فيديو الدرس: نظرية متباينة فيثاغورس الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت زاوية في مثلث حادة أو قائمة أو منفرجة، باستخدام متباينة فيثاغورس. لكن قبل أن نبدأ في مناقشة نظرية متباينة فيثاغورس، من المهم أن نذكر أنفسنا بنظرية فيثاغورس وعكسها.

تنص نظرية فيثاغورس على أنه إذا كان المثلث ﺃﺏﺟ قائم الزاوية عند ﺏ، فإن مربع طول الضلع ﺟﺃ يساوي ﺏﺃ تربيع زائد ﺟﺏ تربيع. بعبارة أخرى، مربع طول الضلع الأطول، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

وعلى الجانب الآخر، تنص عكس نظرية فيثاغورس على أنه إذا كان مربع طول أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن المثلث يكون قائم الزاوية. وتكون الزاوية المقابلة للضلع الأطول هي الزاوية القائمة. إذا عرفنا أطوال أضلاع أي مثلث، فإنه يمكننا استخدام هذه النتيجة لإثبات إذا ما كان المثلث المعطى قائم الزاوية أم لا.

على سبيل المثال، سنفترض أننا نعرف أن أطوال أضلاع مثلث ما تساوي ستة وثمانية و ١٠ سنتيمترات. نحن نعلم أن ١٠ تربيع يساوي ١٠٠، وثمانية تربيع يساوي ٦٤، وستة تربيع يساوي ٣٦. وبما أن ٦٤ زائد ٣٦ يساوي ١٠٠ ووفقًا لعكس نظرية فيثاغورس، نجد أن الزاوية المقابلة للضلع الأطول يجب أن تكون قائمة، وبذلك يكون المثلث قائم الزاوية.

وبالمثل، بافتراض أن لدينا مثلثًا أطوال أضلاعه اثنان وثلاثة وأربعة، وبما أن أربعة تربيع يساوي ١٦، واثنين تربيع يساوي أربعة، وثلاثة تربيع يساوي تسعة، نجد أن اثنين تربيع زائد ثلاثة تربيع يساوي ١٣، وهذا لا يساوي ١٦. ومن ثم فإن المثلث الذي أطوال أضلاعه هكذا ليس قائم الزاوية.

يمكننا استخدام هذه الأفكار على نطاق أوسع فيما يتعلق بالمثلثات غير القائمة الزاوية بتذكر تعريفي المثلثات المنفرجة الزاوية والحادة الزوايا. نعلم أن المثلث المنفرج الزاوية يكون له زاوية داخلية منفرجة. وقياس هذه الزاوية الداخلية يكون أكبر من ٩٠ درجة. وفي المثلث الحاد الزوايا، تكون جميع زواياه الداخلية حادة، أي قياس كل منها أقل من ٩٠ درجة.

يمكننا تحديد إذا ما كانت زاوية المثلث حادة أم قائمة أم منفرجة باستخدام نظرية فيثاغورس على نطاق أوسع لتشمل نظرية متباينة فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أنه لأي مثلث، ﺃﺏﺟ، ضلعه الأطول يقابل الزاوية ﺏ، يكون مربع طول الضلع الأطول ﺟﺃ أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وإذا كان مربع طول الضلع الأطول أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، يكون المثلث حاد الزوايا. وبين هاتين النظريتين، لدينا عكس نظرية فيثاغورس التي تنص على أنه إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن قياس الزاوية ﺏ يساوي ٩٠ درجة. وبذلك يكون المثلث قائم الزاوية.

لمعرفة سبب صحة نظرية المتباينة، انظر الضلعين ﺏﺃ وﺏﺟ اللذين لهما طول ثابت ويتصلان عند النقطة ﺏ. حسنًا، سنبقي النقطتين ﺃ وﺏ ثابتتين، ولكن سنحرك النقطة ﺟ لتكوين مثلثات مختلفة. يمكننا تحريك هذه الأضلاع ذات الأطوال الثابتة لتكوين سيقان مختلفة للمثلث. ما يعنينا هنا هو ما يحدث لأطوال الأضلاع ﺟﺃ واحد وﺟﺃ اثنين وﺟﺃ ثلاثة. تحريك الضلع لصنع زاوية قائمة عند ﺏ يعطينا مثلثًا قائم الزاوية. وبذلك، نعرف أن ﺟﺃ اثنين تربيع يساوي ﺏﺃ تربيع زائد ﺏﺟ اثنين تربيع. وهذه هي نظرية فيثاغورس.

بعد ذلك، زيادة قياس الزاوية ﺏ ستجعل الضلع ﺃﺟ أطول، كما هو موضح في الشكل الأول. وتقليل قياس الزاوية ﺏ سيجعل الضلع ﺃﺟ أقصر، كما هو موضح في الشكل الثالث. ومن ثم، إذا كانت الزاوية ﺏ منفرجة، فإن مربع طول الضلع ﺃﺟ يكون أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وإذا كانت الزاوية ﺏ حادة، فإن مربع طول الضلع ﺃﺟ يكون أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وبناء على ذلك، أصبح لدينا نظرية متباينة فيثاغورس.

والآن، دعونا نتناول بعض الأمثلة حول كيفية تطبيق نظرية المتباينة هذه لتحديد نوع زاوية في مثلث بمعلومية أطوال أضلاعه المعطاة.

المثلث ﺱﺹﻉ فيه ﺹﻉ تربيع أكبر من ﺱﻉ تربيع ناقص ﺱﺹ تربيع. ما نوع الزاوية ﺹ؟

لتحديد نوع الزاوية ﺹ في المثلث ﺱﺹﻉ، يمكننا تطبيق نظرية متباينة فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان ﺱﺹﻉ مثلثًا ضلعه الأطول يقابله الزاوية ﺹ، وكان مربع طول الضلع المقابل للزاوية ﺹ أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية ﺹ تكون زاوية منفرجة. في المقابل، إذا كان مربع طول الضلع المقابل للزاوية ﺹ أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية ﺹ تكون زاوية حادة. وبالطبع، نعلم أن نظرية فيثاغورس، أو عكس النظرية، تنص على أنه إذا كان مربع طول الضلع المقابل للزاوية ﺹ يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية ﺹ تكون زاوية قائمة.

لدينا في السؤال المتباينة ﺹﻉ تربيع أكبر من ﺱﻉ تربيع ناقص ﺱﺹ تربيع. وإذا أضفنا ﺱﺹ تربيع إلى كلا الطرفين لحذف الحد السالب، فسنجد أن ﺹﻉ تربيع زائد ﺱﺹ تربيع أكبر من ﺱﻉ تربيع. وبذلك نكون قد جعلنا الضلع ﺱﻉ المقابل للزاوية ﺹ في الطرف الأيسر بمفرده. وبإعادة كتابة المتباينة، بحيث يمكننا مقارنتها بمتباينة فيثاغورس، نجد أن ﺱﻉ تربيع أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. هذه المتباينة تناظر المتباينة الثانية. وبذلك، نجد أن الزاوية ﺹ زاوية حادة.

لمعرفة نوع المثلث من أطوال أضلاعه، يمكننا التحقق من كل زاوية باستخدام نظرية متباينة فيثاغورس. لكننا لن نحتاج إلى فعل ذلك إذا تذكرنا خاصية المثلث التي تنص على أن الزاوية التي لها أكبر قياس في المثلث دائمًا ما تقابل الضلع الأطول. في المثال التالي، يمكننا استخدام هذه الخاصية لتحديد أكبر زاوية في المثلث من أطوال أضلاعه، ثم استخدام نظرية متباينة فيثاغورس لمعرفة نوع المثلث.

المثلث ﺃﺏﺟ أطوال أضلاعه ﺏﺃ يساوي سبعة سنتيمترات، وﺏﺟ يساوي تسعة سنتيمترات، وﺃﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات. أوجد الزاوية التي لها أكبر قياس في المثلث ﺃﺏﺟ. وحدد نوع المثلث ﺃﺏﺟ بدلالة زواياه.

للإجابة عن الجزء الأول من السؤال، دعونا نسترجع أنه في أي مثلث، دائمًا ما تكون الزاوية التي لها أكبر قياس مقابلة للضلع الأطول. إذن، بما أن طول الضلع الأطول في المثلث يساوي ١٠ سنتيمترات، فإن الزاوية المقابلة له، أي الزاوية ﺏ، يجب أن يكون لها أكبر قياس.

في الجزء الثاني من السؤال، لتحديد نوع المثلث الذي لدينا بدلالة زواياه، يمكننا تطبيق نظرية متباينة فيثاغورس، التي توضح ثلاث حالات. أولًا: إذا كان مربع طول الضلع الأطول في المثلث أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المقابلة للضلع الأطول تكون زاوية منفرجة. ثانيًا: إذا كان مربع طول الضلع الأطول أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المقابلة له تكون زاوية حادة. ثالثًا: إذا كان مربع طول الضلع الأطول مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المقابلة له تكون زاوية قائمة. وفي الواقع، تمثل الحالة الثالثة عكس نظرية فيثاغورس.

بتطبيق هذه النظرية على المثلث الذي لدينا؛ حيث طول الضلع الأطول يساوي ١٠ سنتيمترات، نجد أن ﺃﺟ تربيع يساوي ١٠ تربيع، وهو ما يساوي ١٠٠. ومجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين ﺏﺃ وﺏﺟ يساوي سبعة تربيع زائد تسعة تربيع. هذا يساوي ٤٩ زائد ٨١، وهو ما يساوي ١٣٠. ومن ثم، نلاحظ أن مربع طول الضلع الأطول، وهو ١٠٠، أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، وهو ١٣٠. إذن، وفقًا لنظرية متباينة فيثاغورس، يجب أن تكون الزاوية ﺏ زاوية حادة. لقد علمنا أن ﺏ هي الزاوية التي لها أكبر قياس. وبما أن ﺏ زاوية حادة، فإن المثلث ﺃﺏﺟ مثلث حاد الزوايا.

دعونا نتناول الآن أحد الأمثلة التي نطبق فيها نظرية متباينة فيثاغورس إلى جانب بعض النتائج الهندسية لتحديد نوع المثلث.

حدد نوع المثلث ﺏﺟﺩ بدلالة زواياه.

لمعرفة نوع المثلث ﺏﺟﺩ، دعونا نبدأ بتذكر أننا إذا عرفنا أطوال أضلاع أي مثلث، فإنه يمكننا استخدام نظرية متباينة فيثاغورس لتحديد نوعه. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان مربع طول الضلع الأطول، ﺃﺟ، أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فستكون الزاوية المقابلة للضلع الأطول منفرجة. وإذا كان مربع طول الضلع الأطول أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فستكون الزاوية حادة. وإذا كان مربع طول الضلع الأطول مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فستكون الزاوية قائمة.

على الرغم من ذلك، لا يمكننا تطبيق هذه النظرية هنا؛ لأننا لا نعرف طولي الضلعين ﺏﺩ وﺟﺩ حتى الآن. ولإيجاد طوليهما، علينا في البداية معرفة نوع المثلث ﺃﺏﺟ. لذا، دعونا نستخدم أطوال أضلاعه لمعرفة ذلك. لدينا ١٣٥ تربيع يساوي ١٨٢٢٥، وهو ما يساوي أيضًا ٨١ تربيع زائد ١٠٨ تربيع. وهذا يعني أن المثلث ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية عند ﺏ؛ لأن الزاوية ﺏ تقابل وتر المثلث.

بما أن الضلع ﺏﺩ خط مستقيم خارج من الرأس ﺏ؛ حيث يمكننا ملاحظة أنه ينصف الضلع المقابل، وأن الزاوية ﺏ زاوية قائمة، فإن ﺏﺩ متوسط المثلث ﺃﺏﺟ. وبتذكر أن طول المتوسط عند الزاوية القائمة لمثلث قائم الزاوية يساوي نصف طول الوتر، نجد أن ﺏﺩ يساوي نصف الطول ١٣٥. وهذا يساوي ٦٧٫٥ سنتيمترًا.

يمكننا أيضًا ملاحظة أن الضلعين ﺟﺩ ودأ متساويان في الطول، ولذا يجب أن يكون طول كل منهما أيضًا مساويًا لنصف طول الوتر. يمكننا استخدام نظرية متباينة فيثاغورس لتحديد نوع أكبر زاوية في المثلث ﺏﺟﺩ. بداية، يمكننا ملاحظة أن الزاوية ﺃﺟﺏ هي زاوية في مثلث قائم الزاوية، إذن فهي زاوية حادة. والزاوية ﺟﺩﺏ أصغر من الزاوية القائمة ﺃﺏﺟ، إذن الزاوية ﺟﺩﺏ زاوية حادة أيضًا. أو بدلًا من ذلك، يمكننا ملاحظة أن المثلث ﺟﺩﺏ متساوي الساقين، ونتيجة لذلك تكون الزاويتان ﺟ وﺏ متساويتين، ومن ثم يجب أن تكونا زاويتين حادتين.

وأخيرًا، بالنسبة للزاوية ﺟﺩﺏ، يمكننا مقارنة مربع طول الضلع المقابل، وهو الضلع الأطول ﺟﺏ، بمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. لدينا ٨١ تربيع يساوي ٦٥٦١. و٦٧٫٥ تربيع زائد ٦٧٫٥ تربيع يساوي ٩١١٢٫٥. إذن، طول ﺟﺏ تربيع؛ أي مربع طول الضلع الأطول، أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. ووفقًا لنظرية متباينة فيثاغورس، يجب أن تكون الزاوية ﺟﺩﺏ زاوية حادة. ومن ثم، بما أن الزاوية التي لها أكبر قياس في المثلث ﺏﺟﺩ زاوية حادة، فإن ﺏﺟﺩ مثلث حاد الزوايا.

دعونا نتناول مثالًا آخر حول كيفية تطبيق نظرية متباينة فيثاغورس لمعرفة نوع المثلث، لكن هذه المرة في متوازي أضلاع.

‏ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع. إذا كان ﺃﺟ يساوي ١٣ سنتيمترًا، وﺃﺩ يساوي ١٣ سنتيمترًا، وﺟﺩ يساوي خمسة سنتيمترات، فما نوع المثلث ﺃﺩﺟ؟

يمكننا ملاحظة أن ﺃﺩﺟ مثلث متساوي الساقين. وبتذكر أن الزاوية التي لها أكبر قياس في أي مثلث تقابل الضلع الأطول، ففي المثلث ﺃﺩﺟ، نجد أن الزاويتين المتساويتين ﺟ وﺩ سيكون لهما أكبر قياس. باختيار إحدى الزاويتين ﺟ وﺩ، يمكننا استخدام نظرية متباينة فيثاغورس للتأكد من أن هاتين الزاويتين حادتان.

سنستخدم الزاوية ﺩ، ونحن نعلم أن هذه النظرية توضح ثلاث حالات. أولًا: إذا كان مربع طول الضلع الأطول أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المقابلة للضلع الأطول تكون منفرجة. ثانيًا: إذا كان مربع طول الضلع الأطول أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية تكون حادة. ثالثًا: إذا كان مربع طول الضلع الأطول مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المقابلة له تكون قائمة.

في الحالة التي لدينا، نجد أن ﺃﺟ تربيع؛ أي ١٣ تربيع، يساوي ١٦٩، وﺃﺩ تربيع زائد ﺟﺩ تربيع يساوي ١٣ تربيع زائد خمسة تربيع. وهذا يساوي ١٩٤. ومن ثم، فإن ﺃﺟ تربيع أصغر من ﺃﺩ تربيع زائد ﺟﺩ تربيع. إذن، الزاوية ﺟﺩﺃ زاوية حادة. وينطبق الأمر نفسه على الزاوية ﺃﺟﺩ، إذن هذه الزاوية حادة أيضًا. وبما أن هاتين الزاويتين لهما أكبر قياس في المثلث ﺃﺩﺟ، يجب أن يكون قياس الزاوية ﺟﺃﺩ أصغر من قياس كل منهما. ومن ثم، فإن الزاوية الثالثة؛ أي الزاوية ﺟﺃﺩ، تكون زاوية حادة أيضًا. بما أن جميع الزوايا الثلاث حادة، وتحديدًا الزاوية التي لها أكبر قياس، فإن ﺃﺩﺟ مثلث حاد الزوايا.

في المثال الأخير، سنستخدم متباينة فيثاغورس لتصنيف نوع مثلث داخل مستطيل.

صنف المثلث ﻫﻭﺟ؛ حيث طول الضلع ﺏﻭ يساوي جذر ثلاثة سنتيمتر وطول الضلع أﻫ يساوي جذر ستة سنتيمتر، علمًا بأن ﺃﺏﺟﺩ مستطيل.

لتحديد نوع المثلث ﻫﻭﺟ، يمكننا استخدام نظرية متباينة فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان طول مربع الضلع الأطول أكبر من أو أصغر من أو يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المقابلة للضلع الأطول، ومن ثم للمثلث نفسه، تكون منفرجة أو حادة أو قائمة، على الترتيب.

في الحالة التي لدينا، لا نعرف أطوال أضلاع المثلث ﻫﻭﺟ حتى الآن. لكننا نعرف أنه مرسوم داخل مستطيل، وأن أركان المستطيل هي زوايا قائمة. إذن، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس للمثلثات القائمة الزوايا لإيجاد أطوال الأضلاع الثلاثة المجهولة. سنبدأ بالمثلث ﻭأﻫ، وبما أن طول الضلع أﻭ يساوي طول الضلع ﻭﺏ؛ أي جذر ثلاثة، يمكننا إذن إيجاد طول الضلع ﻫﻭ. ‏ﻫﻭ تربيع يساوي جذر ستة تربيع زائد جذر ثلاثة تربيع، وهو ما يساوي تسعة. وبأخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين — حيث نستخدم هنا الجذر التربيعي الموجب لأننا نوجد طولًا — نجد أن طول الضلع ﻫﻭ يساوي ثلاثة سنتيمترات.

سنوجد الآن طول الضلع ﻫﺟ، ونحن نعلم أن طول الضلع ﺩﻫ يساوي طول الضلع ﻫأ، وهو جذر ستة سنتيمتر، وأن طول الضلع ﺟﺩ يساوي اثنين جذر ثلاثة؛ لأنه يساوي طول الضلع ﺃﺏ. إذن، لدينا ﻫﺟ تربيع يساوي ﻫﺩ تربيع زائد ﺟﺩ تربيع. وهذا يساوي جذر ستة تربيع زائد اثنين جذر ثلاثة تربيع، وهو ما يساوي ١٨. وبأخذ الجذر التربيعي الموجب، نجد أن ﻫﺟ يساوي ثلاثة جذر اثنين سنتيمتر.

باستخدام الطريقة نفسها لإيجاد طول الضلع ﺟﻭ، نجد أن ﺟﻭ تربيع يساوي ﺟﺏ تربيع زائد ﺏﻭ تربيع. وبذلك نجد أن ﺟﻭ تربيع يساوي ٢٧. وهذا يساوي ثلاثة جذر ثلاثة. حسنًا، لدينا الآن أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ﻫﻭﺟ. وبما أن ثلاثة جذر ثلاثة أكبر من ثلاثة جذر اثنين، وهو أكبر من ثلاثة، فإن الضلع الأطول لدينا هو ﺟﻭ.

وبتذكر أن الزاوية التي لها أكبر قياس في أي مثلث دائمًا ما تقابل الضلع الأطول، يمكننا تطبيق نظرية متباينة فيثاغورس لتحديد نوع الزاوية المقابلة للضلع ﺟﻭ. إنها الزاوية ﺟﻫﻭ. لدينا ﺟﻭ تربيع يساوي ثلاثة جذر ثلاثة تربيع، وهو ما يساوي ٢٧. لدينا بعد ذلك مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين؛ أي ﻫﻭ تربيع زائد ﻫﺟ تربيع، وهو ما يساوي ثلاثة تربيع زائد ثلاثة جذر اثنين تربيع. وهذا يعطينا تسعة زائد ١٨، وهو ما يساوي ٢٧ أيضًا. إذن، مربع طول الضلع الأطول في المثلث ﻫﻭﺟ يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. ووفقًا للحالة الثالثة من نظرية متباينة فيثاغورس، نجد أن الزاوية ﺟﻫﻭ زاوية قائمة.

وبما أن الزاوية ﺟﻫﻭ زاوية قائمة ومجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، فلا بد أن تكون الزاويتان الأخريان، ﻫﺟﻭ وﻫﻭﺟ، حادتين. وبما أن الزاوية التي لها أكبر قياس في المثلث ﻫﻭﺟ زاوية قائمة، فإن المثلث ﻫﻭﺟ مثلث قائم الزاوية.

دعونا نختتم هذا الفيديو بتذكير أنفسنا ببعض النقاط الرئيسية التي تناولناها.

أولًا: إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة، فإن المثلث يسمى مثلثًا حاد الزوايا. ثانيًا: إذا كان المثلث به زاوية داخلية منفرجة، فإنه يسمى مثلثًا منفرج الزاوية. وثالثًا: إذا كان المثلث به زاوية داخلية قائمة فإنه يسمى مثلثًا قائم الزاوية.

نعلم أن الزاوية الأكبر في أي مثلث تقابل ضلعه الأطول، وهو ما يقودنا إلى نظرية متباينة فيثاغورس؛ حيث إنه إذا كانت الزاوية ﺏ لها أكبر قياس، وكان مربع طول الضلع الأطول في المثلث أكبر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية ﺏ تكون منفرجة ويكون المثلث منفرج الزاوية. وإذا كان مربع طول الضلع الأطول أصغر من مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية التي لها أكبر قياس في المثلث تكون حادة ويكون المثلث حاد الزوايا. وأخيرًا، إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المقابلة له تكون قائمة ويكون المثلث قائم الزاوية.