فيديو الدرس: معادلة الخط المستقيم: صيغة الميل والمقطع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

سنتناول في هذا الفيديو كيفية إيجاد معادلة خط مستقيم بصيغ مختلفة، بمعلومية كل من ميل الخط المستقيم والجزء المقطوع من المحور ﺹ. أولًا، نتذكر معًا الصيغ المختلفة التي قد يطلب منك إيجاد معادلة خط مستقيم باستخدامها. الأولى هي صيغة الميل والجزء المقطوع: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. ويمثل كل من الحرفين ﻡ وﺟ خاصيتين محددتين للخط المستقيم. ‏‏ﻡ يمثل ميل الخط المستقيم، أي إنه لكل وحدة واحدة تتحركها إلى اليمين، يتحرك الخط المستقيم بنفس عدد هذه الوحدات لأعلى أو لأسفل، حسب ما إذا كانت قيمة ﻡ موجبة أم سالبة.

أما ﺟ فيمثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ، أي القيمة التي يقطع الخط المستقيم المحور ﺹ عندها. الصيغة الشائعة الثانية لمعادلة الخط المستقيم هي صيغة الميل ونقطة: ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡﺱ ناقص ﺱ واحد. حيث ﻡ يمثل ميل الخط المستقيم، كما رأينا من قبل. وﺱ واحد، ﺹ واحد يمثلان إحداثيي أي نقطة محددة على هذا الخط المستقيم. سنتناول في هذا الفيديو طريقة إيجاد معادلة خط مستقيم بمعلومية ميله والجزء المقطوع من المحور ﺹ. وبالتالي سنستخدم صيغة الميل والجزء المقطوع لإيجادها.

أوجد، بصيغة الميل والجزء المقطوع ، معادلة الخط المستقيم الذي ميله ثمانية وطول الجزء الذي يقطعه من المحور ﺹ يساوي سالب أربعة.

قيل لنا: إن الصيغة التي علينا كتابة الإجابة بها هي صيغة الميل والجزء المقطوع: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. إذن ما علينا فعله هو إيجاد قيمتي ﻡ وﺟ في هذا السؤال. في الواقع، قيمتا ﻡ وﺟ موجودتان بصورة مباشرة ضمن المعلومات المعطاة في السؤال نفسه. يقول السؤال: إن ميل هذا الخط ثمانية؛ أي إن قيمة ﻡ هي ثمانية. ويقول أيضًا: إن طول الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ﺹ يساوي سالب أربعة؛ أي إن قيمة ﺟ هي سالب أربعة. إذن كل ما علينا فعله للإجابة عن السؤال هو التعويض بثمانية وسالب أربعة في صيغة الميل والجزء المقطوع للخط المستقيم. إذن، معادلة الخط المستقيم هي ﺹ يساوي ثمانية ﺱ ناقص أربعة.

أوجد إحداثيات النقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم ﺹ يساوي أربعة ﺱ زائد ١٢ المحور ﺹ.

إذن فقد أعطينا في هذا السؤال معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والجزء المقطوع. والمطلوب هو إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور ﺹ. يختبر هذا السؤال إذن مدى فهمنا لصيغة الميل والجزء المقطوع، وما تمثله الأجزاء المختلفة من المعادلة. تذكر أن صيغة الميل والجزء المقطوع هي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، حيث يمثل ﺟ الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ﺹ، وهو ما نبحث عنه هنا. الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ. ونرى من خلال مقارنة الصيغة العامة ومعادلة الخط المستقيم التي لدينا أن قيمة ﺟ هنا هي ١٢.

لكن السؤال لا يطلب منا قيمة ﺟ فحسب، بل يطلب أيضًا إحداثيات هذه النقطة. تذكر إذن أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو نقطة على المحور ﺹ. وجدنا الإحداثي ﺹ، وهو هذه القيمة ١٢. لإيجاد الإحداثي ﺱ، علينا فقط أن نتذكر أنه عند كل نقطة على المحور ﺹ، يكون الإحداثي ﺱ صفرًا. قد تتمكن من رؤية ذلك بشكل أوضح إذا رسمت ما قد يبدو عليه التمثيل البياني، كما فعلت أنا هنا. إذن، إحداثيات هذه النقطة ستكون صفرًا، ١٢. وهذه هي الإجابة النهائية لهذا السؤال.

اكتب المعادلة الممثلة بالتمثيل البياني الموضح. ضع الإجابة في صورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ.

لدينا الرسم البياني لخط مستقيم. والمطلوب إيجاد معادلته بصيغة الميل والجزء المقطوع، ما يعنى أنه علينا إيجاد قيمة كل من الميل والجزء المقطوع. بالنظر إلى الرسم، نرى أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو سالب أربعة، أي إن قيمة ﺏ، وهو الحرف المستخدم هنا لتمثيل الجزء المقطوع من المحور ﺹ، لا بد أن تكون سالب أربعة. يمكنني إذن البدء في كتابة معادلة الخط المستقيم، وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ ناقص أربعة. علينا بعد ذلك إيجاد قيمة ﻡ، أي ميل هذا الخط المستقيم. ولفعل ذلك، أحتاج إلى معرفة إحداثيات نقطتين واقعتين على الخط المستقيم.

حددنا نقطة بالفعل، وهي النقطة ذات الإحداثيين صفر، سالب أربعة. بالنظر إلى التمثيل البياني، أرى أيضًا أن هناك نقطة هنا من السهل استخدامها. تقع النقطة على المحور ﺱ، وإحداثياها ستة، صفر. سأستخدم إذن هاتين النقطتين لحساب ميل الخط المستقيم. إذن يمكن حساب ميل الخط المستقيم بقسمة التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، أو يمكنك اعتبار ذلك ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. إن اخترت تسمية النقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين. كل ما سأفعله هو النظر إلى الرسم لحساب التغير في ﺹ والتغير في ﺱ.

نبدأ بالتغير في ﺹ، وهو الطول الرأسي في هذا المثلث. أجد أنه يمتد من الإحداثي ﺹ سالب أربعة إلى الإحداثي ﺹ صفر. ومن ثم فإن التغير في ﺹ يساوي موجب أربعة. لننتقل الآن إلى التغير في ﺱ، وهو التغير الأفقي. وأجد بالنظر إلى الرسم أن الخط يمتد من القيمة صفر إلى القيمة ستة، ما يعني أن التغير في ﺱ يساوي موجب ستة. ميل هذا الخط المستقيم إذن أربعة على ستة. لكن يمكن كتابة ذلك في صورة كسر مبسط: ثلثين. وأخيرًا، علي التعويض في المعادلة بقيمة ﻡ، وهو ميل الخط المستقيم. ومن ثم فإن معادلة الخط المستقيم الممثل في هذا الرسم البياني هي ﺹ يساوي ثلثي ﺱ ناقص أربعة.

أوجد معادلة الخط المستقيم؛ بحيث طول الجزء المقطوع من المحور ﺱ ثلاثة وطول الجزء المقطوع من المحور ﺹ سبعة، ثم احسب مساحة المثلث المحدد بهذا الخط المستقيم ومحوري الإحداثيات.

يتكون هذا السؤال من جزأين. طلب منا أولًا إيجاد معادلة الخط المستقيم، ثم حساب مساحة هذا المثلث. أعتقد أن رسم شكل بياني هنا سيساعدنا على تصور المسألة. لدينا إذن محورا إحداثيات. ونعلم أن الجزء الذي يقطعه هذا الخط المستقيم من المحور ﺱ هو ثلاثة، أي إنه يقطع المحور ﺱ عند ثلاثة. ونعلم أيضًا أن الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ﺹ هو سبعة، أي إنه يقطع المحور ﺹ عند سبعة. بتوصيل هاتين النقطتين، أحصل على الخط المستقيم الذي علي إيجاد معادلته، ويمكنني رؤية المثلث الذي علي إيجاد مساحته. إنه هذا المثلث.

فلنبدأ بالجزء الأول من السؤال، حيث طلب منا إيجاد معادلة هذا الخط المستقيم. وسأفعل ذلك باستخدام صيغة الميل والجزء المقطوع: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. يمكنني إيجاد إحدى هاتين القيمتين مباشرة. تذكر أن ﺟ هو طول الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ﺹ. ويخبرنا السؤال أنه يساوي سبعة. إذن معادلة الخط هي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد سبعة. علي الآن إيجاد ميل هذا الخط المستقيم. ولفعل ذلك، علي إيجاد إحداثيات نقطتين على الخط المستقيم. يمكنني استخدام إحداثيات هاتين النقطتين: الجزء المقطوع من المحور ﺱ والجزء المقطوع من المحور ﺹ.

تذكر أن ميل الخط المستقيم يساوي التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ. بالنظر إلى الشكل وباستخدام النقطتين، سأوجد أولًا التغير في ﺹ. يمكنني ملاحظة أنه مع التحرك من اليسار إلى اليمين عبر الشكل، يتغير الإحداثي ﺹ من سبعة إلى صفر، وهو تغير مقداره سالب سبعة. من المهم للغاية أن تعتبر التغير في ﺹ سالب سبعة، وليس سبعة. يميل هذا الخط المستقيم لأسفل من اليسار إلى اليمين، إذن، الانحدار بالسالب. فلننظر الآن إلى التغير في ﺱ. يمكنني ملاحظة أنه مع التحرك من اليسار إلى اليمين عبر الشكل، يتغير الإحداثي ﺱ من صفر إلى ثلاثة، ومن ثم فإن التغير في ﺱ مقداره موجب ثلاثة.

يمكنني الآن التعويض بمقدار التغير في ﺹ ومقدار التغير في ﺱ لحساب ميل هذا الخط المستقيم. إذن ميل هذا الخط المستقيم يساوي سالب سبعة على ثلاثة. وأخيرًا، لإكمال الجزء الأول من السؤال وإيجاد معادلة الخط المستقيم، علي التعويض بقيمة ﻡ هذه في المعادلة. ومن ثم تصبح معادلة هذا الخط المستقيم ﺹ يساوي سالب سبعة على ثلاثة ﺱ زائد سبعة. قد يطلب منك أحيانًا إعطاء الإجابة بصورة مختلفة قليلًا، بصورة لا تتضمن كسورًا مثلًا. سيكون عليك حينئذ ضرب المعادلة في ثلاثة، لكن لأن ذلك لم يطلب هنا، سأترك الإجابة كما هي. وبهذا نكون قد انتهينا من حل الجزء الأول من السؤال.

وفي الجزء الثاني، طلب منا حساب مساحة المثلث المحدد بهذا الخط المستقيم ومحوري الإحداثيات. بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن هذا المثلث قائم الزاوية؛ لأن المحورين ﺱ وﺹ يتقاطعان ليشكلا زاوية قائمة. ولإيجاد مساحة مثلث قائم الزاوية، علينا ضرب طول القاعدة في الارتفاع العمودي ثم القسمة على اثنين. وبالنظر إلى الشكل، أجد أن طول قاعدة المثلث ثلاث وحدات. وارتفاع المثلث سبع وحدات. أشرنا إلى ذلك بسالب سبعة عند حساب ميل الخط المستقيم، حيث كان الاتجاه عاملًا مهمًا. أما عند النظر فقط إلى طول هذا الخط لحساب المساحة، فسنستخدم قيمته الموجبة سبعة. إذن، المساحة تساوي ثلاثة في سبعة على اثنين. أي إن مساحة هذا المثلث تساوي ١٠٫٥ وحدات مربعة.

خلاصة القول: إنه عند معرفة الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ لخط مستقيم، من المعتاد إيجاد معادلته بصيغة الميل والجزء المقطوع: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ؛ لأنه يمكن التعويض بالقيم في هذه الصيغة مباشرة. قد نحتاج لحساب ميل الخط المستقيم بأنفسنا بمعلومية نقطتين عليه، بقسمة التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. من الممكن أيضًا كتابة معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل ونقطة، لكن ذلك سيكون معقدًا دون داع إذا كانت المعلومات المتوفرة لدينا هي الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ؛ إذ إن ذلك يناسب صيغة الميل والجزء المقطوع.