نسخة الفيديو النصية
من خلال إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية، عبر عن ٠٫١٣ دوري زائد ٠٫٧٣٢ دوري في صورة كسر فعلي.
لنبدأ بتذكر الصيغة المستخدمة لإيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية. وهي ﺃ على واحد ناقص ﺭ. يمثل ﺃ الحد الأول في المتتابعة، وﺭ النسبة المشتركة. ولكي يكون هذا المجموع متقاربًا، يجب أن تكون القيمة المطلقة لـ ﺭ أصغر تمامًا من واحد. في السؤال، لدينا عددان عشريان دوريان ومطلوب منا إيجاد مجموعهما على صورة كسر فعلي من خلال إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية. يمكننا محاولة التعبير عن كل عدد من هذين العددين العشريين الدوريين، كل على حدة، على صورة متتابعتين هندسيتين غير منتهيتين. لكن بما أن السؤال يقيدنا بمتتابعة هندسية غير منتهية واحدة، فلنوجد أولًا مجموعهما على الصورة العشرية.
أولًا: ٠٫١٣ دوري هو العدد العشري ٠٫١٣١٣١٣١٣ وهكذا مع توالي الأرقام، وهذا لأن يوجد نقطتين موضوعتين فوق كل من واحد وثلاثة. إذن، يتكرر كلا العددين. وفي العدد العشري الثاني، نلاحظ نقطتين موضوعتين فوق العددين ثلاثة واثنين فقط، إذن هذا هو العدد العشري ٠٫٧٣٢٣٢٣٢٣٢ وهكذا مع توالي الأرقام. إذا أجرينا الآن عملية جمع على الطريقة الرأسية، فسنحصل على العدد العشري ٠٫٨٦٣٦٣٦٣٦ وهكذا مع توالي الأرقام. ومن ثم، يكون لدينا عدد عشري دوري آخر، هو ٠٫٨٦٣ دوري. سنرى كيف يمكننا التعبير عن كل عدد عشري دوري على صورة مجموع متتابعة هندسية غير منتهية.
الآن، دعونا نفصل أرقام هذا العدد العشري. يمكننا كتابته على الصورة ٠٫٨ زائد ٠٫٠٦٣ زائد ٠٫٠٠٠٦٣ زائد ٠٫٠٠٠٠٠٦٣ وهكذا مع توالي الأرقام. كل حد من جميع هذه الحدود باستثناء الحد ٠٫٨ أصغر ١٠٠ مرة من الحد السابق له. إذن، تكون الحدود متتابعة هندسية لها نسبة مشتركة ﺭ تساوي واحدًا على ١٠٠، أو ٠٫٠١. الحد الأول في هذه المتتابعة هو ٠٫٠٦٣. وبهذا، يمكننا التعويض بقيمة كل من ﺃ وﺭ التي قيمتها المطلقة أصغر تمامًا من واحد في صيغة المجموع اللانهائي. وهذا يعطينا ٠٫٠٦٣ على واحد ناقص ٠٫٠١. وهذا ما يساوي ٠٫٠٦٣ على ٠٫٩٩. بعد ذلك، يمكننا ضرب كل من البسط والمقام في ١٠٠٠ لكي يتحولا إلى عددين صحيحين. وهذا يعطينا ٦٣ على ٩٩٠. ويمكننا بعد ذلك قسمة كل من بسط هذا الكسر ومقامه على تسعة لنحصل على الكسر المبسط سبعة على ##١١٠.
بذلك نكون قد توصلنا إلى أن مجموع هذه المتتابعة الهندسية غير المنتهية يساوي سبعة على ١١٠. لكن لكتابة هذا العدد العشري بالكامل على صورة كسر، علينا تضمين العدد العشري ٠٫٨ الموجود في البداية. يمكن كتابته على صورة الكسر ثمانية على ١٠. إذن، علينا أن نجمع ثمانية على ١٠ وسبعة على ١١٠. بضرب كل من بسط ومقام الكسر ثمانية على ١٠ في ١١، نحصل على ٨٨ على ١١٠. ثم نضيف سبعة على ١١٠ إلى هذه القيمة، وهو ما يعطينا ٩٥ على ١١٠. بعد ذلك، يمكننا قسمة البسط والمقام على خمسة لنحصل على ١٩ على ٢٢.
هذا هو الحل النهائي للمسألة. إذن، من خلال إيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية، نكون قد عبرنا عن المجموع العشري ٠٫١٣ دوري زائد ٠٫٧٣٢ دوري على صورة الكسر ١٩ على ٢٢.
