فيديو الدرس: متباينة المثلث الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعرف متباينة المثلث، ونحدد إذا ما كانت أطوال الأضلاع المعطاة صالحة لتكوين مثلث. سنكتشف أن المثلث الذي أطوال أضلاعه أ شرطة، ب شرطة، ﺟ شرطة لا يوجد إلا إذا كان مجموع طولي الضلعين الأقصرين أكبر من طول الضلع الثالث.

لنبدأ بالتفكير في كيفية إنشاء مثلث باستخدام مسطرة وفرجار. أولًا سنستخدم مسطرة لرسم قاعدة المثلث، ونسميها القطعة بﺟ، ونعطيها الطول أ شرطة. بعد ذلك سنرسم دائرة نصف قطرها ﺟ شرطة، ومركزها النقطة ب. سنرسم بعد ذلك دائرة ثانية نصف قطرها ب شرطة، ومركزها النقطة ﺟ. إذا رسمنا النقطة ﺃ عند تقاطع الدائرتين ب وﺟ، فسنتمكن من رسم المثلث ﺃﺏﺟ.

من المهم الآن ملاحظة أننا عندما رسمنا هاتين الدائرتين عند طرفي القطعة المستقيمة بﺟ، كانت للدائرتين نقطتا تقاطع. وكان بإمكاننا رسم مثلث يقع رأسه ﺃ عند أي من نقطتي التقاطع هاتين. والآن سيكون من المفيد لنا أن نتناول ما نعرفه عن الأطوال أ شرطة، ب شرطة، ﺟ شرطة لهذه الرسمة الأولى.

نتذكر أن أقصر مسافة بين نقطتين خط مستقيم، وهذا يعني أن أقصر مسافة بين النقطتين ب، ﺟ هي الطول أ شرطة. وعليه فإن أي مسار آخر من النقطة ب إلى النقطة ﺟ سيكون أطول من الطول أ شرطة. لنفترض الآن أننا انتقلنا من النقطة ب إلى النقطة ﺃ قبل أن ننتقل إلى النقطة ﺟ. هذه المسافة ممثلة بمجموع الطولين ب شرطة وﺟ شرطة، وهو بالتأكيد أطول من الطول أ شرطة. يقودنا هذا الاستنتاج إلى أن نتساءل عما يحدث إذا كان ب شرطة زائد ﺟ شرطة ليس أكبر من أ شرطة، بل عوضًا عن ذلك إذا كان ب شرطة زائد ﺟ شرطة يساوي أ شرطة.

لاستكشاف هذه الفكرة، سنمسح الرسمة الأصلية وننشئ رسمة جديدة؛ حيث ب شرطة زائد ﺟ شرطة يساوي أ شرطة. سنبدأ مرة أخرى بالقطعة ب ﺟ التي طولها أ شرطة. لكننا الآن نتعامل مع قيد ينص على أن ب شرطة زائد ﺟ شرطة يجب أن يساوي أ شرطة. بعد استخدام الفرجار لرسم الدائرة ب ونصف قطرها ﺟ شرطة، والدائرة ﺟ ونصف قطرها ب شرطة؛ نجد أن هاتين الدائرتين تلتقيان عند نقطة تماس، وسنسمي هذه النقطة ﺃ. في الرسمة الأولى أصبحت النقطة الرأس الثالث في المثلث. لكن الآن بما أن ب شرطة زائد ﺟ شرطة يساوي أ شرطة، ليس لدينا مثلث على الإطلاق، بل لدينا قطعة مستقيمة.

دعونا نتوقف للتفكير فيما تعلمناه حتى الآن من هاتين الرسمتين الأوليين. لقد تعلمنا أنه لتكوين مثلث من الأطوال أ شرطة، ب شرطة، ﺟ شرطة، يمكن أن يكون ب شرطة زائد ﺟ شرطة أكبر من أ شرطة، لكن ب شرطة زائد ﺟ شرطة لا يمكن أن يساوي أ شرطة.

والآن هناك احتمال واحد فقط متبق يمكن تناوله: هل يمكن أن يكون ب شرطة زائد ﺟ شرطة أصغر من أ شرطة؟ لنرسم رسمة جديدة لدراسة هذا الاحتمال. كما هو موضح في الرسمة الثالثة، إذا كان مجموع نصفي القطر أقل من أ شرطة، فلن تتقاطع هاتان الدائرتان على الإطلاق، وبالتأكيد لن تكونا مثلثًا. ومن ثم نستنتج أنه لتكوين مثلث أطوال أضلاعه أ شرطة، ب شرطة، ﺟ شرطة، لا بد أن يكون ب شرطة زائد ﺟ شرطة أكبر من أ شرطة، كما رأينا في الرسمة الأولى. لكن لا يمكن تكوين مثلث عندما يكون ب شرطة زائد ﺟ شرطة يساوي أ شرطة، أو عندما يكون ب شرطة زائد ﺟ شرطة أصغر من أ شرطة.

والآن سنفرغ الشاشة لإفساح المجال لكتابة الصيغة المنهجية لهذه الفكرة، التي تسمى نظرية متباينة المثلث. تنص نظرية متباينة المثلث على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث. هذا يعني أنه لأي مثلث ﺃﺏﺟ، فإن ﺃﺏ زائد ﺃﺟ أكبر من ب ﺟ، وﺃﺏ زائد ب ﺟ أكبر من ﺃﺟ، وﺃﺟ زائد ب ﺟ أكبر من ﺃﺏ. يمكننا استخدام نظرية متباينة المثلث لتحديد إذا ما كان من الممكن تكوين مثلث بثلاثة أطوال أضلاع معطاة. لنتدرب على ذلك في المثال الأول.

هل من الممكن تكوين مثلث بأطوال أضلاع تساوي ستة أمتار، وسبعة أمتار، و١٨ مترًا؟

للإجابة عن هذا السؤال علينا أن نتذكر نظرية متباينة المثلث التي تنص على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث. هذا يعني أنه لأي مثلث ﺃﺏﺟ، فإن ﺃﺏ زائد ﺃﺟ أكبر من ب ﺟ، وﺃﺏ زائد ب ﺟ أكبر من ﺃﺟ، وﺃﺟ زائد ب ﺟ أكبر من ﺃﺏ.

يدور هذا السؤال حول إمكانية تكوين مثلث أطوال أضلاعه ستة أمتار وسبعة أمتار و١٨ مترًا. ولكي يكون ذلك ممكنًا، يجب أن تحقق هذه القيم الثلاث جميع متباينات المثلث الثلاث. لذا سنتحقق من إذا ما كان ١٨ زائد سبعة أكبر من ستة، ومن إذا ما كان ١٨ زائد ستة أكبر من سبعة، ومن إذا ما كان ستة زائد سبعة أكبر من ١٨.

المتباينة الأولى صحيحة؛ لأن ٢٥ أكبر من ستة. المتباينة الثانية صحيحة أيضًا؛ لأن ٢٤ أكبر من سبعة. لكن عندما نجمع طولي الضلعين الأقصرين، فإننا نحصل على ١٣، وهو ما ليس بأكبر من طول الضلع الثالث الذي يساوي ١٨. هذا يعني أنه لا يمكننا تكوين مثلث أطوال أضلاعه ستة أمتار وسبعة أمتار و١٨ مترًا.

كما نرى في هذا السؤال، من المهم جدًّا التحقق من مجموع طولي الضلعين الأقصرين. وذلك لأن هذه هي المتباينة الأكثر احتمالًا لئلا تتحقق. لذا من الأفضل البدء بالتحقق من هذه المتباينة في المستقبل. وإذا لم تتحقق هذه المتباينة، فلن نحتاج حتى إلى الاستمرار والتحقق من المتباينتين الأخريين.

تجيب النظرية الآتية عن السؤال: «إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة تحقق متباينة المثلث، فهل ستشكل مثلثًا دائمًا؟» الإجابة عن هذا السؤال هي نعم؛ لأنه وفقًا للنظرية الآتية، إذا كانت أ شرطة، ب شرطة، ﺟ شرطة أعدادًا حقيقية موجبة تحقق متباينة المثلث، فسيكون هناك مثلث أطوال أضلاعه أ شرطة، ب شرطة، ﺟ شرطة. هذا يعني أن بإمكاننا التحقق من أن الأعداد الحقيقية الموجبة، مثل اثنين وخمسة وستة، تشكل مثلثًا، في حين أن الأعداد الحقيقية الموجبة ثلاثة وخمسة وثمانية لا تشكل مثلثًا؛ لأن مجموع الضلعين الأقصرين ثلاثة وخمسة ليس أكبر من ثمانية.

في المثال التالي سنوجد جميع القيم الممكنة لطول ضلع مجهول في مثلث باستخدام متباينة المثلث.

أوجد جميع قيم س الممكنة، إذا كان س زائد ستة سنتيمتر، وسنتيمتران، و٢٥ سنتيمترًا تمثل أطوال أضلاع مثلث.

لإيجاد جميع قيم س الممكنة علينا أن نتذكر أولًا أن أطوال أضلاع المثلث يجب أن تكون موجبة، وأن تحقق متباينة المثلث. إذا كانت هذه الأعداد الحقيقية الموجبة الثلاثة تحقق متباينة المثلث، يمكن لهذه القيم أن تمثل أطوال أضلاع مثلث. تنص متباينة المثلث على أن مجموع أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث. سنستخدم هذه الحقيقة لتكوين المتباينات الثلاث التي يجب أن تحققها أطوال الأضلاع لتكوين مثلث.

أولًا نكتب المتباينات الثلاث باستخدام كل تجميعة ممكنة من س زائد ستة، واثنين، و٢٥. بعد ذلك سنحل كل متباينة لإيجاد قيمة س لنرى المعلومات الجديدة التي ستخبرنا بها عن المدى الممكن للقيم. بتبسيط الطرف الأيسر من المتباينة الأولى نجد أن س زائد ثمانية أكبر من ٢٥. بطرح ثمانية من الطرفين نحصل على المتباينة: س أكبر من ١٧. هذه بالتأكيد معلومة مهمة تخبرنا بأن جميع قيم س الممكنة يجب أن تكون أكبر من ١٧.

لا يعطينا حل المتباينة الثانية أي معلومات جديدة؛ لأننا نعلم أن أطوال أضلاع المثلث يجب أن تكون موجبة، ونعرف بالفعل أن س أكبر من ١٧. بطرح ستة من طرفي المتباينة الأخيرة نحصل على: ٢١ أكبر من س. إذا عكسنا هذه المتباينة فسنجد أن س أصغر من ٢١. بما أننا نريد أن يكون س أكبر من ١٧ وأصغر من ٢١، يمكننا كتابة الإجابة النهائية في صورة متباينة مركبة : ﺱ أكبر من ١٧ وأصغر من ٢١. لقد توصلنا إلى هذه الإجابة بتكوين ثلاث متباينات وفقًا لنظرية متباينة المثلث مع أطوال الأضلاع س زائد ستة، واثنين، و٢٥.

في المثال الأخير سنجمع بين نظرية متباينة المثلث ومعرفتنا بالمثلثات المتساوية الساقين لتحديد طول الضلع الناقص في المثلث المتساوي الساقين.

إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الساقين فيه ﺃﺏ يساوي سنتيمترين، وبﺟ يساوي خمسة سنتيمترات، فأوجد ﺃﺟ.

في البداية نتذكر تعريف المثلث المتساوي الساقين. المثلث المتساوي الساقين مثلث فيه ضلعان متطابقان. الضلعان المتطابقان يسميان ساقي المثلث، والضلع الثالث يسمى القاعدة. لم ترسم المثلثات الآتية بمقياس رسم، لكنها يمكن أن تساعدنا في التفكير في الترتيب المحتمل لأضلاع هذا المثلث. لكي يكون المثلث ﺃﺏﺟ متساوي الساقين، يجب أن يكون الضلع الناقص متطابقًا مع أحد الضلعين: ﺃﺏ أو بﺟ. إذا كان ﺃﺏ مطابقًا لـ ﺃﺟ، فإن ﺃﺟ يساوي اثنين. وإذا كان بﺟ مطابقًا لـ ﺃﺟ، فإن ﺃﺟ يساوي خمسة.

لتحديد إذا ما كان طول الضلع الثالث يساوي سنتيمترين أم خمسة سنتيمترات، علينا تذكر نظرية متباينة المثلث. تخبرنا متباينة المثلث أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث. وإذا كان هذا صحيحًا، يمكن تكوين المثلث. ومن ثم يمكننا التحقق من صحة كل من هاتين المجموعتين: اثنان، واثنان، وخمسة، واثنان، وخمسة، وخمسة؛ لتحديد إذا ما كانت تمثل أطوال أضلاع مثلث أم لا.

عند التفكير في اثنين، واثنين، وخمسة؛ علينا أن نتحقق من إذا ما كان مجموع طولي الضلعين الأقصرين أكبر من طول الضلع الثالث. لكن اثنين زائد اثنين أصغر من خمسة. هذا يعني أن هذه المجموعة لا تحقق متباينة المثلث. بالنسبة إلى المجموعة الثانية، نلاحظ أن اثنين زائد خمسة أكبر من خمسة، وخمسة زائد اثنين أكبر من خمسة، وخمسة زائد خمسة أكبر من اثنين. بما أن المجاميع الثلاثة أكبر من طول الضلع الثالث، فهذا يعني أن هذه المجموعة تحقق متباينة المثلث.

لقد بينا أن الاحتمالين الوحيدين لطول ﺃﺟ هما سنتيمتران أو خمسة سنتيمترات. إذن لقد وجدنا أن المثلث الذي أطوال أضلاعه سنتيمتران، وسنتيمتران، وخمسة سنتيمترات، لا يمكن أن يوجد؛ لأن مجموع طولي الضلعين الأقصرين ليس أكبر من طول الضلع الثالث، في حين أن أطوال الأضلاع سنتيمترين، وخمسة سنتيمترات، وخمسة سنتيمترات، تحقق جميع متباينات المثلث الثلاث. ومن ثم فإن طول الضلع الثالث في المثلث المتساوي الساقين يساوي خمسة سنتيمترات.

يمكننا الآن تلخيص بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. الفكرة الرئيسية في هذا الفيديو هي متباينة المثلث التي تنص على أنه في أي مثلث ﺃﺏﺟ يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث. هذا يعني أن ﺃﺏ زائد ﺃﺟ أكبر من ب ﺟ، وﺃﺏ زائد ب ﺟ أكبر من ﺃﺟ، وﺃﺟ زائد ب ﺟ أكبر من ﺃﺏ. ورأينا أيضًا أنه إذا كانت أ شرطة، ب شرطة، ﺟ شرطة أعدادًا حقيقية موجبة تحقق متباينة المثلث، فسيوجد مثلث أطوال أضلاعه أ شرطة، ب شرطة، ﺟ شرطة.