فيديو السؤال: أطوال أضلاع المثلثات المكونة من زوايا قياسها ٣٠ و٦٠ و٩٠ درجة

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة كل من ﺃ وﺏ.

بالنظر إلى الشكل، يمكننا أن نرى أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، حيث قياس الزاويتين الأخريين فيه ٣٠ درجة و٦٠ درجة. لدينا في المعطيات طول الوتر، أي أطول أضلاع المثلث، ويساوي ١٢ وحدة. والمطلوب إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ، وهما طولا الضلعين الآخرين.

عند الإجابة عن أسئلة حول المثلثات قائمة الزاوية، يتبادر إلى الذهن طريقتان: نظرية فيثاغورس، وحساب المثلثات للمثلث قائم الزاوية. تذكروا أن نظرية فيثاغورس تطلعنا على العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث الثلاثة. وبالتالي، نطبقها عندما يكون لدينا في المعطيات طولا ضلعين. وبما أن لدينا في الواقع طول ضلع واحد في هذا المثلث، فلا يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس.

لكن حساب المثلثات يخبرنا عن العلاقة بين أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا في المثلث قائم الزاوية. وبما أن لدينا طول ضلع وقياسات الزوايا، فيمكننا تطبيق حساب المثلثات للمثلث قائم الزاوية في هذه المسألة.

أولًا، دعونا نتذكر النسب المثلثية الثلاث — الجيب، وجيب التمام، والظل — لنتمكن من تحديد النسبة التي سنستخدمها، بناء على زوج الأضلاع المعطى. هيا نرى كيف نحسب طول الضلع ﺃ أولًا.

لدينا في المعطيات قياس زاويتي المثلث غير القائمتين. لكن علينا اختيار إحدى الزوايا للعمل عليها. سأختار الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. سأبدأ بتسمية أضلاع المثلث الثلاثة حسب علاقتها بهذه الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. الوتر دائمًا هو الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة. وطول هذا الضلع يساوي ١٢. المقابل هو الضلع الذي يقابل الزاوية المعطاة. في حالة الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة، يكون المقابل هو الضلع ﺃ. والمجاور هو الضلع الثالث، الذي ينحصر دائمًا بين الزاوية المعلومة والزاوية القائمة.

نرى الآن أن الضلع ﺃ هو المقابل، والضلع الذي نعرف طوله هو الوتر. وهذا يخبرنا أن علينا استخدام نسبة مثلثية تتضمن المقابل والوتر لحساب طول الضلع ﺃ. وهي نسبة الجيب.

هيا نتذكر تعريفها. جيب الزاوية 𝜃 يساوي المقابل مقسومًا على الوتر. تظل هذه النسبة كما هي دائمًا لأي زاوية قياسها 𝜃 بغض النظر عن أطوال أضلاع المثلث. بالتعويض بالقيم المعطاة في هذا السؤال — 𝜃 قياسها ٣٠ درجة، والمقابل هو ﺃ، والوتر يساوي ١٢ — نحصل على المعادلة جا٣٠ درجة يساوي ﺃ على ١٢.

والآن إليكم حقيقة مهمة للغاية. الزاوية ٣٠ درجة هي زاوية خاصة، يمكن التعبير بكل بساطة عن النسب المثلثية الخاصة بها؛ الجيب، وجيب التمام، والظل، في صورة كسور أو جذور صماء. في الواقع، جا٣٠ درجة يساوي نصفًا. نسبة المقابل مقسومًا على الوتر تكون دائمًا واحدًا على اثنين إذا كان قياس الزاوية ٣٠ درجة. وبذلك يكون لدينا معادلة سهلة نسبيًّا، هي ﺃ على ١٢ يساوي نصفًا، ويمكننا حلها لإيجاد قيمة ﺃ.

لحل هذه المعادلة، نضرب طرفيها في ١٢، فنحصل على ﺃ يساوي ١٢ في نصف، يساوي ستة. إذن فبتذكر أن النسبة بين المقابل والوتر تساوي دائمًا نصفًا إذا كان قياس الزاوية ٣٠ درجة، أوجدنا قيمة ﺃ.

والآن هيا نفكر في كيفية إيجاد قيمة ﺏ. يوجد عدد من الطرق المختلفة التي يمكن أن نستخدمها. نعرف الآن طولي ضلعين في المثلث قائم الزاوية. لذا يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب قيمة ﺏ إذا أردنا. لكن، هيا نكمل كما بدأنا باستخدام حساب المثلثات.

إذا نظرنا إلى النسبة بين الضلع ﺏ والضلع الذي طوله ١٢، سنجد أن هذه هي النسبة التي تتضمن المجاور والوتر. أي إنها نسبة جيب التمام. وتعريفها هو أن جيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي المجاور مقسومًا على الوتر. بالتعويض بـ ٣٠ درجة عن الزاوية، وﺏ عن المجاور، و١٢ عن الوتر، نحصل على المعادلة جتا٣٠ درجة يساوي ﺏ على ١٢.

مرة أخرى، لدينا حقيقة مهمة تخص نسبة جيب التمام للزاوية التي قياسها ٣٠. النسبة بين المجاور والوتر دائمًا ما تساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين عندما يكون قياس الزاوية ٣٠ درجة. بالتعويض بذلك في المعادلة نحصل على ﺏ على ١٢ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ.

بضرب كلا الطرفين في ١٢، نحصل على ﺏ يساوي ١٢ الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. يمكن تبسيط ذلك قليلًا عن طريق إلغاء العامل المشترك اثنين من البسط والمقام. قيمة ﺏ تساوي ستة جذر ثلاثة.

الآن أجبنا عن هذا السؤال باستخدام الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة. لكن توجد طريقة صحيحة أيضًا، وهي استخدام الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة. هيا نرى الاختلاف الذي كان يمكن أن يحدث. بالنسبة للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة، سيتبدل المقابل والمجاور. إذن ﺏ سيكون المقابل، وﺃ سيكون المجاور.

عند حساب طول الضلع ﺃ، فإن الضلعين المتضمنين في النسبة هما المجاور والوتر. أي إنه ينبغي أن نستخدم نسبة جيب التمام. فبدلًا من المعادلة جا٣٠ درجة يساوي ﺃ على ١٢، سنحصل على المعادلة جتا٦٠ درجة يساوي ﺃ على ١٢. لكن ذلك لن يحدث أي اختلاف في إجابتنا؛ لأن جا٣٠ درجة وجتا٦٠ درجة كلاهما يساوي نصفًا.

بالطريقة نفسها، عند حساب طول الضلع ﺏ، سيكون الضلعان المتضمنان في النسبة هما المقابل والوتر؛ مما يعني أننا سنستخدم نسبة الجيب. إذن بدلًا من جتا٣٠ درجة يساوي ﺏ على ١٢، سيكون لدينا جا٦٠ درجة يساوي ﺏ على ١٢. ومع ذلك فإن جتا٣٠ وجا٦٠ درجة كلاهما يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن عمليتنا الحسابية لإيجاد قيمة ﺏ ستكون هي نفسها.

يمكنكم الإجابة عن هذا السؤال باستخدام الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة، أو باستخدام الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة أو الاثنين معًا. وستحصلون على الإجابة نفسها. ‏ﺃ يساوي ستة. وﺏ يساوي ستة جذر ثلاثة.