تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: تطبيقات على قانون نيوتن الثاني: البكرة الأفقية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل المتعلقة بحركة جسمين متصلين بخيط يمر على بكرة ملساء بحيث يرتكز أحد الجسمين على طاولة أفقية.

١٨:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل المتعلقة بحركة جسمين متصلين بخيط يمر على بكرة ملساء بحيث يرتكز أحد الجسمين على طاولة أفقية. وستتضمن الأمثلة حالات تكون فيها الطاولة ملساء أو خشنة. ولذلك، سنحل مسائل تتضمن احتكاكًا وأخرى لا تتضمنه. سنبدأ بتذكر قانون نيوتن الثاني ومعرفة كيف يمكننا استخدامه في هذا النوع من المسائل.

ينص قانون نيوتن الثاني للحركة على أن عجلة الجسم تعتمد على متغيرين: أولًا محصلة القوى المؤثرة على الجسم، وثانيًا كتلة الجسم. يقودنا هذا إلى معادلة: القوة تساوي الكتلة مضروبة في العجلة. في جميع أسئلة هذا الفيديو، سنتناول بكرة ملساء. هذا يعني أنه لن يوجد احتكاك. وسنتعامل أيضًا مع خيط خفيف غير مرن. وهذا يعني أن الخيط ليست له كتلة، وطوله ثابت. وبما أن الخيط غير مرن، ستكون عجلة الأجسام المتصلة به متساوية. وأخيرًا، عند التعامل مع المسائل التي تتضمن طاولة خشنة، علينا أن نأخذ في الاعتبار قوة الاحتكاك. قوة الاحتكاك تساوي ﻡ مضروبًا في قوة رد الفعل ﺭ؛ حيث ﻡ هو معامل الاحتكاك الذي يمكن أن يأخذ قيمة تتراوح بين صفر وواحد بما في ذلك العددان. من الناحية العملية، تعبر هذه القيمة عن مدى خشونة الطاولة. فكلما زادت قيمة ﻡ، زادت قوة الاحتكاك.

في السؤال الأول، نريد أن نحسب قوة الشد في الخيط.

ربط جسمان كتلتاهما ١٥ و١٦٫٥ كيلوجرامًا على الترتيب بطرفي خيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء مثبتة على حافة طاولة أفقية ملساء. وضع الجسم ذو الكتلة الكبرى على الطاولة، وعلق الجسم الأصغر بحيث يتدلى رأسيًا أسفل البكرة. أوجد الشد في الخيط، علمًا بأن عجلة الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

في الأسئلة من هذا النوع، نبدأ بتمثيل الموقف من خلال رسم تخطيطي. تخبرنا المسألة أن كتلتي الجسمين ١٥ و١٦٫٥ كيلوجرامًا. وعليه، فالقوتان المناظرتان لهما والمؤثرتان لأسفل هما: ‎١٥ﺩ و‎١٦٫٥ﺩ على الترتيب؛ حيث ﺩ عجلة الجاذبية، وتساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. البكرة والطاولة ملساوان، لذا لن نفكر في الاحتكاك في هذه المسألة. كما أن مقدار الشد ﺵ في الخيط ثابت على طول الخيط. وبما أن الخيط غير مرن، سيتحرك الجسمان بالعجلة نفسها عندما يبدأ النظام في الحركة. عند البدء، نفترض أن الجسم المتدلي سيتحرك بعجلة لأسفل.

يمكننا هنا استخدام قانون نيوتن الثاني، القوة تساوي الكتلة في العجلة، لتكوين بعض المعادلات. إذا نظرنا إلى الجسم المرتكز على الطاولة، فسنجد أنه يتحرك في اتجاه أفقي. والقوة الوحيدة المؤثرة في هذا الاتجاه هي قوة الشد ﺵ. إذن، ﺵ تساوي ١٦٫٥ مضروبًا في ﺟ. أما الجسم المتدلي ﺏ فيتحرك بعجلة في اتجاه رأسي لأسفل. تؤثر القوة ‎١٥ﺩ في هذا الاتجاه، ويؤثر الشد في الاتجاه المعاكس. ويعني هذا أن مجموع القوتين يساوي ‎١٥ﺩ ناقص ﺵ. هذا يساوي ‎١٥ﺟ. وبما أن ﺩ تساوي ٩٫٨، و١٥ مضروبًا في ٩٫٨ يساوي ١٤٧؛ فإنه يمكن تبسيط هذه المعادلة إلى: ١٤٧ ناقص ﺵ يساوي ‎١٥ﺟ.

لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا حلهما لحساب العجلة ﺟ، ومقدار الشد ﺵ في الخيط. بالرغم من أن ما يعنينا في هذه المسألة هو حساب مقدار الشد فقط، فمن الأسهل إيجاد قيمة ﺟ أولًا. وذلك لأن ﺵ في طرف بمفرده في المعادلة واحد. بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية يصبح لدينا: ١٤٧ ناقص ‎١٦٫٥ﺟ يساوي ‎١٥ﺟ. يمكننا إضافة ‎١٦٫٥ﺟ إلى كلا الطرفين، لنحصل على: ١٤٧ يساوي ٣١٫٥ﺟ. وأخيرًا، بالقسمة على ٣١٫٥، نجد أن ﺟ يساوي ١٤ ثلثًا، أو ١٤ على ثلاثة. يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في المعادلة واحد. علينا أن نضرب ١٤ على ثلاثة في ١٦٫٥. وهو ما يعطينا ٧٧. نستنتج إذن أن مقدار الشد في الخيط يساوي ٧٧ نيوتن.

في السؤال التالي، سنتناول مسألة تتضمن طاولة أفقية خشنة.

جسم كتلته ٢٠٣ جرامات يرتكز على طاولة أفقية خشنة. ربط الجسم بجسم آخر بواسطة خيط خفيف غير مرن يمر عبر بكرة ملساء مثبتة بطرف الطاولة، وهذا الجسم الآخر كتلته ٤٩٣ جرامًا، ويتدلى رأسيًا أسفل البكرة. إذا كان معامل الاحتكاك بين الجسم الأول والطاولة ٠٫٢، فأوجد عجلة النظام. عجلة الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

نبدأ برسم النظام. بما أنه يوجد ١٠٠٠ جرام في الكيلوجرام، فإن الجسم الذي يرتكز على الطاولة يؤثر لأسفل بقوة مقدارها ‎٠٫٢٠٣ﺩ. وهذا المقدار هو كتلته مضروبة في عجلة الجاذبية. وبما أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، فإن القوة المؤثرة لأسفل تساوي ١٫٩٨٩٤ نيوتن. كتلة الجسم المتدلي تساوي ٤٩٣ جرامًا، أي تساوي ٠٫٤٩٣ كيلوجرام. وبضرب هذا في ٩٫٨، يصبح لدينا قوة مؤثرة لأسفل مقدارها ٤٫٨٣١٤ نيوتن. نعلم أن مقدار الشد في الخيط ثابت نظرًا لعدم وجود احتكاك بينه وبين البكرة. وبما أن الطاولة الأفقية ذات سطح خشن، فستوجد قوة احتكاك. وكذلك علينا أن نأخذ في الاعتبار قوة رد الفعل لأعلى نتيجة لتأثير الجسم المرتكز على الطاولة. عند بدء النظام، سيتحرك الجسم المتدلي بعجلة لأسفل، وسيتحرك الجسم المرتكز على الطاولة بعجلة في اتجاه البكرة. وبما أن الخيط غير مرن، سيتحرك الجسمان بالعجلة نفسها.

يمكننا حل هذه المسألة باستخدام معادلتين، أولاهما هي قانون نيوتن الثاني. وينص هذا القانون على أن مجموع القوى يساوي الكتلة مضروبة في العجلة. والمعادلة الثانية هي: قوة الاحتكاك تساوي ﻡﺭ؛ حيث ﻡ معامل الاحتكاك، ويساوي ٠٫٢ في هذه الحالة. دعونا نبدأ بالجسم المرتكز على الطاولة ﺃ. نلاحظ أنه لا توجد عجلة في الاتجاه الرأسي. إذن القوى المؤثرة لأعلى ستساوي القوى المؤثرة لأسفل. ‏‏ﺭ تساوي ١٫٩٨٩٤. ببحث القوى المؤثرة في الاتجاه الأفقي، نجد أن لدينا ﺵ ناقص ﺣ. وذلك لأن الشد يؤثر في الاتجاه الموجب، وقوة الاحتكاك تؤثر في الاتجاه السالب. وهذا يساوي كتلة الجسم ٠٫٢٠٣ مضروبة في العجلة ﺟ.

بالانتقال إلى الجسم المتدلي، نجد أنه يتحرك بعجلة لأسفل. ويعني هذا أن مجموع القوتين يساوي ٤٫٨٣١٤ ناقص ﺵ. أي ما يساوي ‎٠٫٤٩٣ﺟ. وباستخدام معادلة: الاحتكاك يساوي ﻡﺭ؛ نجد أن قوة الاحتكاك تساوي ٠٫٢ مضروبًا في ١٫٩٨٩٤. وهذا يساوي ٠٫٣٩٧٨٨. لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا حلهما لإيجاد قيمة الشد ﺵ والعجلة ﺟ. ما يعنينا في هذه المسألة هو العجلة فقط، لذا من المنطقي حذف ﺵ من هاتين المعادلتين. يمكننا فعل ذلك بجمع المعادلة واحد والمعادلة اثنين؛ حيث تحذف حدود ﺵ معًا. يصبح لدينا في الطرف الأيمن ٤٫٨٣١٤ زائد سالب ٠٫٣٩٧٨٨، والطرف الأيسر يساوي ‎٠٫٦٩٦ﺟ.

بتبسيط الطرف الأيمن نحصل على ٤٫٤٣٣٥٢. ثم بقسمة طرفي هذه المعادلة على ٠٫٦٩٦، نجد أن ﺟ يساوي ٦٫٣٧. إذن، عجلة النظام تساوي ٦٫٣٧ أمتار لكل ثانية مربعة.

يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة واحد أو اثنين لحساب مقدار الشد. لكن هذا ليس مطلوبًا في السؤال.

في السؤال الأخير، سنتناول أيضًا معادلات العجلة المنتظمة.

يرتكز جسم كتلته ٢٠٠ جرام على طاولة أفقية خشنة. ربط الجسم، بواسطة خيط خفيف غير مرن يمر ببكرة ملساء مثبتة على حافة الطاولة، بجسم آخر له نفس الكتلة ويتدلى رأسيًا أسفل البكرة على مسافة سنتيمترين فوق الأرض. معامل الاحتكاك بين الطاولة والجسم الذي يرتكز عليها يساوي ثلثًا. إذا بدأ النظام في الحركة من السكون وسقط الجسم المتدلي حتى اصطدم بالأرض، فكم تبلغ المسافة التي قطعها الجسم المرتكز على الطاولة حتى توقف عن الحركة؟ عجلة الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

يوجد الكثير من المعطيات في هذا السؤال، لذا سنبدأ برسم شكل توضيحي له. لدينا جسمان كتلة كل منهما ٢٠٠ جرام. ووزن كل جسم منهما يساوي كتلته مضروبة في عجلة الجاذبية. ولأن كل كيلوجرام يتكون من ١٠٠٠ جرام، فإن كلًا من الجسمين سيؤثر لأسفل بقوة مقدارها ‎٠٫٢ﺩ. وسيكون مقدار الشد متساويًا على طول الخيط. عند بدء النظام في الحركة، يتحرك الجسم المتدلي بعجلة إلى أسفل، ويتحرك الجسم المرتكز على الطاولة بعجلة إلى اليمين. وبما أن الطاولة الأفقية ذات سطح خشن، فستؤثر قوة احتكاك على الجسم. كما توجد قوة رد فعل مؤثرة رأسيًا لأعلى.

نعلم أن قوة الاحتكاك تساوي ﻡ مضروبًا في قوة رد الفعل؛ حيث ﻡ هو معامل الاحتكاك ويساوي ثلثًا في هذه المسألة. ينص قانون نيوتن الثاني على أن القوة تساوي الكتلة مضروبة في العجلة. ويمكننا استخدام ذلك عند بحث القوى المؤثرة في الاتجاهين الرأسي والأفقي. لا يتحرك الجسم المرتكز على الطاولة رأسيًا. وعليه، فإن القوى المؤثرة لأعلى يجب أن تساوي القوى المؤثرة لأسفل. لدينا ﺭ يساوي ‎٠٫٢ﺩ. كما أن قوة الاحتكاك لا بد أن تساوي ثلث هذا المقدار. وهو ما يعني أن قوة الاحتكاك تساوي ٤٩ على ٧٥ نيوتن. نعرف أيضًا أن الجسم المتدلي يقع على مسافة سنتيمترين فوق الأرض، والآن لنفرغ بعض المساحة لبقية الحسابات.

ببحث القوى المؤثرة أفقيًا على الجسم المرتكز على الطاولة، نجد أن مجموع القوتين يساوي ﺵ ناقص ﺣ. وهو ما يساوي ٠٫٢ﺟ. يمكننا التعويض بقيمة قوة الاحتكاك هنا. يتحرك الجسم المتدلي بعجلة لأسفل. وهذا يعطينا المعادلة: ‎٠٫٢ﺩ ناقص ﺵ يساوي ‎٠٫٢ﺟ. إذن أصبح لدينا زوج من المعادلات الآنية يمكننا حله لحساب قيمة العجلة ﺟ. بجمع المعادلة واحد والمعادلة اثنين، نحصل على: ٩٨ على ٧٥ يساوي ‎٠٫٤ﺟ. بقسمة كلا الطرفين على ٠٫٤ نجد أن العجلة تساوي ٤٩ على ١٥. بمجرد بدء النظام في الحركة، سيتحرك بعجلة ٤٩ على ١٥ متر لكل ثانية مربعة.

بعد أن يصطدم الجسم المتدلي بالأرض يرتخي الخيط، ويصبح مقدار الشد فيه مساويًا للصفر. يمكننا إذن حساب عجلة الجسم المرتكز على الطاولة بعد هذه النقطة بحل المعادلة: سالب ٤٩ على ٧٥ يساوي ‎‎٠٫٢ﺟ. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ٠٫٢، نجد أن ﺟ تساوي سالب ٤٩ على ١٥. نلاحظ أن العجلة بعد ارتخاء الخيط تساوي سالب مقدار العجلة قبل ارتخائه.

لنفكر الآن فيما يحدث للجسم المرتكز على الطاولة خلال حركته. نعلم أنه يبدأ من السكون ويتحرك بعجلة منتظمة تساوي ٤٩ على ١٥ متر لكل ثانية مربعة. وخلال هذا الزمن، يقطع مسافة مقدارها سنتيمتران؛ حيث يقطع نفس المسافة التي يقطعها الجسم ﺏ. بعد اصطدام الجسم المتدلي بالأرض، يتباطأ الجسم المرتكز على الطاولة. وتصبح عجلته سالب ٤٩ على ١٥ متر لكل ثانية مربعة. علينا إذن حساب المسافة التي قطعها قبل أن يتوقف. لاحظ أن السرعة النهائية للجزء الأول من الرحلة تساوي السرعة الابتدائية للجزء الثاني.

يمكننا الآن استخدام معادلات الحركة بعجلة ثابتة التي تربط بين المسافة والسرعة والزمن لإيجاد ﻑ. القيم التالية معلومة لدينا بالنسبة إلى جزأي الرحلة. إذن يمكننا التعويض بهذه القيم في المعادلة: ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ. في الجزء الأول، بما أن ﻉ صفر تساوي صفرًا، يصبح لدينا: ﻉ تربيع يساوي اثنين مضروبًا في ٤٩ على ١٥ مضروبًا في اثنين. وفي الجزء الثاني، بما أن ﻉ يساوي صفرًا، يصبح لدينا: صفر يساوي ﻉ تربيع زائد اثنين مضروبًا في سالب ٤٩ على ١٥ مضروبًا في ﻑ.

يمكننا حل هاتين المعادلتين آنيًا لحذف ﻉ تربيع. وبعد ذلك نقسم المعادلة الجديدة على اثنين، و٤٩ على ١٥. اثنان ناقص ﻑ يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﻑ يساوي اثنين. إذن، يقطع الجسم سنتيمترين إضافيين إلى أن يتوقف. وهذه هي نفس المسافة المقطوعة في الجزء الأول من الرحلة، لأن مقداري العجلة والتباطؤ متساويان.

سنلخص الآن النقاط الأساسية لهذا الفيديو. في هذا الفيديو، استخدمنا قانون نيوتن الثاني للحركة، ﻕ تساوي ﻙﺟ، لحل المسائل التي تتضمن وجود جسم على مستوى أفقي متصل بجسم آخر يتدلى أسفل بكرة ملساء. عندما يكون السطح الأفقي خشنًا، يمكننا حساب قوة الاحتكاك عن طريق ضرب ﻡ في قوة رد الفعل؛ حيث ﻡ هو معامل الاحتكاك، ويأخذ قيمة تتراوح من صفر إلى واحد. كما رأينا أنه في المسائل الأكثر تعقيدًا يمكننا استخدام معادلات الحركة التي تربط بين المسافة والسرعة والزمن. وتتضمن مثل هذه المسائل عجلة ثابتة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.