فيديو السؤال: اشتقاق مجموعة من الدوال الجذرية والدوال الكثيرة الحدود باستخدام قاعدة الضرب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي سبعة ﺱ تربيع ناقص جذر ﺱ مضروبًا في سالب ﺱ تربيع زائد سبعة جذر ﺱ.

يطلب منا السؤال إيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ يساوي دالة ما في ﺱ. هذا يعني أن علينا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا أن نلاحظ من معطيات السؤال أن ﺹ حاصل ضرب دالتين. وعليه، سنجيب عن هذا السؤال باستخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. لعلنا نتذكر أن قاعدة الضرب تنص على أنه إذا كانت لدينا دالتان ﻉ وﻕ، فإن المشتقة ﻉ في ﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ.

وعليه، لإيجاد هذه المشتقة باستخدام قاعدة الضرب، سنجعل ﻉ يساوي سبعة ﺱ تربيع ناقص جذر ﺱ، وﻕ يساوي سالب ﺱ تربيع زائد سبعة جذر ﺱ. لاستخدام قاعدة الضرب، سنحتاج إلى مقدارين يعبران عن ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ. دعونا نبدأ بـ ﺩﻉ على ﺩﺱ. إنها المشتقة سبعة ﺱ تربيع ناقص جذر ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. أول ما سنفعله هو إعادة كتابة سالب جذر ﺱ في صورة سالب ﺱ أس نصف باستخدام قوانين الأسس.

أصبح بإمكاننا الآن اشتقاق هذين الحدين باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. نضرب في أس ﺱ ونطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعطينا: اثنان في سبعة في ﺱ أس اثنين ناقص واحد ناقص نصف في ﺱ أس نصف ناقص واحد. ويمكن تبسيط هذا المقدار لنحصل على: ١٤ﺱ ناقص ﺱ أس سالب نصف مقسومًا على اثنين. يمكننا تكرار العملية نفسها لإيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ. إنها المشتقة سالب ﺱ تربيع زائد سبعة جذر ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومرة أخرى، باستخدام قوانين الأسس، سنعيد كتابة سبعة جذر ﺱ على الصورة: سبعة ﺱ أس نصف.

بتطبيق قاعدة القوى للاشتقاق على كل حد، نحصل على: سالب اثنين في ﺱ أس اثنين ناقص واحد زائد نصف في سبعة ﺱ أس نصف ناقص واحد. ويمكننا تبسيط هذا المقدار لنحصل على: سالب اثنين ﺱ زائد سبعة ﺱ أس سالب نصف مقسومًا على اثنين. أصبحنا جاهزين الآن لإيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة الضرب. إنها تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وبالتعويض بقيم ﻉ، وﻕ، وﺩﻉ على ﺩﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ، نحصل على المقدار التالي لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

أصبحنا جاهزين الآن لتبسيط هذا المقدار. سنبدأ بإيجاد حاصل ضرب الحد الأول. نحصل على: سالب ١٤ﺱ تكعيب زائد ٤٩ على اثنين ﺱ أس ثلاثة على اثنين زائد اثنين ﺱ أس ثلاثة على اثنين ناقص سبعة على اثنين. يمكننا جمع ٤٩ على اثنين ﺱ أس ثلاثة على اثنين، واثنين ﺱ أس ثلاثة على اثنين معًا. هذا يعطينا: ٥٣ﺱ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على اثنين. سنكتب ذلك على الصورة: ٥٣ﺱ جذر ﺱ على اثنين. وبتبسيط الحد الأول، يصبح لدينا: سالب ١٤ﺱ تكعيب زائد ٥٣ﺱ جذر ﺱ على اثنين ناقص سبعة على اثنين.

والآن، علينا تكرار العملية نفسها مع الحد الثاني. بفعل ذلك، نحصل على: سالب ١٤ﺱ تكعيب زائد ﺱ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على اثنين زائد ٩٨ﺱ أس ثلاثة على اثنين ناقص سبعة على اثنين. ويمكننا جمع ﺱ أس ثلاثة على اثنين على اثنين، و٩٨ﺱ أس ثلاثة على اثنين لنحصل على: ١٩٧ﺱ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على اثنين. وسنكتب ذلك على الصورة: ١٩٧ﺱ جذر ﺱ على اثنين. وعليه، نكون قد أوضحنا أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ١٤ﺱ تكعيب زائد ٥٣ﺱ جذر ﺱ على اثنين ناقص سبعة على اثنين ناقص ١٤ﺱ تكعيب زائد ١٩٧ﺱ جذر ﺱ على اثنين ناقص سبعة على اثنين.

ويمكننا تبسيط هذا المقدار عن طريق تجميع الحدود المتشابهة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على: سالب ٢٨ﺱ تكعيب زائد ١٢٥ﺱ جذر ﺱ ناقص سبعة. وعليه، بالنسبة إلى ﺹ يساوي سبعة ﺱ تربيع ناقص جذر ﺱ في سالب ﺱ تربيع زائد سبعة جذر ﺱ، أوضحنا أن المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ٢٨ﺱ تكعيب زائد ١٢٥ﺱ جذر ﺱ ناقص سبعة.