فيديو السؤال: تصنيف الشكل الرباعي باستخدام إحداثيات رءوسه

نسخة الفيديو النصية

شكل رباعي تقع رءوسه عند النقاط اثنين وواحد، وثلاثة وثلاثة، وخمسة واثنين، وأربعة وصفر. من خلال إيجاد أطوال أضلاع الشكل الرباعي، ومع الوضع في الاعتبار ميول المستقيمات المتقاطعة، ما اسم الشكل الرباعي؟

لدينا إذن إحداثيات الرءوس الأربعة لشكل رباعي الأضلاع، ومطلوب منا تحديد نوعه. توجد بالطبع عدة احتمالات مختلفة. والمطلوب حل المسألة عن طريق تحديد أطوال أضلاع الشكل رباعي الأضلاع المعطى، ثم تحديد قيم انحدار المستقيمات المتقاطعة. سننظر إذن إلى خصائص هذا الشكل الرباعي لتحديد نوعه.

فلنبدأ بتحديد أطوال أضلاع الشكل الرباعي الأربعة. أسميت الرءوس الأربعة 𝐴 و𝐵 و𝐶 و𝐷؛ حتى نتمكن من الإشارة إليها بسهولة أكبر. ولحساب طول كل ضلع، سنستخدم صيغة المسافة، التي تخبرنا بأن المسافة بين النقطتين اللتين لهما الإحداثيات 𝑥 واحد و𝑦 واحد، و𝑥 اثنين و𝑦 اثنين، يمكن حسابها عن طريق حساب الجذر التربيعي لـ 𝑥 اثنين ناقص 𝑥 واحد الكل تربيع، زائد 𝑦 اثنين ناقص 𝑦 واحد الكل تربيع.

وهذا تطبيق لنظرية فيثاغورس. لدينا إذن أربعة أطوال علينا إيجاد قيمها: 𝐴𝐵 و𝐵𝐶 و𝐶𝐷 و𝐷𝐴. فلنبدأ بطول 𝐴𝐵. بتطبيق صيغة المسافة، نجد أن طول 𝐴𝐵 يساوي الجذر التربيعي لثلاثة ناقص اثنين الكل تربيع زائد ثلاثة ناقص واحد الكل تربيع. ويعطينا هذا الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد اثنين تربيع. واحد تربيع يساوي واحدًا، واثنان تربيع يساوي أربعة. إذن فطول 𝐴𝐵 يساوي الجذر التربيعي لخمسة.

لننظر الآن إلى طول الضلع 𝐵𝐶. بتطبيق صيغة المسافة، نجد أن طول هذا الضلع يساوي الجذر التربيعي لخمسة ناقص ثلاثة الكل تربيع زائد اثنين ناقص ثلاثة الكل تربيع. ويعطينا هذا الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد سالب واحد تربيع. اثنان تربيع يساوي أربعة، وسالب واحد تربيع يساوي واحدًا. لذا، يعطينا هذا إجمالًا الجذر التربيعي لخمسة.

حتى الآن لدينا ضلعان، من أضلاع هذا الشكل الرباعي، متساويان في الطول. فلننظر إلى الضلعين الأخيرين. صيغة المسافة للضلع 𝐶𝐷 تعطينا الجذر التربيعي لأربعة ناقص خمسة الكل تربيع زائد صفر ناقص اثنين الكل تربيع. ويعطينا ذلك الجذر التربيعي لسالب واحد تربيع زائد سالب اثنين تربيع. سالب واحد تربيع يساوي واحدًا، وسالب اثنين تربيع يساوي أربعة. وبذلك نحصل مرة أخرى على الجذر التربيعي لخمسة.

وأخيرًا، بالنسبة للضلع 𝐷𝐴، فإن صيغة المسافة تعطينا الجذر التربيعي لاثنين ناقص أربعة الكل تربيع زائد واحد ناقص صفر الكل تربيع. ويعطينا ذلك الجذر التربيعي لسالب اثنين تربيع زائد واحد تربيع، ما يعطينا مرة أخرى الجذر التربيعي لخمسة.

وهكذا، بتطبيق صيغة المسافة، وجدنا أن جميع الأضلاع الأربعة للشكل الرباعي متساوية الطول. فكل منها يساوي طوله الجذر التربيعي لخمسة. إذن، ما الذي نفهمه من ذلك عن نوع الشكل الرباعي الذي لدينا؟ من بين جميع الأنواع المختلفة من الشكل الرباعي التي ذكرت منذ قليل، هناك نوعان فقط يتميزان بأن جميع أضلاعهما الأربعة متساوية الطول. ويعني ذلك أن الشكل الرباعي الذي نتناوله هنا إما مربع وإما معين.

ولتحديد أيهما يكون، علينا الآن إيجاد قيم انحدار المستقيمات المتقاطعة. في المربع، جميع الرءوس تكون قائمة الزاوية، ما يعني أن المستقيمات المتقاطعة تكون متعامدة على بعضها. ويعني ذلك أن حاصل ضرب ميل كل منهما، والذي يمكننا الإشارة إليهما بـ 𝑚 واحد و𝑚 اثنين، يجب أن يساوي سالب واحد. في المعين، الأمر ليس كذلك.

وبحساب قيم انحدار أضلاع الشكل الرباعي الأربعة، نحدد ما إذا كانت هذه العلاقة موجودة أم لا. ولحساب قيم الانحدار، سيتعين علينا تطبيق صيغة الميل، التي تخبرنا بأن ميل القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين 𝑥 واحد و𝑦 واحد، و𝑥 اثنين و𝑦 اثنين يمكن حسابه بقسمة التغير في 𝑦 على التغير في 𝑥. إذن يكون 𝑦 اثنين ناقص 𝑦 واحد على 𝑥 اثنين ناقص 𝑥 واحد.

وهناك أربع قيم انحدار علينا حسابها. فلنبدأ بالضلع 𝐴𝐵. هنا 𝑦 اثنان ناقص 𝑦 واحد يساوي ثلاثة ناقص واحد، و𝑥 اثنان ناقص 𝑥 واحد يساوي ثلاثة ناقص اثنين. ويعطينا ذلك اثنين على واحد، ويمكن تبسيط هذا إلى اثنين. إذن فميل المستقيم 𝐴𝐵 هو اثنان. والآن، لننظر إلى الضلع التالي 𝐵𝐶. بالنسبة إلى 𝐵𝐶، 𝑦 اثنان ناقص 𝑦 واحد يساوي اثنين ناقص ثلاثة، و𝑥 اثنان ناقص 𝑥 واحد يساوي خمسة ناقص ثلاثة. ينتج عن ذلك ميل مقداره سالب واحد على اثنين للمستقيم 𝐵𝐶.

إذن فقد أصبح لدينا انحدار ضلعين، وعلينا إيجاد انحدار الضلعين الأخيرين. فلننظر الآن إلى الضلع 𝐶𝐷. الميل هنا هو صفر ناقص اثنين على أربعة ناقص خمسة. يمكن تبسيط ذلك ليعطينا سالب اثنين على سالب واحد. ويحذف السالبان أحدهما الآخر، ما يعطينا ميلًا مقداره اثنان للمستقيم 𝐶𝐷.

فلنوجد مقدار الميل الأخير، وهو ميل 𝐷𝐴. يساوي هذا الميل واحدًا ناقص صفر على اثنين ناقص أربعة. ويعادل ذلك واحدًا على سالب اثنين، والأفضل أن نكتب ذلك في صورة سالب نصف. إذن أصبح لدينا الآن ميل كل من الأضلاع الأربعة. وكما نلاحظ، فإن الأضلاع المتقابلة متوازية. وينطبق هذا على كل من المربع والمعين. إذن علينا النظر إلى العلاقة بين قيم انحدار الأضلاع المتجاورة - أي المستقيمات المتقاطعة.

جميع أزواج المستقيمات المتقاطعة لها قيم انحدار بمقدار اثنين وسالب نصف. وإذا ضربنا هاتين القيمتين معًا، فإننا نحصل على سالب واحد، ما يظهر أن جميع أزواج المستقيمات المتقاطعة متعامدة على بعضها.

وهكذا، أثبتنا أولًا أن هذا الشكل الرباعي له أربعة أضلاع متساوية الطول، ما يعني أنه قد يكون معينًا أو مربعًا. ثم حسبنا قيم انحدار المستقيمات المتقاطعة، وأثبتنا أن جميع أزواج المستقيمات المتقاطعة متعامدة على بعضها، ما يعني أن هذا الشكل الرباعي مربع.