فيديو السؤال: تحديد مماسات المنحنى في التمثيل البياني للإزاحة مقابل الزمن الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

قذفت كرة لأعلى في الهواء، وسقطت مرة أخرى إلى سطح الأرض. يوضح الخط الأزرق في التمثيل البياني الارتفاع، ‪ℎ‬‏، للكرة فوق سطح الأرض خلال الزمن، ‪𝑡‬‏. أي الخطوط المتقطعة الخمسة الموضحة بالتمثيل البياني يمثل مماسًّا للخط الأزرق عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان؟

التمثيل البياني موضح هنا أسفل اليسار مع وجود الزمن بالثواني على المحور الأفقي، والارتفاع بالأمتار على المحور الرأسي. يوضح الخط الأزرق مسار الكرة. ولذا، فإن الارتفاع يزداد مع رمي الكرة لأعلى في الهواء ثم يتناقص مع سقوط الكرة مرة أخرى إلى سطح الأرض. نبحث عن مماس لهذا الخط الأزرق، لذا دعونا نتذكر تعريف المماس.

المماس هو خط مستقيم يمس منحنى، وله نفس ميل هذا المنحنى عند نقطة تلامسهما. نبحث هنا عن مماس عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان. ولذا، دعونا أولًا نوجد ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان في التمثيل البياني على المحور الأفقي. نجده هنا. عند التحرك لأعلى من المحور الأفقي، نجد النقطة هنا على الخط الأزرق عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان، وهي النقطة التي نبحث عندها عن مماس. ويمكننا أن نلاحظ على الفور أن الخطوط المتقطعة الخمسة جميعها خط مستقيم، وجميعها يلامس المنحنى عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان. ومن ثم، فالسؤال الأساسي هنا هو: أي من هذه الخطوط المتقطعة الخمسة له نفس ميل الخط الأزرق عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان؟

نلاحظ أنه عند ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان، يتجه الخط الأزرق لأسفل، وهو ما يعني أن الارتفاع يتناقص مع الزمن عندما تسقط الكرة مرة أخرى إلى سطح الأرض، وهو ما يعني بدوره أنه يمكننا على الفور استبعاد الخط الأسود المتجه لأعلى والذي يمثل تزايد الارتفاع مع الزمن. والآن إذا نظرنا إلى الخطين الأخضر والبرتقالي، فسنجد أن كليهما مسطح للغاية. وقبل أن يساوي ‪𝑡‬‏ ثلاث ثوان مباشرة، نجدهما يقعان أسفل الخط الأزرق. وبعد ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان مباشرة، يقعان أعلى الخط. ومن ثم، لا يمكن أن يكون لهما الميل نفسه.

أما الخط البنفسجي، فينطبق عليه العكس. فقبل أن يساوي ‪𝑡‬‏ ثلاث ثوان مباشرة، يقع هذا الخط أعلى الخط الأزرق. وبعد أن يساوي ‪𝑡‬‏ ثلاث ثوان مباشرة، يقع أسفل الخط الأزرق. ومن ثم، فإن ميله شديد الانحدار. والآن لنلق نظرة على الخط الأحمر. يبدأ الخط الأحمر أعلى الخط الأزرق، ويبقى قريبًا جدًّا منه حول ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان، ثم يستمر أعلى الخط الأزرق. ومن ثم، فإن الخط الذي له نفس ميل المنحنى عند النقطة ‪𝑡‬‏ يساوي ثلاث ثوان هو الخط الأحمر. ومن ثم فإن هذا هو المماس.