فيديو: إيجاد طول قوس من منحنى قلبي بمعلومية معادلته القطبية

أوجد طول قوس المنحنى القلبي بالمعادلة القطبية ر = ٢ + ٢ جتا 𝜃 .

٠٥:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد طول قوس المنحنى القلبي بالمعادلة القطبية: ر يساوي اتنين زائد اتنين جتا 𝜃.

المنحنى القلبي بيبقى بالشكل ده؛ متماثل بالنسبة لمحور السينات. وطول القوس بالصورة القطبية بيبقى: تكامُل من 𝜃 واحد لـ 𝜃 اتنين الجذر التربيعي لـ ر تربيع، زائد د ر بالنسبة للـ 𝜃 الكل تربيع. كل ده بنكامله بالنسبة للـ 𝜃. المنحنى القلبي اللي عندنا ده، 𝜃 بدايتها عند الصفر، وبتنتهي عند الاتنين 𝜋.

فبما إن الرسم ده متماثل بالنسبة لمحور السينات. فممكن نقول إن هو عبارة عن اتنين تكامل بدايةً من الـ 𝜃 بتساوي الصفر، إلى الـ 𝜃 تساوي الـ 𝜋. يبقى محتاجين نوجد الـ ر تربيع، والـ د ر بالنسبة للـ 𝜃؛ علشان نعوّض بيها ونوجد طول القوس.

هنوجد اتنين زائد اتنين جتا 𝜃 الكل تربيع. يبقى مربع الأول أربعة. زائد … ضعف الأول في التاني اتنين في اتنين جتا 𝜃 في اتنين، يبقى تمنية جتا 𝜃. زائد … مربع التاني اتنين جتا 𝜃، تبقى أربعة جتا تربيع 𝜃. هنوجد تفاضل الـ ر بالنسبة للـ 𝜃، هتساوي … اتنين زائد اتنين جتا 𝜃 لمّا هنفاضلها، يبقى الاتنين دي عدد ثابت، هيبقى تفاضله بصفر. زائد … اتنين جتا 𝜃 ده عدد ثابت زيّ ما هو. والـ جتا 𝜃 هيبقى تفاضلها سالب جا 𝜃. هنوجد التربيع. هتساوي أربعة جا تربيع 𝜃.

يبقى طول القوس هيساوي اتنين تكامل من صفر لـ 𝜋. الجذر التربيعي أربعة زائد تمنية جتا 𝜃، زائد أربعة جتا تربيع 𝜃، زائد أربعة جا تربيع 𝜃. كل ده هنكامله بالنسبة للـ 𝜃.

من المتطابقات المثلثية، جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 بتساوي واحد. وفيه هنا أربعة مشتركة، يبقى أربعة جتا تربيع 𝜃 زائد أربعة جا تربيع 𝜃 هتساوي الأربعة. يبقى طول القوس هيساوي اتنين التكامل من صفر إلى 𝜋 للجذر التربيعي لأربعة زائد تمنية جتا 𝜃، زائد أربعة. وهنكامل بالنسبة للـ 𝜃. هنوجد قيمة التكامل ده. هنبسّطها بإن إحنا نجمع الأربعة زائد الأربعة. يبقى اتنين تكامل من صفر لـ 𝜋 للجذر التربيعي للتمنية زائد تمنية جتا 𝜃.

عشان نوجد التكامل للجذر التربيعي لتمنية زائد تمنية جتا 𝜃، هنضرب في مُرافق الجذر التربيعي اللي قدامنا ده. واللي هو الجذر التربيعي لتمنية ناقص تمنية جتا 𝜃. لمّا هنضرب في المرافق، يبقى اتنين تكامل من صفر لـ 𝜋 … الجذر التربيعي لتمنية زائد تمنية جتا 𝜃، لمّا هنضربها في مُرافقها، هيبقى تمنية تربيع ناقص تمنية تربيع جتا تربيع 𝜃. ده كله تحت الجذر التربيعي. على الجذر التربيعي للتمنية ناقص تمنية جتا 𝜃. وهنكامل بالنسبة للـ 𝜃 هيساوي …

من المتطابقات المثلثية، جا تربيع 𝜃 بتساوي واحد ناقص جتا تربيع 𝜃. يبقى لو أخدنا التمنية تربيع دي مشترك، هيتبقّى واحد ناقص جتا تربيع 𝜃. التمنية تربيع هنوجد لها الجذر التربيعي، هتبقى تمنية. والواحد ناقص جتا تربيع 𝜃، لمّا هنوجد لها الجذر التربيعي، هتبقى جا 𝜃. على الجذر التربيعي لتمنية ناقص تمنية جتا 𝜃. ده كله هنكامله من صفر لـ 𝜋، وهنضربه في اتنين بالنسبة للـ 𝜃.

هنلاحظ إن التمنية جا 𝜃، دي تفاضُل التمنية جتا 𝜃. يبقى قيمة التكامل ده هتساوي اتنين الجذر التربيعي لتمنية ناقص تمنية جتا 𝜃، على نص. وهنعوّض من الصفر إلى 𝜋. هنعوّض من الصفر لـ 𝜋. يبقى الاتنين على النص هتبقى أربعة. هناخدها مشترك برّه. يبقى الجذر التربيعي لتمنية ناقص تمنية جتا 𝜋، ناقص الجذر التربيعي لتمنية ناقص تمنية جتا صفر. الـ جتا 𝜋 قيمتها سالب واحد. والـ جتا صفر قيمتها واحد. يبقى هنا تمنية ناقص تمنية بقت صفر. والتمنية ناقص تمنية، مضروبة في سالب واحد، هتبقى تمنية زائد تمنية، ستاشر. تحت الجذر التربيعي؛ جذر التربيعي لستاشر، يبقى القيمة هتبقى أربعة.

يبقى قيمة التكامل ده أربعة في أربعة يساوي ستاشر. ويبقى هو ده طول قوس المنحنى القلبي: ر يساوي اتنين زائد اتنين جتا 𝜃.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.