نسخة الفيديو النصية
أي النقاط الآتية تقع على خط تقاطع المستويين سالب تسعة ﺱ زائد ١٦ﺹ ناقص ستة ﻉ ناقص ١١ يساوي صفرًا، وسالب ١٣ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد أربعة ﻉ زائد واحد يساوي صفرًا؟ (أ) واحد، اثنان، سالب اثنين؛ (ب) واحد، اثنان، اثنان؛ (ج) واحد، سالب اثنين، اثنان؛ (د) واحد، ثلاثة، اثنان؛ (هـ) اثنان، ثلاثة، خمسة.
لدينا معادلتان لمستويين في الصورة العامة، أي على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا؛ حيث ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ ثوابت. ونعلم من المعطيات أن هذين المستويين يتقاطعان في خط مستقيم. وبما أنه يوجد عدد لا نهائي من النقاط على الخط المستقيم، فلا بد أن يكون هناك عدد لا نهائي من نقاط تقاطع المستويين. تعطينا المسألة خمس نقاط محتملة للتقاطع، ممثلة في الخيارات (أ) و(ب) و(ج) و(د) و(هـ). يمكننا حل هذه المسألة بطريقتين مختلفتين. فيمكننا استخدام معادلتي المستويين لإيجاد معادلة خط التقاطع. بعد ذلك نعوض بكل نقطة في معادلة الخط المستقيم لنعرف أي نقطة تحقق معادلة الخط المستقيم، ومن ثم تحقق معادلتي المستويين.
ولكن، ثمة طريقة أبسط للحل. فبدلًا من الطريقة السابقة، يمكننا أن نعوض بكل نقطة من النقاط المعطاة في معادلتي المستويين، وتحديد النقطة أو النقاط التي تحققهما. بالنسبة للمستويين الواردين في المسألة، اللذين نسميهما ﻡ واحدًا وﻡ اثنين، فإن معادلتيهما هما سالب تسعة ﺱ زائد ١٦ﺹ ناقص ستة ﻉ ناقص ١١ يساوي صفرًا، وسالب ١٣ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد أربعة ﻉ زائد واحد يساوي صفرًا، على الترتيب. دعونا نبدأ إذن بالنقطة في الخيار (أ). في النقطة الواردة في الخيار (أ)، لدينا ﺱ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي اثنين، وﻉ يساوي سالب اثنين. وبالتعويض بهذه القيم في معادلة المستوى ﻡ واحد، نحصل على سالب تسعة في واحد زائد ١٦ في اثنين ناقص ستة في سالب اثنين ناقص ١١. وإذا كانت النقطة في الخيار (أ) تقع على المستوى واحد، فلا بد أن يساوي هذا المقدار صفرًا.
ولكن الطرف الأيمن من المعادلة يساوي ٢٤، أي لا يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن النقطة في الخيار (أ) لا تقع على المستوى واحد. وبما أنها لا تقع على المستوى واحد، فلا يمكن أن تقع على خط تقاطع المستويين. إذن، يمكننا استبعاد النقطة في الخيار (أ). دعونا الآن نجرب النقطة في الخيار (ب). وإحداثياتها هي واحد، اثنان، اثنان؛ حيث ﺱ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي اثنين، وﻉ يساوي اثنين أيضًا. بالتعويض بهذه القيم في معادلة المستوى واحد، نحصل على سالب تسعة في واحد زائد ١٦ في اثنين ناقص ستة في اثنين ناقص ١١. وهذا يساوي سالب تسعة زائد ٣٢ ناقص ١٢ ناقص ١١. وهو ما يساوي صفرًا. إذن، النقطة في الخيار (ب) تقع على المستوى واحد.
دعونا الآن نعرف إذا ما كانت النقطة في الخيار (ب) تقع على المستوى اثنين، وإذا كانت تقع عليه بالفعل؛ فهذا يعني أنها لا بد أن تقع على خط التقاطع. بالتعويض بقيم إحداثيات هذه النقطة في معادلة المستوى اثنين، نحصل على سالب ١٣ في واحد زائد اثنين في اثنين زائد أربعة في اثنين زائد واحد. وهذا يساوي سالب ١٣ زائد أربعة زائد ثمانية زائد واحد. يعني هذا أن الطرف الأيمن من المعادلة يساوي صفرًا، وعليه، فإن النقطة في الخيار (ب) تقع على المستوى اثنين. وبما أن النقطة في الخيار (ب) تقع على كلا المستويين، فلا بد أنها تقع على خط تقاطع المستويين.
دعونا نتحقق الآن من النقطة في الخيار (ج). إحداثيات النقطة في الخيار (ج) هي واحد، سالب اثنين، اثنان. بالتعويض بهذه القيم في معادلة المستوى واحد، نحصل على سالب تسعة ناقص ٣٢ ناقص ١٢ ناقص ١١. وهذا يساوي سالب ٦٤، أي أنه لا يساوي صفرًا. وعليه، يمكننا استبعاد النقطة في الخيار (ج). فإذا لم تكن النقطة تقع على المستوى واحد، فلا يمكن أن تقع على خط تقاطع المستويين.
إحداثيات النقطة في الخيار (د) هي واحد، ثلاثة، اثنان. بالتعويض بهذه القيم في معادلة المستوى واحد، نحصل على سالب تسعة زائد ٤٨ ناقص ١٢ ناقص ١١. وهذا يساوي ١٦، وهو بالطبع لا يساوي صفرًا. وعليه، يمكننا استبعاد النقطة في الخيار (د). وأخيرًا، إحداثيات النقطة في الخيار (هـ) هي اثنان، ثلاثة، خمسة. بالتعويض بهذه القيم في معادلة المستوى واحد، نحصل على سالب ١٨ زائد ٤٨ ناقص ٣٠ ناقص ١١. وهو ما يساوي سالب ١١، وهو بالطبع لا يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا استبعاد النقطة في الخيار (هـ).
نلاحظ إذن أن النقطة في الخيار (ب)، وإحداثياتها واحد، اثنان، اثنان، هي النقطة الوحيدة التي تحقق معادلتي المستويين، ومن ثم، فهي تقع على خط تقاطع المستويين. إذن، إجابة هذه المسألة هي النقطة في الخيار (ب).
