نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتناول كيفية تبسيط المقادير الجبرية من خلال تجميع الحدود المتشابهة. وسوف نتناول المقادير التي تحتوي على أعداد وحروف وتركيبات من الحروف، وسوف نعرف ما يترتب على وجود بعض المقادير داخل أقواس.
يمكننا تبسيط المقادير الجبرية عن طريق تجميع الحدود المتشابهة أو دمجها. فعلى سبيل المثال، نحن نجمع جميع الأعداد معًا، وجميع حدود ﺱ معًا، وجميع حدود ﺹ معًا، وهكذا.
بسط اثنان زائد ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص ﺱ زائد خمسة ﺹ زائد أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد سبعة. بالتفكير في الحدود العددية البحتة أولًا، لدينا اثنان، ولدينا زائد سبعة. ثم بالنظر إلى حدود ﺱ، لدينا زائد ثلاثة ﺱ ناقص ﺱ زائد أربعة ﺱ. وبهذا يتبقى لدينا حدود ﺹ وهي: زائد اثنين ﺹ زائد خمسة ﺹ ناقص ثلاثة ﺹ. يجد البعض أنه من المفيد استخدام ألوان أو أشكال مختلفة لتتبع الحدود المتشابهة التي استخدموها حتى الآن والتي لم يستخدموها بعد.
لنتناول أولًا الحدود العددية البحتة، اثنان زائد سبعة يساوي تسعة. بعد ذلك، لدينا حدود ﺱ. فلدينا ثلاثة ﺱ ناقص ﺱ يساوي اثنين ﺱ، زائد أربعة ﺱ يساوي ستة ﺱ، وهذا يساوي موجب ستة ﺱ. ثم لدينا حدود ﺹ وهي، اثنان ﺹ زائد خمسة ﺹ يساوي سبعة ﺹ، ناقص ثلاثة ﺹ يساوي موجب أربعة ﺹ. ويميل معظم الأشخاص إلى وضع الحدود التي تتضمن رموزًا أولًا والحدود العددية البحتة في نهاية المقدار. إذن نقول إنه يساوي ستة ﺱ زائد أربعة ﺹ زائد تسعة.
لكن في بعض الأحيان، بعض الحدود تكون أكثر تعقيدًا مثل ﺱﺹ أو ﺹ تكعيب. وعلينا أن نتمكن من تحديد الحدود المتشابهة في هذه المقادير أيضًا.
على سبيل المثال، بسط ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱﺹ زائد سبعة ﺹ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد خمسة ﺹﺱ ناقص ﺹ تكعيب ناقص اثنين ﺱ تربيع.
في هذا المقدار، لدينا الحدان ثلاثة ﺱ وناقص اثنين ﺱ، وكل منهما عبارة عن أعداد بحتة مضروبة في ﺱ. إذن لنكتبهما أولًا. ثم إذا بحثنا عن حدي ﺱ تربيع، فسنجد زائد أربعة ﺱ تربيع وناقص اثنين ﺱ تربيع. والآن لنبحث عن حدود ﺱﺹ. حسنًا، لدينا ناقص اثنين ﺱﺹ. ولدينا كذلك زائد خمسة ﺹﺱ. وبما أن الضرب عملية إبدالية، فهذا يعني أن ﺹﺱ هو نفسه ﺱﺹ. ولذا، سأكتب خمسة ﺹﺱ على صورة خمسة ﺱﺹ.
بعد ذلك، لدينا الحدود التي تتضمن ﺹ تربيع. حسنًا، يوجد حد واحد منها فقط وهو: سبعة ﺹ تربيع. لقد كتبنا جميع الحدود، باستثناء الحدود التي تتضمن ﺹ تكعيب. لدينا ناقص ﺹ تكعيب. إذن، الحدود المتشابهة هي حدود تمثل ببساطة مضاعفات الحرف نفسه، أو الرمز نفسه مرفوعًا للقوة أو الأس نفسه، أو التركيب نفسه من الحروف مضروبة بعضها في بعض، أي ﺱﺹ، ﺹﺱ. ثلاثة ﺱ ناقص اثنين ﺱ يساوي واحد ﺱ، أو ﺱ فقط. وأربعة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ تربيع يساوي اثنين ﺱ تربيع فقط.
والآن، إذا بدأنا بسالب اثنين ﺱﺹ ثم أضفنا إليه خمسة أخرى من ﺱﺹ، فسنحصل على موجب ثلاثة ﺱﺹ. ثم لدينا زائد سبعة ﺹ تربيع وناقص ﺹ تكعيب. والآن، لا توجد حدود متشابهة في هذه الحدود، وعليه فهذه هي الإجابة. إذن، يبدو الأمر كما لو أن ﺱ يعامل كحرف مختلف عن ﺱ تربيع. وذلك يعامل كحرف مختلف عن ﺱﺹ وﺹ تربيع وﺹ تكعيب، وهكذا.
لننظر إلى رسم توضيحي ونتعرف على سبب أننا عرفنا مصطلح «الحدود المتشابهة» بهذه الطريقة تحديدًا. تخيل أن لدينا عددًا من المستطيلات أبعادها واحد في ﺱ وعددًا آخر من المستطيلات أبعادها واحد في ﺹ. إذن المستطيل الذي أبعاده واحد في ﺱ، أي واحد مضروبًا في ﺱ، مساحته ﺱ. ولذا، سنسمي هذه «المستطيلات ﺱ». والمستطيل الذي أبعاده واحد في ﺹ، أي واحد مضروبًا في ﺹ، مساحته ﺹ. إذن، هذان هما «المستطيلان ﺹ».
لدينا إذن ثلاثة من المستطيلات ﺱ واثنان من المستطيلات ﺹ. ويمكننا كتابة ذلك على صورة ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ. مساحة المستطيلات ﺱ مختلفة عن مساحة المستطيلين ﺹ. ولذا، لا يمكننا في الواقع تجميعهما معًا. إنه مجرد تعبير عن حقيقة أن لدينا ثلاثة من المستطيلات ﺱ واثنين من المستطيلات ﺹ.
والآن، لنضف مستطيلًا أبعاده ﺱ في ﺹ. إذن، مساحة هذا ستكون ﺱ مضروبًا في ﺹ، ولذا سنسميه «المستطيل ﺱﺹ». والآن، لدينا ثلاثة من المستطيلات ﺱ، واثنان من المستطيلات ﺹ، وواحد من المستطيلات ﺱﺹ. إذن علينا كتابة هذا هكذا. لا يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. إنه مجرد تعبير عن أنواع المستطيلات الثلاثة لدينا، ﺱ وﺹ وﺱﺹ. ويخبرنا هذا بعدد كل منها.
والآن، أضفنا إلى هذه المجموعة ثلاثة مستطيلات أبعادها ﺹ في ﺹ، أي المستطيلات ﺹ تربيع، ومستطيلًا أبعاده واحد ﺱ في ﺱ، أي المستطيل ﺱ تربيع. أصبح لدينا الآن ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد ﺱﺹ زائد ﺱ تربيع وثلاثة من المستطيلات ﺹ تربيع. لحسن الحظ، يمكننا أن نلاحظ أن المستطيل ﺱ مختلف تمامًا عن المستطيل ﺱ تربيع. والمستطيل ﺹ مختلف تمامًا عن المستطيل ﺹ تربيع. والمستطيل ﺱﺹ مختلف تمامًا عن المستطيلات الأخرى. ولهذا السبب علينا التعبير عن كل منها على حدة في المقدار الجبري بالأسفل.
والآن، لنلق نظرة على بعض المقادير التي تتضمن أقواسًا.
على سبيل المثال، بسط خمسة في ﺱ زائد اثنين زائد سبعة في ﺱ زائد اثنين. وهذا يعني بالفعل أن لدينا خمسة مضروبًا في ﺱ زائد اثنين. تخيل مستطيلًا مساحته ﺱ زائد اثنين. ولدينا سبعة مضروبًا في ﺱ زائد اثنين. لدينا إذن خمسة من المستطيلات التي مساحتها ﺱ زائد اثنين، وسبعة أخرى من المستطيلات التي مساحتها ﺱ زائد اثنين. إذن ﺱ زائد اثنين داخل الأقواس يعتبر حدودًا متشابهة. وخمسة من شيء ما زائد سبعة أخرى من الشيء نفسه يساوي ١٢ من هذا الشيء. إذن، نحصل على ١٢ مضروبًا في ﺱ زائد اثنين.
والآن يمكننا استخدام خاصية توزيع الضرب لنقول إن هذا يعني ١٢ في ﺱ زائد ١٢ في اثنين. ويمكننا كتابة ذلك جبريًا على صورة ١٢ﺱ، اختصار ١٢ مضروبًا في ﺱ. و١٢ في اثنين يساوي ٢٤، إذن نحصل على ١٢ﺱ زائد ٢٤.
كان بإمكاننا تطبيق خاصية التوزيع في بداية هذا السؤال. وكنا سنحصل على خمسة في ﺱ وخمسة في اثنين وسبعة في ﺱ وسبعة في اثنين. وهذا يساوي خمسة ﺱ زائد ١٠ زائد سبعة ﺱ زائد ١٤، ما يعني أنه يمكننا الآن تجميع الحدود المتشابهة. خمسة ﺱ وسبعة ﺱ حدان متشابهان. ثم الأعداد بمفردها معًا، ١٠ زائد ١٤، ما يعطينا ١٢ﺱ زائد ٢٤. إذن، نحصل من ذلك على الناتج نفسه.
لكن بإدراك أن لدينا حدًا متشابهًا، ﺱ زائد اثنين. فهذا يعني أن علينا إجراء عملية التوزيع مرة واحدة هنا فقط، بدلًا من إجراء عملية التوزيع مرتين هنا. إذن تتطلب هذه الطريقة هنا المزيد من الخطوات. لقد وفرنا على أنفسنا بعض الجهد بملاحظة هذا الحد المتشابه داخل القوس من البداية.
تحتوي بعض المقادير على أقواس، والتي يمكننا حذفها عند النظر إليها نظرة فاحصة.
على سبيل المثال، بسط خمسة زائد، افتح قوسًا، ١١ﺱ زائد ١٢، أغلق القوس. بما أن هذا المقدار يستخدم الجمع في موضعين، وبما أن الجمع عملية دامجة، فسنحصل على الناتج نفسه إذا جمعنا ناتج ١١ﺱ زائد ١٢ مع خمسة كما لو كنا نجمع ١٢ مع ناتج خمسة زائد ١١ﺱ. إذن، تخبرنا الأقواس بأن نجري العملية الحسابية بطريقة ما. لكن لن يشكل الأمر فارقًا إذا أجريناها بطريقة أخرى. فهي غير مؤثرة. ويمكننا حذفها.
والآن، أصبح لدينا حدان عدديان متشابهان. خمسة زائد ١٢ يساوي ١٧. إذن الإجابة هي ١٧ زائد ١١ﺱ، أو لأن بعض الأشخاص يفضلون كتابتها بدءًا بالحد الذي يتضمن حرفًا فتكون: ١١ﺱ زائد ١٧.
هناك أمر أخير قبل أن نختم حديثنا. تعاملنا مع الحدود الكمية الصحيحة الموجبة والسالبة، مثل ثلاثة ﺱ، ناقص خمسة ﺹ، ناقص ١٢ﺹ تربيع، وهكذا. لكن يمكننا أيضًا التعامل مع الحدود التي تتضمن كسورًا بالطريقة نفسها. على سبيل المثال، نصف ﺱ زائد نصف آخر من ﺱ، حسنًا، إن نصفين من الشيء نفسه يعطينا واحدًا كاملًا من هذا الشيء. إذن، نصف ﺱ زائد نصف ﺱ يساوي واحد ﺱ، أو ﺱ فقط، كما نكتبه عادة هكذا.
على سبيل المثال، إذا كان علينا تبسيط سالب ثلث ﺱ زائد ثلثين ﺱ زائد ربع زائد ثلثين ﺱ زائد نصف، فيمكننا تحديد الحدود المتشابهة. إذن سنجمع حدود ﺱ معًا. ثم نجمع كذلك الحدود العددية معًا. إذن، لدينا سالب ثلث ﺱ زائد ثلثين ﺱ زائد ثلثين آخرين من ﺱ زائد ربع زائد نصف.
لنفكر إذن في الحدود التي تتضمن ﺱ هذه. نبدأ بسالب ثلث ﺱ. ونضيف ثلثي ﺱ. إذن، لننقل ثلث، ثلثي ﺱ، فنصل إلى هنا. ثم نضيف ثلثي ﺱ آخرين. إذن سننتقل بمقدار ثلث، ثلثي ﺱ، لنصل إلى هنا، عند واحد. إذن، هذا يساوي واحد ﺱ، أو ﺱ فقط. ثم لدينا ربع زائد نصف. حسنًا، النصف يساوي ربعين. إذن، لدينا ربع زائد ربعين، وهو ما يساوي ثلاثة أرباع. ومن ثم، تنطبق القواعد نفسها. فحتى إذا كانت لديك كسور، فلا يزال يمكنك تجميع الحدود المتشابهة أو دمجها في المقادير الجبرية لتبسيطها.
أخيرًا، وتلخيصًا لما تعلمناه، يمكننا تبسيط المقادير الجبرية بتجميع الحدود المتشابهة أو دمجها. على سبيل المثال، ثلاثة ﺱ ناقص ١٢ﺹ زائد سبعة ﺱ زائد اثنين ﺹ. يمكننا التعامل مع حدي ﺱ كحدين متشابهين، وحدي ﺹ كحدين متشابهين. ثلاثة ﺱ زائد سبعة ﺱ يساوي ١٠ﺱ، بينما سالب ١٢ﺹ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب ١٠ﺹ.
لكن تذكر أن الحدود ذات الأسس أو القوى المختلفة ليست حدودًا متشابهة. على سبيل المثال، خمسة ﺱ زائد سبعة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ تربيع يتضمن خمسة ﺱ وناقص اثنين ﺱ كحدين متشابهين، وسبعة ﺱ تربيع وسالب ثلاثة ﺱ تربيع كحدين متشابهين. إذن عند التجميع، فإن خمسة ﺱ ناقص اثنين ﺱ يعطينا ثلاثة ﺱ. وسبعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ تربيع يعطينا أربعة ﺱ تربيع. يبدو الأمر كما لو أن ﺱ تربيع حرف مختلف عن ﺱ. فقط تذكر المستطيلات المختلفة المساحة التي عرضناها سابقًا عندما عرضنا رسمًا توضيحيًا لها. نجمع جميع المستطيلات التي مساحتها ﺱ معًا ونجمع جميع المستطيلات التي مساحتها ﺱ تربيع معًا.
وأخيرًا، توجد أحيانًا أقواس كاملة تتضمن حدودًا متشابهة. على سبيل المثال، ثلاثة في ﺱ ناقص اثنين زائد خمسة في ﺱ ناقص اثنين ناقص اثنين في ﺱ ناقص اثنين. هذه الحدود جميعها مضاعفات للتعبير ﺱ ناقص اثنين. فلدينا ثلاثة منه، وخمسة أخرى منه. لكننا نطرح اثنين منه، ويتبقى لدينا ستة ﺱ ناقص اثنين. يعني هذا أنه يمكنني تطبيق خاصية التوزيع مرة واحدة فقط في نهاية المسألة لنحصل على ستة ﺱ ناقص ١٢. بدلًا من تطبيقها ثلاث مرات في أول المسألة، ثم نضطر لتجميع حواصل ضرب العديد من الحدود معًا. ومن ثم، قد يوفر علينا هذا الأمر أحيانًا بعض الجهد.
