فيديو: إيجاد مصفوفة مجهولة في معادلة باستخدام المعكوس الضربي لمصفوفة أخرى

بمعلومية النظام الموضح، ‪(1، −1، −1، −2، 0، 0، −8، −4، 0)(𝑥، 𝑦، 𝑧) = (4، 8، 0)‬‏ أوجد قيم ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏، ‪𝑧‬‏.

٠٥:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

بمعلومية النظام الموضح، أوجد قيم ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏.

دعونا نتذكر هذا التعريف: ‪𝐴‬‏ في ‪𝑛‬‏ (و𝑛 مكتوب في صورة حرف صغير لأنه يعبر عن متجه) يساوي ‪𝑏‬‏. لإيجاد قيم ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏، وهي عناصر المتجه الذي سميناه ‪𝑛‬‏، علينا إيجاد المعكوس الضربي للمصفوفة ‪𝐴‬‏.

‏‏‪𝑛‬‏ يساوي المعكوس الضربي للمصفوفة ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝑏‬‏. ولا ننسى أن الترتيب هنا مهم. إذ لن نتمكن من ضرب ‪𝑏‬‏ في المعكوس الضربي للمصفوفة ‪𝐴‬‏؛ لأن عدد الأعمدة في ‪𝑏‬‏ لا يساوي عدد الصفوف في ‪𝐴‬‏.

لإيجاد المعكوس الضربي للمصفوفة ‪𝐴‬‏، علينا إجراء بعض الخطوات المعقدة. إذا كان مسموحًا لك باستخدام آلة حاسبة رسومية، يمكنك أن تستخدمها في هذه المرحلة للانتقال مباشرة إلى الخطوة الأخيرة. الخطوة الأولى: إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة، أما الخطوة الثانية، فهي تدوير مصفوفة العوامل المرافقة لإيجاد المصفوفة المرافقة، والخطوة الثالثة هي ضرب الناتج في واحد على محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏.

بالنسبة للمصفوفة المعطاة، هذه هي الصيغة التي يجب استخدامها لإيجاد مصفوفة العوامل المرافقة. هناك طريقة جيدة لتذكر هذه الصيغة، وهي أن تغطي الصف والعمود اللذين تقف عندهما، وتحسب قيمة محدد المصفوفة الظاهرة لديك. ثم يمكنك وضع الإشارة المناسبة لهذا العدد بالتبادل مع الأعداد التالية. الصف العلوي: موجب، سالب، موجب، والصف الثاني: سالب، موجب، سالب، والصف الثالث: موجب، سالب، موجب.

تذكر أنه إذا كانت الصيغة تخبرك بأن الناتج سالب، فعليك الضرب في سالب واحد، أي إن عليك تغيير الإشارة. أولًا، سنحسب قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين في الصف الأول والعمود الأول. لكي نفعل ذلك، نضرب العنصر العلوي الأيسر في العنصر السفلي الأيمن، ثم نطرح حاصل ضرب العنصر العلوي الأيمن في العنصر السفلي الأيسر.

العنصر الأول في المصفوفة يساوي صفرًا في صفر، ناقص صفر في سالب أربعة، يساوي صفرًا. والعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني يساوي سالب اثنين في صفر ناقص سالب ثمانية في صفر، ويساوي صفرًا أيضًا. والعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث يساوي سالب اثنين في سالب أربعة ناقص صفر في سالب ثمانية، يساوي ثمانية.

دعونا نكرر هذه العملية لنحصل على الصف الثاني. سالب واحد في صفر ناقص سالب واحد في سالب أربعة يساوي سالب أربعة. لكن عندما نعوض بهذه القيمة في مصفوفة العوامل المرافقة، علينا الضرب في سالب واحد. فيصبح الناتج موجب أربعة. واحد في صفر ناقص سالب واحد في سالب ثمانية يساوي سالب ثمانية، وواحد في سالب أربعة ناقص سالب واحد في سالب ثمانية يساوي سالب ‪12‬‏.

لكن عندما نعوض بهذه القيمة في المصفوفة، نجد الإشارة سالبة. لذا نضرب في سالب واحد، لنحصل على موجب ‪12‬‏. وأخيرًا، الصف الثالث: سالب واحد في صفر ناقص سالب واحد في صفر يساوي صفرًا. واحد في صفر ناقص سالب واحد في سالب اثنين يساوي سالب اثنين. ثم، عندما أضع هذه القيمة في المصفوفة، أضربها في سالب واحد، لأحصل على موجب اثنين. وأخيرًا، واحد في صفر ناقص سالب واحد في سالب اثنين يساوي سالب اثنين. ها قد أوجدنا مصفوفة العوامل المرافقة.

الخطوة الثانية هي إيجاد المصفوفة المرافقة لمصفوفة العوامل المرافقة. وذلك عن طريق تدوير الصفوف والأعمدة، بما يبدو كأنه انعكاس حول القطر. العناصر الموجودة على القطر تبقى كما هي. ثم نبدل صفرًا مع أربعة، وثمانية مع صفر، و‪12‬‏ مع اثنين.

أما خطوتنا الأخيرة فهي ضرب المصفوفة المرافقة في واحد على محدد المصفوفة الأصلية. ولكي نحسب قيمة المحدد، يمكننا استخدام هذه الصيغة. سنضرب كلًا من العناصر الموجودة في الصف العلوي في العوامل المرافقة المناظرة لها التي حسبناها قبل قليل.

واحد في صفر، ناقص سالب واحد في صفر، زائد سالب واحد في ثمانية، يساوي سالب ثمانية. نضرب الآن واحد على سالب ثمانية في المصفوفة المرافقة لمصفوفة العوامل المرافقة، كما هو موضح. وها قد أوجدنا أخيرًا معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏.

قلنا إنه لكي نحل نظام المصفوفات هذا، نضرب ‪𝑏‬‏ في معكوس المصفوفة ‪𝐴‬‏. إذن، ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا في أربعة، زائد سالب نصف في ثمانية، زائد صفر في صفر، يساوي سالب أربعة. و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا في أربعة، زائد واحد في ثمانية، زائد سالب ربع في صفر، يساوي ثمانية. و‪𝑧‬‏ يساوي سالب واحد في أربعة، زائد سالب ثلاثة على اثنين في ثمانية، زائد ربع في صفر، يساوي سالب ‪16‬‏.

إذن، ‪𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة، و‪𝑦‬‏ يساوي ثمانية، و‪𝑧‬‏ يساوي سالب ‪16‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.