فيديو السؤال: إيجاد الصورتين الإحداثية والقطبية للأعداد المركبة على مخطط أرجاند الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يوضح مخطط أرجاند العدد المركب ﻉ. اكتب ﻉ بالصورة الإحداثية.

عند كتابة عدد مركب ﻉ بالصورة الإحداثية، فإننا نكتبه بالصورة ﺃ زائد ﺏﺕ. ذلك حيث ﺃ هو الجزء الحقيقي وﺏ هو الجزء التخيلي. في هذا المخطط، المحور الأفقي هو محور الأعداد الحقيقية والمحور الرأسي هو محور الأعداد التخيلية. وهذا يعني أنه يمكن قراءة قيمتي ﺃ وﺏ من التمثيل البياني مباشرة، وهو ما يشبه لحد ما قراءة الإحداثيات الديكارتية. ‏‏ﺃ يساوي ثلاثة، وﺏ يساوي خمسة. إذن، بالصورة الإحداثية، سيكون العدد المركب هو ثلاثة زائد خمسة ﺕ.

حول ﻉ إلى الصورة القطبية، مقربًا السعة لأقرب منزلتين عشريتين.

عندما نكتب عددًا مركبًا بالصورة القطبية أو المثلثية، فإننا نكتبه هكذا: ﻉ يساوي ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. ذلك حيث ﻝ هو مقياس العدد المركب ﻉ، و𝜃 هي السعة. في الصورة القطبية، يمكن أن يكون 𝜃 بالدرجات أو بالراديان، على الرغم أنه من الأفضل استخدام الراديان عادة، لكن في الصورة الأسية، لا داعي لاستخدام الراديان. إذن، علينا إيجاد طريقة لتمثيل الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للعدد ﻉ بدلالة ﻝ و𝜃.

في الحقيقة، يمكننا استخدام هاتين الصيغتين لمساعدتنا. المقياس، ﻝ، هو الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. وهذا وفقًا لنظرية فيثاغورس. لإيجاد قيمة 𝜃، نستخدم ظا 𝜃 يساوي ﺏ على ﺃ.

هيا نعوض بالقيم المعلومة لدينا عن العدد المركب في الصيغتين. ‏‏ﺃ يساوي ثلاثة، وﺏ يساوي خمسة. إذن، المقياس يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد خمسة تربيع، وهو ما يساوي جذر ٣٤. وظا 𝜃 يساوي خمسة أثلاث. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃 أو إيجاد السعة من خلال إيجاد الدالة العكسية لـ ظا خمسة أثلاث. وهو ما يساوي ١٫٠٣٠٣، وهكذا. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين طبقًا لما هو مطلوب، يصبح هذا الناتج ١٫٠٣ راديان.

والآن بعد أن حصلنا على قيمتي ﻝ و𝜃، يمكننا التعويض بهما في الصيغة للحصول على الصورة القطبية أو المثلثية للعدد المركب. إذن، بالصورة القطبية، يمكن كتابة العدد المركب هكذا: جذر ٣٤ مضروبًا في جتا ١٫٠٣ زائد ﺕ جا ١٫٠٣.