نسخة الفيديو النصية
أوجد مشتقة الدالة ﺩﺱ يساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦ باستخدام تعريف المشتقة.
دعونا نتذكر أولًا أن تعريف المشتقة هو ﺩ شرطة ﺱ يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ على ﻫ. تذكر أيضًا أنه للحصول على ﺩﺱ زائد ﻫ، فإننا نعوض عن ﺱ بـ ﺱ زائد ﻫ في ﺩﺱ. وهذا يعطينا: ﺩﺱ زائد ﻫ يساوي الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في ﺱ زائد ﻫ ناقص ١٦. يمكننا بعد ذلك توزيع الاثنين لفك هذين القوسين فنحصل على: ﺩﺱ زائد ﻫ يساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد اثنين ﻫ ناقص ١٦.
دعونا الآن نعوض بهذا المقدار في تعريف المشتقة. ثمة طريقة نستخدمها عندما نحاول إيجاد مشتقة دالة جذرية باستخدام التعريف. وهي الطريقة التي نستخدمها عادة عند التعامل مع الجذور؛ ألا وهي ضرب البسط والمقام في مرافق البسط. لعلنا نتذكر أنه عند الضرب في المرافق، فإننا نغير الإشارة بين حدي البسط. كما علينا ضرب المقام في المقدار الجديد نفسه. بمعنى أننا ببساطة نضرب المقدار الذي لدينا في واحد، ومن ثم لا نغير أي شيء فعليًّا.
هيا نبدأ بضرب البسطين معًا. يمكننا التفكير في هذا بنفس الطريقة التي نضرب بها زوجين من الأقواس يتضمنان حدودًا جبرية. سنبدأ بضرب الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد اثنين ﻫ ناقص ١٦ في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد اثنين ﻫ ناقص ١٦. ولكي نفعل هذا، نتذكر القاعدة التي تنص على أن الجذر التربيعي لـ ﺃ مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺃ يساوي ﺃ. إذن، ضرب هذين الحدين معًا سيساوي المقدار تحت الجذر التربيعي؛ أي اثنين ﺱ زائد اثنين ﻫ ناقص ١٦. ينطبق الأمر نفسه على ضرب سالب الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦ في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦. لكن، هذه المرة لدينا إشارة سالبة أمام أحد الحدين. لذا، علينا أن نراعي ذلك. وباستخدام نفس القاعدة التي استخدمناها من قبل، نحصل على: سالب اثنين ﺱ ناقص ١٦.
والآن، يمكننا ضرب سالب الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦ في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد اثنين ﻫ ناقص ١٦. يمكننا ببساطة كتابة هذين المقدارين جنبًا إلى جنب لنوضح أننا ضربناهما. وفي الواقع، لا يمكن تبسيط هذا أكثر من ذلك. وأخيرًا، نضرب الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد اثنين ﻫ ناقص ١٦ في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦. وعندما نفعل ذلك، نجد أن هذين الحدين يلغي أحدهما الآخر. إذن، البسط لدينا هو: اثنان ﺱ زائد اثنين ﻫ ناقص ١٦ ناقص اثنين ﺱ ناقص ١٦.
والآن، دعونا نضرب المقامين معًا. يمكننا كتابة ذلك على الصورة: ﻫ مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ زائد اثنين ﻫ ناقص ١٦ زائد الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦. دعونا نختصر البسط بفك هذين القوسين، وذلك بضرب الحدين في سالب واحد. لاحظ أن ناقص ١٦ يصبح زائد ١٦. هيا نختصر البسط. يحذف اثنان ﺱ مع سالب اثنين ﺱ، كما يحذف سالب ١٦ مع زائد ١٦. إذن، يتبقى لدينا اثنان ﻫ فقط.
نلاحظ هنا أنه يمكننا حذف عامل مشترك من البسط والمقام. فلدينا ﻫ في كل من البسط والمقام. بما أن ﻫ يقترب من صفر ولا يساوي صفرًا، فإنه يمكن حذفه من البسط. وبما أن ﻫ في المقام مضروب في كل ما يليه، فإنه يمكن حذفه أيضًا. في هذه المرحلة، دعونا نطبق النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر. لدينا ﻫ في المقام فقط. إذن، سنفكر فيما يحدث عندما تقترب قيمة ﻫ من صفر.
يمكننا فعل هذا بالتعويض المباشر بـ ﻫ يساوي صفرًا؛ لأن هذه دالة متصلة. وهذا يعطينا: اثنان على الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦ زائد الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦. ولأن لدينا في المقام الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦ زائد الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦، فإنه يمكننا كتابة ذلك على الصورة: اثنان مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦. نلاحظ هنا أن اثنين في البسط تحذف مع اثنين في المقام. وبهذا يتبقى لنا واحد على الجذر التربيعي لاثنين ﺱ ناقص ١٦. وهذه هي الإجابة النهائية.
من الأمور المهمة التي نلاحظها في هذا الفيديو أنه عند إيجاد مشتقة دالة جذرية باستخدام تعريف المشتقة، فإننا عادة ما نحتاج إلى ضرب البسط والمقام في المرافق. وبعد ذلك، علينا إجراء بعض العمليات الجبرية ثم تطبيق النهاية.
