نسخة الفيديو النصية
افترض أن المصفوفة ﺃ مصفوفة رتبتها واحد في ثلاثة وتساوي واحدًا، سالب اثنين، سالب ثلاثة، وأن المصفوفة ﺏ رتبتها ثلاثة في واحد وتساوي ثمانية، واحدًا، سالب ثلاثة. أوجد حاصل الضرب ﺃﺏ، وحاصل الضرب ﺏﺃ.
قبل أن نبدأ في الإجابة عن هذا السؤال، دعونا نذكر أنفسنا قليلًا بضرب المصفوفات. إذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ مضروبة في المصفوفة ﺏ، حسنًا، فإن أول ما يمكننا التفكير فيه هو أنه إذا كانت لدينا، على سبيل المثال، مصفوفة رتبتها ﻡ في ﻥ مضروبة في أخرى رتبتها ﻥ في ﻝ؛ يجب أن يتحقق أمر واحد لكي نتمكن من إجراء عملية الضرب. وهو أن البعد الثاني للمصفوفة الأولى يجب أن يساوي البعد الأول للمصفوفة الثانية. في هذه الحالة، يمكننا ملاحظة أن البعد ﻥ مشترك بين المصفوفتين. وبعد ذلك ما نعرفه أيضًا هو أن البعد الأول للمصفوفة الأولى والبعد الثاني للمصفوفة الثانية سيجتمعان لنحصل على بعدي المصفوفة الناتجة. ومن ثم، ستكون النتيجة في هذا المثال مصفوفة رتبتها ﻡ في ﻝ.
والآن سنبدأ في حل المسألة. سننظر أولًا إلى المصفوفتين. وهما مصفوفة رتبتها واحد في ثلاثة، وأخرى رتبتها ثلاثة في واحد. حسنًا، للتحقق من أنه يمكننا ضربهما بالفعل، نتحقق من البعد الثاني للمصفوفة الأولى والبعد الأول للمصفوفة الثانية، فنجدهما متساويين. وهذا جيد. حسنًا، إذا نظرنا إلى حاصل ضرب ﺃﺏ، فسيكون لدينا هذان البعدان المتبقيان، وهما واحد في واحد. وذلك لأن حاصل الضرب هو ﺃﺏ. وعليه، فلدينا المصفوفة ﺃ أولًا ثم المصفوفة ﺏ. ومن ثم تكون المصفوفة الناتجة رتبتها واحد في واحد.
إذن لإيجاد قيمة المصفوفة التي رتبتها واحد في واحد، ما علينا فعله هو إلقاء نظرة على كل عنصر من العناصر. وبعد ذلك، نضرب العناصر المتناظرة، أي العنصر الأول من المصفوفة الأولى في العنصر الأول من المصفوفة الثانية. ومن ثم، نحصل على واحد مضروبًا في ثمانية. ثم نفعل الشيء نفسه مع العنصرين الثانيين. فنحصل على سالب اثنين مضروبًا في واحد، ونضيف ذلك إلى العدد الأول. وأخيرًا، نضيف حاصل ضرب العنصرين الثالثين المتناظرين. لنحصل على سالب ثلاثة مضروبًا في سالب ثلاثة، وهو ما يعطينا ثمانية ناقص اثنين زائد تسعة، وهو ما يعطينا الناتج النهائي لـ ﺃﺏ، وهو المصفوفة ١٥ التي رتبتها واحد في واحد. حسنًا، هذا رائع! لننتقل الآن لإيجاد حاصل ضرب ﺏﺃ.
حسنًا، في ﺏﺃ، لدينا في الواقع المصفوفتان بطريقة عكسية. إذ لدينا مصفوفة رتبتها ثلاثة في واحد مضروبة في مصفوفة رتبتها واحد في ثلاثة. حسنًا، مرة أخرى يمكننا ملاحظة أن البعد الثاني للمصفوفة الأولى هو نفسه البعد الأول للمصفوفة الثانية. وهذا يعني أنه يمكننا ضرب المصفوفتين. ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا إلقاء نظرة على البعد الأول للمصفوفة الأولى والبعد الثاني للمصفوفة الثانية. وهذا يوضح لنا بعدي المصفوفة الناتجة، وعليه ستكون المصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. رائع.
والآن، دعونا نضرب المصفوفتين ونكون هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. حسنًا، كما فعلنا في الجزء الأول من السؤال، فإننا سنضرب العناصر المتناظرة. لكن من الواضح هنا أن علينا تكوين مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. ومن ثم فإن الطريقة التي ستجرى بها عملية الضرب هي ضرب العنصر الأول من العمود الأول، أو العمود الوحيد، في المصفوفة الأولى في العنصر الأول في المصفوفة الثانية أولًا. لنحصل على ثمانية مضروبًا في واحد. وها قد اكتمل العنصر الأول من المصفوفة الناتجة. والآن سننتقل إلى العنصر التالي.
نوجد بعد ذلك العنصر التالي عن طريق ضرب ثمانية في سالب اثنين؛ لأن ما فعلناه هو الانتقال إلى العنصر الثاني في المصفوفة الثانية، ثم في النهاية نضرب ثمانية في العنصر الأخير في المصفوفة الثانية. وعليه، نحصل على ثمانية مضروبًا في سالب ثلاثة. وبذلك، يكتمل الصف الأول من المصفوفة الناتجة. ولتكوين الصف الثاني، ننتقل إلى الصف التالي في المصفوفة الأولى. ونجد العنصر واحدًا، لذا سنحصل على واحد مضروبًا في واحد. ثم واحد مضروبًا في سالب اثنين، وهكذا. ثم نستمر على هذا النمط لإكمال المصفوفة الناتجة. حسنًا، هذا رائع! كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد كل عنصر على حدة. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على المصفوفة: ثمانية، سالب ١٦، سالب ٢٤، واحد، سالب اثنين، سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، ستة، تسعة.
