قيمة أسية لِـ س ناقص ج، بعد تحليل د س بالكامل إلى عوامل. أي أن بعد تحليل الدالة د س نجد أن س ناقص ج متكرّر أكثر من مرة. وعدد مرات التكرار هي م. إذن ج تساوي صفرًا من التكرار م للدالة. أي أن ج هي صفر لهذه الدالة، ولكن من التكرار م؛ حيث م عدد طبيعي.

ولكن هل معرفة وجود الأصفار المتكررة للدالة كثيرة الحدود، يساعد في رسم الدالة؟ للإجابة على هذا السؤال، نكمل ونفتح صفحة جديدة.

بنكمّل وهنتكلّم عن خصائص التمثيل البياني للدوال كثيرات الحدود ذات الأصفار المتكررة. إذا وُجِد الصفر ج لِـ د س … د س هي دالة كثيرة حدود. إذا وُجِد الصفر ج لِـ د س له تكرار فردي. فإن التمثيل البياني للدالة يقطع محور السينات عند س تساوي ج. وتتغير إشارة قيمة د س عند س يساوي ج. وإذا وجد الصفر ج لِـ د س له تكرار زوجي، فإن التمثيل البياني للدالة يصبح مماسًّا لمحور السينات عند س يساوي ج. مماسًّا لمحور السينات أي لا يقطع محور السينات، ولكن يمسه عند س تساوي ج. ولا تتغير إشارة قيمة د س عند س تساوي ج.

بعد كده هنحل مثال على دالة كثيرة حدود ذات أصفار متكررة؛ عشان نقدر نطبّق اللي إحنا فهمناه. نفتح صفحة جديدة.

بنكمّل مثال على دالة كثيرة حدود ذات أصفار متكررة. في المثال اذكر عدد الأصفار الحقيقية المحتملة، ونقاط الانعطاف للدالة د س تساوي سالب س أُس أربعة ناقص س أُس تلاتة زائد اتنين س تربيع. ثم حدِّد جميع الأصفار الحقيقية عن طريق تحليل العوامل.

عشان نقدر نعرف عدد الأصفار الحقيقية المحتمَلة، ونقاط الانعطاف للدالة كثيرة الحدود؛ يجب معرفة درجة الدالة. بنلاقي عندنا إن الدالة عبارة عن سالب س أُس أربعة ناقص س أُس تلاتة زائد اتنين س تربيع. وبالتالي بنلاقي إن أكبر قوة عندنا هي س أُس أربعة. وبالتالي كثيرة الحدود هذه هي كثيرة حدود من الدرجة الرابعة.

وبذلك نجد أن الدالة د س هي كثيرة حدود من الدرجة الرابعة. وعدد الأصفار الحقيقية المميَّزة أربعة على الأكثر. وعدد النقاط الانعطاف أربعة ناقص واحد تساوي تلاتة على الأكثر؛ لأنها تقل عن درجة الدالة كثيرة الحدود بمقدار واحد.

بعد كده مطلوب تحديد جميع الأصفار الحقيقية عن طريق تحليل العوامل لهذه الدالة. بنكمّل في صفحة جديدة.

بنكمّل تحليل الدالة إلى عوامل. د س عندنا كانت عبارة عن سالب س أُس أربعة ناقص س أُس تلاتة زائد اتنين س تربيع. أول خطوة في تحليل الدالة إلى عوامل إننا نساوي د س بصفر. وبالتالي بنلاقي إن سالب س أُس أربعة ناقص س أُس تلاتة زائد اتنين س تربيع يساوي صفر.

بعد كده بنحلل إلى العامل المشترك الأكبر سالب س تربيع. وبالتالي بنلاقي إن المعادلة المرتبِطة بالدالة كثيرة الحدود د س عبارة عن سالب س تربيع … نفتح قوس س تربيع زائد س ناقص اتنين … نقفل القوس … تساوي صفر.

بعد كده بنحلل إلى العوامل الكاملة. وبنلاقي إن النتيجة هتكون عبارة عن سالب س تربيع في س ناقص واحد في س زائد اتنين يساوي صفر. وبذلك نجد أن الأصفار للدالة كثيرة الحدود د س هتكون عبارة عن أصفار الدالة: صفر، وواحد، وسالب اتنين. ونجد أن بين هذه الأصفار الصفر يتكرر مرتين. زي ما إحنا شايفين كده، بنلاقي عندنا سالب س تربيع. وبالتالي الصفر «صفر» يتكرر مرتين.

بعد كده عاوزين نتأكد هل فعلًا التمثيل البياني للدالة كثيرة الحدود بيتأثّر بعدد الأصفار. بنشوف التمثيل البياني لِـ د س اللي عندنا في المثال. بنكمّل في صفحة جديدة.

بنكمّل عندنا دالة كثيرة حدود هي د س تساوي سالب س أُس أربعة ناقص س أُس تلاتة زائد اتنين س تربيع. أصفار هذه الدالة صفر وواحد وسالب اتنين. بين هذه الأصفار الصفر مكرّر مرتين. وعدد النقاط الانعطاف لهذه الدالة كثيرة الحدود تلاتة على الأكثر. بنلاقي إن التمثيل البياني لهذه الدالة يؤكد على أصفارها؛ آدي واحد، وصفر، وسالب اتنين.

بنلاحظ أيضًا أن عند س تساوي واحد، وَ س تساوي سالب اتنين. أن التمثيل البياني يقطع محور السينات، ولكن عند س تساوي صفر. يصبح التمثيل البياني مماسًّا لمحور السينات؛ وذلك لأن عند س تساوي الصفر، هو «صفر» مكرر مرتين.

يبقى في الفيديو ده إحنا راجعنا الصيغة القياسية للدوال كثيرات الحدود. والمفهوم الأساسي لأصفار الدوال كثيرات الحدود. ونقاط الانعطاف. بعد كده عرفنا متى يكون للدالة كثيرة الحدود أصفار متكررة. وإزّاي هذه الأصفار المتكررة يمكن أن تؤثر على التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.