فيديو: المثلثات المتشابهة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص المثلثات المتشابهة لحل المسائل.

١٦:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص المثلثات المتشابهة لحل المسائل. هيا نبدأ بتذكر ما يعنيه تشابه مثلثين.

يمكننا القول إن مثلثين متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. بعبارة أخرى، جميع الزوايا المتناظرة متطابقة، أي متساوية في القياس، وجميع الأضلاع متناسبة. إذا كانت أزواج الأضلاع المتناظرة متطابقة أيضًا، فستكون المثلثات نفسها متطابقة.

إذن، المثلثات المتشابهة لها الشكل نفسه لكن أطوال أضلاعها مختلفة. فالأضلاع المتناظرة متناسبة، لكن الزوايا المتناظرة متطابقة. هناك عدة طرق يمكننا بها إثبات تشابه مثلثين. لنلق نظرة على ما يلي.

الطريقة الأولى هي استخدام قاعدة التشابه بزاويتين ‪(AA)‬‏، والتي نثبت من خلالها تطابق زوجين من الزوايا. المثلثان المرسومان هنا متشابهان؛ لأن لدينا زوجين متطابقين من الزوايا. إذن، لماذا لا نحتاج إلى إثبات وجود ثلاثة أزواج من الزوايا المتطابقة؟ حسنًا، هذا لأن مجموع قياسات الزوايا ثابت في أي مثلث، وهو ‪180‬‏ درجة. وبالتالي، إذا أثبتنا أن لدينا زوجين من الزوايا المتطابقة، فسيكون الزوج الثالث من الزوايا في كل مثلث متطابقًا أيضًا. يمكننا بالطبع إثبات أن هناك ثلاثة أزواج من الزوايا المتطابقة، لكننا لا نحتاج إلى ذلك. علينا فقط إثبات تطابق زوجين من الزوايا.

الطريقة الثانية لإثبات التشابه بين المثلثات هي استخدام قاعدة التشابه بثلاثة أضلاع ‪(SSS)‬‏. إذا استطعنا إثبات أن لدينا ثلاثة أزواج متناسبة من الأضلاع المتناظرة، فهذا سيثبت أن المثلثين متشابهان. علينا أن ننتبه هنا. عندما نستخدم قاعدة ‪SSS‬‏ لإثبات تطابق مثلثات، فإننا في تلك الحالة نثبت أن أزواج الأضلاع متطابقة. لكن عند إثبات التشابه، فإن قاعدة ‪SSS‬‏ تعني أننا نثبت أن الأضلاع متناسبة.

في المثلثين الموضحين هنا، يمكننا ملاحظة أنهما متشابهان؛ لأن جميع أطوال أضلاع المثلث الأصغر تتناسب مع أطوال أضلاع المثلث الأكبر. وفي الحقيقة، طول كل ضلع في المثلث الأصغر يساوي نصف طول الضلع المناظر له في المثلث الأكبر.

عندما نتحدث عن المثلثات المتشابهة، فإننا نستخدم أيضًا مصطلح «معامل التشابه». وهو يعني النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة في الأشكال المتشابهة. دائمًا ما يكون معامل التشابه في صورة مضاعف. على سبيل المثال، قد نقول بصورة غير رياضية إنه للانتقال من المثلث الأكبر إلى المثلث الأصغر، فإننا نقسم الأطوال على اثنين. لكن، لكي نقول ذلك بصورة رياضية صحيحة، سنقول إن معامل التشابه هو نصف.

والطريقة الأخيرة لإثبات التشابه بين المثلثات هي استخدام قاعدة التشابه بضلعين وزاوية محصورة بينهما ‪(SAS)‬‏. هذا يعني أننا نثبت أن لدينا زوجين من الأضلاع متناسبان، والزاوية المحصورة بين كل زوج من الأضلاع مطابقة للأخرى. لاحظ أنه عند استخدام قاعدة ‪SAS‬‏ لإثبات التطابق، يجب أن تكون جميع الأضلاع والزوايا متطابقة. وكما رأينا في الطريقة السابقة، يجب أن تكون الأضلاع متناسبة.

إذن في المثلثين الموضحين بالأسفل، إذا استطعنا إثبات أن لدينا زوجًا من أضلاع متناظرة ومتناسبة، وزاويتين محصورتين متطابقتان، وزوجًا آخر من الأضلاع لهما التناسب نفسه، فسنثبت أن هذين المثلثين متشابهان. سنتناول الآن سؤالًا علينا فيه إيجاد معامل التشابه.

في هذا الشكل، إذا كان المثلثان متشابهين، فما معامل التشابه من المثلث الأكبر إلى المثلث الأصغر؟

يمكننا تذكر أن كلمة «متشابه» تعني الشكل نفسه ولكن بقياس مختلف. وبشكل أكثر تحديدًا، يمكننا القول إن الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة. لإيجاد معامل التشابه من المثلث الكبير إلى المثلث الصغير، علينا إيجاد التناسب بين أطوال الأضلاع. هذه النسبة أو التناسب هي معامل التشابه.

يمكننا البدء بالنظر إلى طولي القاعدتين واستخدام الصيغة المساعدة؛ وهي أن معامل التشابه يساوي الطول الجديد على الطول الأصلي. وبما أن الطول الجديد في المثلث الأصغر يساوي ستة وطول القاعدة الأصلي يساوي ‪12‬‏ في المثلث الأكبر، فسيكون معامل التشابه هو ستة على ‪12‬‏، وهو ما يمكن تبسيطه إلى نصف. إذن، طول كل ضلع من أضلاع المثلث الأصغر يساوي نصف طول كل ضلع من أضلاع المثلث الأكبر.

يمكننا التحقق من إجابتنا باستخدام الضلعين الآخرين المعلومين لدينا. إذا أخذنا الطول ‪11‬‏ وضربناه في معامل التشابه الذي يساوي نصفًا، فسنحصل على ‪11‬‏ على اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة ونصف أو ‪5.5‬‏. وطول الضلع المناظر في المثلث الأصغر كان بالفعل ‪5.5‬‏. بذلك، نكون قد تأكدنا من إجابتنا بأن معامل التشابه من المثلث الأكبر إلى المثلث الأصغر هو نصف.

علينا دائمًا التأكد من أن معامل التشابه مضاعف. فعلى سبيل المثال، يمكننا قسمة أطوال أضلاع المثلث الأكبر على اثنين للحصول على أطوال أضلاع المثلث الأصغر. لكن استخدام معامل التشابه لا يعني «القسمة على اثنين». لكنه يعني «الضرب في نصف».

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي نوجد فيها أطوالًا ناقصة في مثلثين متشابهين.

إذا كان ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪13‬‏ سنتيمترًا، و‪𝐵𝐶‬‏ يساوي ثمانية سنتيمترات، و‪𝐴𝐶‬‏ يساوي ‪11.36‬‏ سنتيمترًا، و‪𝐴𝐷‬‏ يساوي ‪10‬‏ سنتيمترات، فأوجد طول ‪𝐴𝐸‬‏ وقرب الناتج لأقرب جزء من مائة.

في هذا الشكل، يوجد مثلث أكبر، وهو ‪𝐴𝐵𝐶‬‏، ومثلث أصغر، وهو ‪𝐴𝐷𝐸‬‏. لإيجاد الطول الناقص، قد يكون من المنطقي معرفة ما إذا كان هذان المثلثان متشابهين أم لا. المثلثات المتشابهة تكون زواياها المتناظرة متطابقة وأطوال أضلاعها المتناظرة متناسبة.

هيا نضف الأطوال المعطاة لنا إلى الشكل. ‏‏‪𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪13‬‏ سنتيمترًا، و‪𝐴𝐶‬‏ يساوي ‪11.36‬‏ سنتيمترًا، و‪𝐴𝐷‬‏ يساوي ‪10‬‏ سنتيمترات. لإثبات تشابه مثلثين، يمكننا استخدام قاعدة التشابه بزاويتين ‪(AA)‬‏، والتي نثبت من خلالها أن زوجين من الزوايا متطابقان. أو قاعدة التشابه بثلاثة أضلاع ‪(SSS)‬‏، والتي نثبت من خلالها أن هناك ثلاثة أزواج من الأضلاع متناسبة. أو قاعدة التشابه بضلعين وزاوية محصورة بينهما ‪(SAS)‬‏، حيث نثبت أن هناك زوجين من الأضلاع متناسبان والزاوية المحصورة بينهما متطابقة.

في هذا الشكل، لا يبدو أن لدينا معلومات كافية عن الأضلاع لكي نستخدم قاعدة ‪SSS‬‏؛ لذا دعونا نلق نظرة على الزوايا. إذا بدأنا بالنظر إلى هذه الزاوية ‪𝐸𝐴𝐷‬‏ في المثلث الأصغر، فسنجد أنها زاوية مشتركة مع الزاوية ‪𝐶𝐴𝐵‬‏ في المثلث الأكبر. إذن، يمكننا القول إن هاتين الزاويتين متطابقتان. والزاوية المحددة باللون الأخضر، وهي الزاوية ‪𝐷𝐸𝐴‬‏ في المثلث الأصغر، متطابقة مع الزاوية ‪𝐵𝐶𝐴‬‏ في المثلث الأكبر؛ لأن لدينا زاويتين متناظرتين من الضلعين المتوازيين والقاطع.

وبالطريقة نفسها، الزاوية ‪𝐴𝐷𝐸‬‏ تناظر الزاوية ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ في المثلث الأكبر. إذن، لدينا زاويتان أخريان متطابقتان. بذلك نكون قد عرفنا أن هناك ثلاثة أزواج من الزوايا المتناظرة متطابقة. كنا فقط بحاجة إلى إثبات تطابق زوجين من هذه الزوايا لإثبات تشابه هذين المثلثين. نحن نعلم الآن أن لدينا مثلثين متشابهين، لذا دعونا نحسب الطول الناقص للضلع ‪𝐴𝐸‬‏.

لإجراء ذلك، علينا إيجاد معامل التشابه بين ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ و‪𝐴𝐷𝐸‬‏. من الأفضل غالبًا رسم المثلثين على حدة لمساعدتنا في إيجاد معامل التشابه. لإيجاد معامل التشابه من المثلث الأكبر إلى المثلث الأصغر، يمكننا استخدام القاعدة التي تخبرنا أن معامل التشابه يساوي الطول الجديد على الطول الأصلي. لدينا هنا طولا ضلعين من الأضلاع المتناظرة؛ حيث ‪𝐴𝐷‬‏ يساوي ‪10‬‏ سنتيمترات و‪𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪13‬‏ سنتيمترًا.

إذا كان اتجاه معامل التشابه نحو المثلث الأصغر، فسيكون الطول الجديد ‪10‬‏ سنتيمترات، والطول الأصلي ‪13‬‏ سنتيمترًا. إذن، معامل التشابه يساوي ‪10‬‏ على ‪13‬‏. لإيجاد طول الضلع ‪𝐴𝐸‬‏، نضرب طول الضلع المناظر له ‪𝐴𝐶‬‏ الذي يساوي ‪11.36‬‏ في معامل التشابه ‪10‬‏ على ‪13‬‏. وبما أنه مطلوب منا إيجاد الناتج لأقرب جزء من مائة، فبإمكاننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيمة.

سنجد أن ‪𝐴𝐸‬‏ يساوي ‪8.73846‬‏ سنتيمترات وهكذا مع توالي الأرقام. والتقريب لأقرب جزء من مائة يعني أن نتحقق من الرقم الثالث يمين العلامة العشرية لمعرفة ما إذا كان خمسة أو أكثر. ثم نقرب الناتج لأعلى ليصبح ‪8.74‬‏ سنتيمترات. بذلك نكون قد أوجدنا قيمة ‪𝐴𝐸‬‏ هذه عن طريق إثبات تشابه المثلثين وحساب معامل التشابه.

لنلق نظرة على سؤال آخر.

المثلثان ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ و‪𝐴‬‏ شرطة ‪𝐵‬‏ شرطة ‪𝐶‬‏ شرطة متشابهان. احسب قياس الزاوية ‪𝑥‬‏. احسب قيمة ‪𝑦‬‏. احسب قيمة ‪𝑧‬‏.

في هذا السؤال، علمنا أن هذين المثلثين متشابهان؛ ما يعني أن الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة. يمكننا النظر إلى هذه الزاوية ‪𝐴‬‏ شرطة التي يرمز لها بـ ‪𝑥‬‏ لمعرفة الزاوية المناظرة لها في المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏. في بعض الأحيان، لا يكون هذا واضحًا في الأشكال لدينا، لكن يمكننا استخدام ترتيب الحروف لمساعدتنا.

الزاوية ‪𝐴‬‏ شرطة ستناظر الزاوية ‪𝐴‬‏. يمكننا كتابة ذلك بطريقة رياضية أكثر على الصورة الزاوية ‪𝐶‬‏ شرطة ‪𝐴‬‏ شرطة ‪𝐵‬‏ شرطة تناظر الزاوية ‪𝐶𝐴𝐵‬‏، وهي الزاوية المحددة باللون الوردي هنا. هاتان الزاويتان متساويتان في القياس، وقياس كل منهما ‪74.5‬‏ درجة. إذن، إجابة الجزء الأول من هذا السؤال هي أن قياس الزاوية ‪𝑥‬‏ يساوي ‪74.5‬‏ درجة. قد تعتقد أنه نظرًا لأن المثلث أكبر، فسيكون قياس الزاوية أكبر أيضًا. لكن تذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي دائمًا ‪180‬‏ درجة.

في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا إيجاد طول الضلع ‪𝑦‬‏. علينا هنا إيجاد التناسب بين أطوال الأضلاع أو معامل التشابه من المثلث الأصغر إلى المثلث الأكبر. يمكننا استخدام طولي الضلعين المتناظرين المعلومين. لدينا هنا طول ‪𝐴‬‏ شرطة ‪𝐵‬‏ شرطة يساوي خمسة، وطول ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي اثنين. لإيجاد معامل التشابه من المثلث الأصغر إلى المثلث الأكبر، سنقسم الطول الجديد، وهو خمسة، على الطول الأصلي، وهو اثنان. ومن ثم، إذا أردنا إيجاد طول أحد الأضلاع في المثلث الأكبر، فإننا نأخذ طول الضلع المناظر له في المثلث الأصغر ونضربه في خمسة على اثنين.

إذن، الطول ‪𝑦‬‏، الذي نريد حسابه في المثلث الأكبر والمحدد على الضلع ‪𝐵‬‏ شرطة ‪𝐶‬‏ شرطة، يناظر الضلع ‪𝐵𝐶‬‏ الذي طوله ثلاثة في المثلث الأصغر. يمكننا حساب قيمة ‪𝑦‬‏ بضرب الطول ثلاثة في معامل التشابه خمسة على اثنين. ثلاثة في خمسة يساوي ‪15‬‏، ويمكن تبسيط ‪15‬‏ على اثنين إلى ‪7.5‬‏. إذن، إجابة الجزء الثاني من هذا السؤال هي أن قيمة ‪𝑦‬‏ تساوي ‪7.5‬‏.

توجد طريقة بديلة كان بإمكاننا استخدامها لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏. بما أننا نعرف أن هذين المثلثين متشابهان، فستكون جميع أطوال الأضلاع لها التناسب نفسه. فبالنظر إلى طولي الضلعين ‪𝐴‬‏ شرطة ‪𝐵‬‏ شرطة، وهو خمسة، و‪𝐴𝐵‬‏، وهو اثنان، يمكننا القول إن خمسة على اثنين يساوي ‪𝑦‬‏ على ثلاثة. وبما أن هذين المثلثين متشابهان، فإننا نعلم أن التناسب بين الطولين خمسة واثنين سيكون هو نفسه التناسب بين ‪𝑦‬‏ وثلاثة. يمكننا بعد ذلك استخدام الضرب التبادلي؛ اثنان في ‪𝑦‬‏ يعطينا اثنين ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة في ثلاثة، وهو ما يساوي ‪15‬‏. وإذا كان اثنان ‪𝑦‬‏ يساوي ‪15‬‏، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي نصف ذلك. إذن، قيمة ‪𝑦‬‏ تساوي ‪7.5‬‏، وهو ما يؤكد الإجابة التي أوجدناها بإيجاد معامل التشابه.

لنلق نظرة على الجزء الأخير من هذا السؤال لإيجاد قيمة ‪𝑧‬‏. نحن نعرف أننا ننتقل من المثلث الأصغر إلى المثلث الأكبر بضرب الأطوال في خمسة على اثنين. لكن ماذا يحدث في الاتجاه العكسي؟ في هذه الحالة، علينا إجراء العملية العكسية. يمكننا القول بصورة غير رياضية إن علينا قسمة الأطوال على خمسة على اثنين، لكن ينبغي أن يكون معامل التشابه على صورة مضاعف. يمكننا تذكر أنه عند القسمة على كسر، فإن هذا يعادل الضرب في مقلوب الكسر. إذن، معامل التشابه من المثلث الكبير إلى المثلث الصغير هو خمسان.

لإيجاد الطول ‪𝑧‬‏ المحدد على الضلع ‪𝐴𝐶‬‏، نأخذ طول الضلع المناظر ‪𝐴‬‏ شرطة ‪𝐶‬‏ شرطة، الذي يساوي أربعة، ونضربه في معامل التشابه خمسين. أربعة في اثنين يساوي ثمانية، وثمانية أخماس يساوي ‪1.6‬‏. لذا، إجابة الجزء الأخير من هذا السؤال هي أن قيمة ‪𝑧‬‏ تساوي ‪1.6‬‏.

كان بإمكاننا حل هذا السؤال الأخير باستخدام معامل التشابه الأصلي. فكان بإمكاننا استخدام المعادلة التي أخبرتنا أن ‪𝑧‬‏ في خمسة على اثنين يساوي أربعة. ونقوم بعد ذلك بإعادة ترتيبها لإيجاد قيمة ‪𝑧‬‏. إننا نتبع هذه الطريقة لإيجاد معامل التشابه العكسي. من ذلك، نجد أن كلتا الطريقتين تؤكدان أن قيمة ‪𝑧‬‏ تساوي ‪1.6‬‏.

قبل أن نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو، دعونا نلق نظرة على معاملات التشابه العكسية. لنفترض أن لدينا مثلثين متشابهين وعرفنا أن معامل التشابه من المثلث الأصغر إلى المثلث الأكبر هو ثلاثة. هل هناك طريقة سريعة لإيجاد معامل التشابه في الاتجاه العكسي؟ حسنًا، معامل التشابه في الاتجاه العكسي دائمًا ما يكون المقلوب، أي واحد على العدد. إذن، مقلوب ثلاثة يساوي ثلثًا.

إذا كان معامل التشابه في اتجاه واحد يساوي ستة، فسيكون معامل التشابه في الاتجاه العكسي واحدًا على ستة. وهذا يعني سدسًا. ماذا عن معامل التشابه الكسري مثل ‪12‬‏ على سبعة؟ حسنًا، مقلوب ذلك يعني أن نقلب الكسر. لذا، سيكون معامل التشابه في الاتجاه العكسي سبعة على ‪12‬‏. يساعدنا استخدام هذه الحقائق المتعلقة بمعاملات التشابه العكسية في إيجاد أي أطوال في المثلثات المتشابهة.

والآن، يمكننا مراجعة ما تعلمناه في هذا الفيديو. لقد رأينا أن المثلثات تكون متشابهة إذا كانت أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة. يمكننا إثبات أن المثلثات متشابهة باستخدام إما قاعدة ‪AA‬‏ أو قاعدة ‪SSS‬‏ أو قاعدة ‪SAS‬‏. ومن المهم تذكر أنه علينا إثبات أن الزوايا متطابقة والأضلاع متناسبة. من المألوف استخدام قاعدتي ‪SSS‬‏ و‪SAS‬‏ في إثبات تطابق المثلثات. فعندما نثبت تطابق مثلثين، فنحن نثبت أن أطوال أضلاعهما متطابقة. أما عندما نستخدم هاتين القاعدتين في إثبات التشابه، فنحن نثبت أن أطوال الأضلاع متناسبة.‪‎‬‏

معامل التشابه هو نسبة الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة. ويعطى دائمًا في صورة مضاعف. يمكننا إيجاد معامل التشابه في اتجاه معين عن طريق حساب ناتج قسمة الطول الجديد لضلع على الطول الأصلي للضلع. وأخيرًا، لإيجاد معامل التشابه العكسي، فإننا نوجد مقلوب معامل التشابه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.