فيديو السؤال: تحديد إذا ما كان مستويان متوازيين أم متعامدين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

حدد إذا ما كان المستويان أربعة، اثنان، واحد ضرب قياسي ﺭ يساوي ثمانية، وسالب ﺱ على خمسة زائد ثلاثة ﺹ على ١٠ زائد ﻉ على خمسة يساوي واحدًا متوازيين أم متعامدين.

بالنظر إلى معادلتي هذين المستويين، نعرف أن أول ما علينا فعله هو تحديد مركبات المتجهين العموديين على المستويين. معادلة المستوى الأول، ونسميه المستوى واحدًا، معطاة لنا على الصورة المتجهة. وهذا يعني أن المتجه المضروب ضربًا قياسيًّا في ﺭ متجه عمودي على المستوى. إذا أسمينا هذا المتجه العمودي ﻥ واحدًا، يمكننا القول إذن إن مركباته هي أربعة، اثنان، واحد.

بالنسبة إلى معادلة المستوى الثاني، وسنسميه المستوى اثنين، فهي معطاة لنا تقريبًا على ما يعرف بالصورة العامة. لكن لكي نكتب المعادلة بهذه الطريقة، يجب أن يكون الطرف الأيمن صفرًا وليس واحدًا. ويمكننا تحقيق ذلك بطرح واحد من كلا الطرفين. لكن على أي حال، ما يهمنا هو القيم المضروبة في ﺱ وﺹ وﻉ في هذه المعادلة. ذلك لأن هذه القيم هي التي تكون مركبات المتجه العمودي على هذا المستوى. سنسمي هذا المتجه ﻥ اثنين. ونرى أن مركباته هي سالب خمس، وثلاثة على ١٠، وخمس.

الآن يمكننا التنويه على أن هذا ليس المتجه الوحيد العمودي على المستوى اثنين. في الحقيقة، يمكننا ضرب هذا المتجه في أي ثابت ﺟ لا يساوي صفرًا، وسيعطينا متجهًا عموديًّا على المستوى. ولكي نجعل ﻥ اثنين أبسط في التعامل معه، دعونا نفترض أن ﺟ يساوي موجب خمسة. بعبارة أخرى: نضرب جميع مركبات هذا المتجه في خمسة. ويعطينا هذا متجهًا ناتجًا مركباته هي سالب واحد، ثلاثة أنصاف، واحد.

والآن بعد أن عرفنا مركبات المتجهين العموديين على كل من المستويين لدينا، يمكننا البدء في التحقق مما إذا كان هذان المستويان متوازيين أم متعامدين. بوجه عام، إذا كان مستويان متوازيين، فهذا يعني أن متجهيهما العموديين، ﻥ واحدًا وﻥ اثنين، يساوي أحدهما الآخر مضروبًا في قيمة ثابتة. بعبارة أخرى، يوجد ثابت ما، نسميه ﻙ، يمكن أن نضرب فيه أحد المتجهين العموديين بحيث يساوي المتجه الآخر. إذا كان المستويان غير متوازيين، فقد يكونان متعامدين. وشرط ذلك هو أن يكون حاصل الضرب القياسي لـ ﻥ واحد وﻥ اثنين مساويًا صفرًا.

دعونا نطبق هذين الاختبارين على المستويين اللذين لدينا، وسنبدأ باختبار ما إذا كان المستويان متوازيين. يمكننا أن نبدأ إجراء هذا الاختبار بالنظر إلى المتجهين العموديين، وتحديدًا تحليل قيمتي المركبة ﺱ لهما. إذا وجد ثابت يمكن أن نضرب فيه ﻥ اثنين ليساوي ﻥ واحدًا، يمكننا الحل لإيجاد قيمة هذا الثابت للتحقق من هذه المعادلة. إذا كان أربعة يساوي ﻙ في سالب واحد، فهذا يعني أن ﻙ لا بد أن يساوي سالب أربعة. وهذه هي قيمة ﻙ الوحيدة التي تحقق هذه المعادلة.

حسنًا، لننظر الآن إلى قيمتي المركبة ﺹ ثم قيمتي المركبة ﻉ، ونتحقق مما إذا كانت قيمة ﻙ نفسها تصلح لهما. لنجرب قيمتي المركبة ﺹ أولًا. نريد أن نعرف إذا ما كان اثنان يساوي ﻙ في ثلاثة أنصاف أم لا؛ حيث ﻙ يساوي سالب أربعة. سالب أربعة في ثلاثة على اثنين يساوي سالب ستة. وهذا لا يساوي اثنين. إذن لا يمكن استخدام قيمة ﻙ هذه بشكل دائم مع جميع الأبعاد حتى يصبح المتجهان العموديان متساويين. وهذا يعني أنه لا يوجد ثابت يمكننا أن نضرب فيه هذين المتجهين ليصبحا متساويين. وهذا يعني أن المستويين، ويمثلهما المتجهان ﻥ واحد وﻥ اثنان، غير متوازيين.

حسنًا، لنتحقق مما إذا كانا متعامدين. إذا كانا كذلك، فلا بد أن يكون حاصل الضرب القياسي للمتجه العمودي على أحد المستويين والمتجه العمودي على المستوى الآخر يساوي صفرًا. نلاحظ أن حاصل الضرب القياسي هذا يساوي أربعة في سالب واحد زائد اثنين في ثلاثة أنصاف زائد واحد في واحد، وبالتبسيط، فإنه سيساوي سالب أربعة زائد ثلاثة زائد واحد. وهذا يساوي صفرًا؛ أي إن ﻥ واحدًا ضرب قياسي ﻥ اثنين يساوي صفرًا للمستويين اللذين لدينا. وعليه يمكننا القول إن المستويين في هذا السؤال متعامدان.