نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻥ توافيق ثلاثة يساوي ١٢٠، فأوجد ﻥ.
نبدأ باسترجاع تعريف ﻥﻕﺭ. إنه يعني عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار ﺭ من العناصر الفريدة من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر، ولا يهم الترتيب. وهو يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. ويمكننا التعبير عن ذلك بالرمز ﻥﻕﺭ أو ﻥ توافيق ﺭ كما هو موضح. في هذا السؤال، لدينا قيمة ﻥ توافيق ثلاثة. لذا دعونا نعد كتابة ﻥ توافيق ثلاثة باستخدام هذا الرمز.
نعوض عن ﺭ بثلاثة، فيصبح لدينا مضروب ﻥ على مضروب ثلاثة في مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. علمنا أن هذا يساوي ١٢٠. إذن، يمكننا القول إن مضروب ﻥ على مضروب ثلاثة في مضروب ﻥ ناقص ثلاثة يساوي ١٢٠. هيا نبسط هذا المقدار قليلًا بضرب الطرفين في مضروب ثلاثة. ومن ثم، نحصل على مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة يساوي ١٢٠ في مضروب ثلاثة. نعلم أن مضروب ثلاثة يساوي ثلاثة في اثنين في واحد، وهو ما يساوي ستة. وبما أن ١٢٠ في ستة يساوي ٧٢٠، يصبح لدينا مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة يساوي ٧٢٠.
والآن، نطبق تعريف المضروب. نعرف أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا. ولأن هذا النمط يستمر، يمكننا كتابته على الصورة: ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين في مضروب ﻥ ناقص ثلاثة. ومن ثم، نلاحظ أنه بما أننا نقسم مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ثلاثة، فسيحذف هذان المضروبان. وتصبح المعادلة أبسط. لدينا ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين يساوي ٧٢٠. لدينا إذن تعبير من الدرجة الثالثة. لذا، سنوزع الأقواس ونساويها بصفر.
بضرب ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، نحصل على: ﻥ تربيع ناقص ثلاثة ﻥ زائد اثنين. ثم نضرب في ﻥ ليصبح الطرف الأيسر: ﻥ تكعيب ناقص ثلاثة ﻥ تربيع زائد اثنين ﻥ يساوي ٧٢٠. تذكر أنه للحل، علينا أن نجعل هذا التعبير من الدرجة الثالثة يساوي صفرًا ثم نحلله. يمكننا استخدام طريقة حل كثيرات الحدود في الآلة الحاسبة، لكن دعونا نتذكر الطريقة التي تسمح لنا بتحليل التعبيرات من الدرجة الثالثة. يمكننا استخدام نظرية العوامل. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان ﻥ ناقص ﺃ عاملًا للدالة ﺩﻥ، فإن ﺩﺃ يساوي صفرًا. نعلم أن قيمة ﺃ ستساوي أحد عوامل سالب ٧٢٠.
فلنجرب ﺃ يساوي ١٠. من الواضح أنه أحد عوامل سالب ٧٢٠. إذا كان ﻥ ناقص ١٠ عاملًا، فإن ﺩ ١٠، أي ١٠ تكعيب، ناقص ثلاثة في ١٠ تربيع زائد اثنين في ١٠ ناقص ٧٢٠ يساوي صفرًا. هذا صحيح. وعليه، فإن ﻥ ناقص ١٠ هو أحد عوامل ﻥ تكعيب ناقص ثلاثة ﻥ تربيع زائد اثنين ﻥ ناقص ٧٢٠. هيا نستخدم القسمة المطولة لكثيرات الحدود لقسمة الدالة على ﻥ ناقص ١٠. ﻥ تكعيب مقسومًا على ﻥ يساوي ﻥ تربيع. ثم نضرب ﻥ تربيع في كل حد من ذات الحدين. وهذا يعطينا: ﻥ تكعيب ناقص ١٠ﻥ تربيع. بعد ذلك، نطرح هذين الحدين. ﻥ تكعيب ناقص ﻥ تكعيب يساوي صفرًا. إذن، سالب ثلاثة ﻥ تربيع ناقص سالب ١٠ﻥ تربيع يساوي سبعة ﻥ تربيع. نكتب الحدين المتبقيين بالأسفل. ثم نقسم سبعة ﻥ تربيع على ﻥ. وهذا يعطينا سبعة ﻥ.
والآن، نضرب سبعة ﻥ في حدي ذات الحدين، فنحصل على: سبعة ﻥ تربيع ناقص ٧٠ﻥ. ثم نطرح مرة أخرى. سبعة ﻥ تربيع ناقص سبعة ﻥ تربيع يساوي صفرًا. واثنان ﻥ ناقص سالب ٧٠ﻥ يساوي ٧٢ﻥ. نكتب سالب ٧٢٠ بالأسفل، ثم نقسم ٧٢ﻥ على ﻥ، فنحصل على ٧٢. مرة أخرى، نضرب ٧٢ في حدي ذات الحدين، فنحصل على ٧٢ﻥ ناقص ٧٢٠. ويعني هذا أن الباقي يساوي صفرًا، كما توقعنا. وبذلك، نحصل على: ﻥ ناقص ١٠ في ﻥ تربيع زائد سبعة ﻥ زائد ٧٢ يساوي صفرًا.
مهمتنا الآن هي التحقق مما إذا كان ﻥ تربيع زائد سبعة ﻥ زائد ٧٢ قابلًا للتحليل. سنستخدم المميز. إن مميز المعادلة التربيعية التي تكون على الصورة: ﺃﻥ تربيع زائد ﺏﻥ زائد ﺟ يساوي صفرًا؛ هو ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ. ﺃ هنا، وهو معامل ﻥ تربيع، يساوي واحدًا؛ وﺏ، وهو معامل ﻥ، يساوي سبعة؛ وﺟ، وهو الثابت، يساوي ٧٢. إذن، المميز يساوي سبعة تربيع ناقص أربعة في واحد في ٧٢. حسنًا، إنه أقل من صفر.
يوضح لنا هذا أن المعادلة: ﻥ تربيع زائد سبعة ﻥ زائد ٧٢ يساوي صفرًا؛ ليس لها حلول في الأعداد الحقيقية، أي إنها ليست قابلة للتحليل. وهو ما يعني أيضًا أن الحل الوحيد للتعبير من الدرجة الثالثة: ﻥ تكعيب ناقص ثلاثة ﻥ تربيع زائد اثنين ﻥ ناقص ٧٢٠ يساوي صفرًا، أو على الأقل أن الحل الحقيقي الوحيد، نحصل عليه عند ﻥ ناقص ١٠ يساوي صفرًا. بإضافة ١٠ إلى كلا الطرفين، نجد أن ﻥ يساوي ١٠.
وعليه، إذا كان ﻥ توافيق ثلاثة يساوي ١٢٠، فلا بد أن ﻥ يساوي ١٠. وبالطبع، يمكننا التحقق من ذلك بالرجوع إلى تعريف ﻥ توافيق ﺭ والتأكد من أن ١٠ توافيق ثلاثة يعطينا ١٢٠.
