نسخة الفيديو النصية
كوكبان في نظام نجمي، كتلة الكوكب الأول ١٫٢ في ١٠ أس ٢٢ كيلوجرامًا، ونصف قطره ٤٠٠٠ كيلومتر، وعجلة الجاذبية على سطحه ﺩ واحد. وكتلة الثاني ستة في ١٠ أس ٢١ كيلوجرامًا، ونصف قطره ٨٠٠٠ كيلومتر، وعجلة الجاذبية على سطحه ﺩ اثنان. أوجد النسبة ﺩ واحد إلى ﺩ اثنين، إذا كان ثابت الجذب العام ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١ نيوتن متر مربع لكل كيلوجرام تربيع.
في هذه المسألة، سنتناول قانون الجذب العام لنيوتن. ومن ثم، نفكر في استخدام صيغة ذلك، وهي قوة الجاذبية، أي ﻕ، تساوي ﺙ، وهو ثابت الجذب العام، مضروبًا في ﻙ واحد، مضروبًا في ﻙ اثنين على ﻑ تربيع؛ حيث ﻙ واحد وﻙ اثنان كتلتا الجسمين، وﻑ المسافة بينهما. لكن هذا لا يفيد كثيرًا في هذه المسألة؛ لأننا نتناول هنا عجلة الجاذبية على سطح كل من الكوكبين. ولا نتناول قوة الجاذبية بينهما. فما الذي سنفعله إذن؟
حسنًا، سنستخدم صيغة مستنتجة من قانون الجذب العام وقانون نيوتن الثاني. وهي ﺩ يساوي ﺙ في ﻙ على ﻑ تربيع. يشير ﺩ إلى عجلة الجاذبية. وﻑ هو نصف القطر. وهو هنا نصف قطر الكوكب الذي يعنينا. لدينا بعد ذلك ﺙ، وهو ثابت الجذب العام، ثم ﻙ وهو كتلة الكوكب. والآن، بعد أن أصبحت لدينا هذه الصيغة، يمكننا استخدامها لإيجاد عجلة الجاذبية على سطح كل من الكوكبين.
إذا بدأنا بالكوكب الأول، وسنسمي كتلته ﻙ واحد، فسنجد أن هذه الكتلة تساوي ١٫٢ في ١٠ أس ٢٢ كيلوجرامًا. ولدينا ﻑ واحد، أي نصف القطر، وهو يساوي ٤٠٠٠ كيلومتر. لكن إذا ألقينا نظرة على ثابت الجذب العام، فيمكننا ملاحظة أن وحدة قياسه هي نيوتن متر مربع لكل كيلوجرام تربيع. نريد أن نستخدم وحدة المتر؛ لذا سنحول ٤٠٠٠ كيلومتر إلى قيمته بوحدة المتر. ولكي نفعل ذلك، سنضرب في ١٠٠٠، وهو ما يعني أن نصف قطر الكوكب الأول يساوي أربعة ملايين متر.
أصبح لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لإيجاد عجلة الجاذبية على سطح الكوكب الأول. يمكننا القول إذن إن ﺩ واحد، أي عجلة الجاذبية على الكوكب الأول، تساوي ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١ مضروبًا في ١٫٢ في ١٠ أس ٢٢ على أربعة ملايين تربيع. وهذا يعطينا عجلة الجاذبية على الكوكب الأول، وهي تساوي ٠٫٠٥٠٠٢٥ متر لكل ثانية مربعة. حسنًا، يمكننا الآن الانتقال إلى الكوكب الثاني؛ لذا نفرغ بعض المساحة لاستكمال الحل.
بالنسبة إلى الكوكب الثاني، نحن نعلم أن كتلته تساوي ستة في ١٠ أس ٢١ كيلوجرامًا، ونصف قطره يساوي ٨٠٠٠ كيلومتر. مرة أخرى، نريد أن تكون الوحدة هي المتر. إذن، نضرب ذلك في ١٠٠٠، وهو ما يساوي ثمانية ملايين متر. أصبح لدينا الآن كل المعلومات التي نحتاج إليها لإيجاد عجلة الجاذبية على سطح الكوكب الثاني. ومن ثم، يمكننا القول إن ﺩ اثنين، أي عجلة الجاذبية على الكوكب الثاني، تساوي ٦٫٦٧ في ١٠ أس سالب ١١ في ستة في ١٠ أس ٢١ الكل مقسوم على ثمانية ملايين تربيع، وهو ما يعطينا أن عجلة الجاذبية تساوي ٦٫٢٥٣١٢٥ في ١٠ أس سالب ثلاثة أمتار لكل ثانية مربعة.
أصبح لدينا عجلة الجاذبية على كل من السطحين. لكن هذه ليست الإجابة؛ لأننا نريد إيجاد النسبة بينهما، وهو ما سنفعله الآن. هذا يعطينا النسبة ٠٫٠٥٠٠٢٥ إلى ٦٫٢٥٣١٢٥ في ١٠ أس سالب ثلاثة. تبدو النسبة غير مرتبة. لذا، يمكننا تبسيطها. يمكن قسمة الطرفين على العدد الأصغر، أي القيمة الموجودة في الطرف الأيسر. وعندما نقسم الطرفين على ٦٫٢٥٣١٢٥ في ١٠ أس سالب ثلاثة، نحصل على النسبة ثمانية إلى واحد. ومن ثم، يمكننا القول إن النسبة بين عجلة الجاذبية على سطح الكوكب الأول إلى عجلة الجاذبية على سطح الكوكب الثاني هي ثمانية إلى واحد.
