نسخة الفيديو النصية
أوجد قيم ﻙ، إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﻙ لـ ﺱ أس ستة ناقص ﻙ أس ستة الكل مقسوم على ﺱ أس أربعة ناقص ﻙ أس أربعة يساوي ٢٤.
في هذا السؤال، علينا إيجاد قيم الثابت ﻙ التي تعطينا قيمة نهاية معينة. وبما أن هذه نهاية دالة كسرية، فقد نحاول فعل ذلك باستخدام التعويض المباشر. لكن إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي ﻙ في الدالة الكسرية، فسنحصل على ﻙ أس ستة ناقص ﻙ أس ستة الكل مقسوم على ﻙ أس أربعة ناقص ﻙ أس أربعة. وبتبسيط هذا المقدار، نحصل على الصيغة غير المعينة صفر مقسومًا على صفر.
ومن ثم، لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. بدلًا من ذلك، علينا ملاحظة أن هذه النهاية تأتي على صورة نهاية قسمة دالتي قوى. لذا، دعونا نبدأ باسترجاع النتيجة الآتية. لأي ثوابت حقيقية ﺃ وﻥ وﻡ، حيث ﻡ لا يساوي صفرًا، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ؛ تساوي ﻥ مقسومًا على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وهذه النتيجة صحيحة بشرط أن تكون ﺃ أس ﻥ، وﺃ أس ﻡ، وﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ كلها موجودة.
الآن نريد تطبيق ذلك على النهاية المعطاة في السؤال. نلاحظ أن الأسين في البسط هما ستة. إذن، قيمة ﻥ تساوي ستة. أما الأسان في المقام، فهما أربعة. إذن، قيمة ﻡ تساوي أربعة. وأخيرًا، قيمة الثابت ﺃ تساوي ﻙ. وعليه، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض بهذه القيم في الصيغة. فنحصل على ستة مقسومًا على أربعة مضروبًا في ﻙ أس ستة ناقص أربعة. وبإمكاننا تبسيط هذا المقدار. ستة على أربعة يساوي ثلاثة على اثنين، وستة ناقص أربعة يساوي اثنين. إذن، نحصل على ثلاثة على اثنين في ﻙ تربيع.
تذكر الآن أن المطلوب منا في السؤال أن نحاول إيجاد قيم ﻙ التي تجعل النهاية تساوي ٢٤. لذا، علينا إيجاد قيم ﻙ التي تجعل ثلاثة على اثنين ﻙ تربيع يساوي ٢٤. ويمكننا إيجاد هذه القيم عن طريق حل المعادلة ثلاثة على اثنين ﻙ تربيع يساوي ٢٤. نبدأ بضرب طرفي المعادلة في اثنين، وهو ما يعطينا ثلاثة ﻙ تربيع يساوي ٤٨. بعد ذلك، نقسم كلا طرفي المعادلة على ثلاثة، فنحصل على ﻙ تربيع يساوي ٤٨ على ثلاثة، وهو ما يساوي ١٦. وأخيرًا، يمكننا حل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة؛ حيث نتذكر أن هذا يعطينا موجب وسالب الجذر التربيعي. إذن، ﻙ يساوي موجب أو سالب أربعة.
بذلك، استطعنا إيجاد قيمتين لـ ﻙ، إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﻙ لـ ﺱ أس ستة ناقص ﻙ أس ستة الكل مقسوم على ﺱ أس أربعة ناقص ﻙ أس أربعة تساوي ٢٤. وهكذا، فإن قيمتي ﻙ هما أربعة وسالب أربعة.
