فيديو السؤال: العلاقة بين الزوايا في عدة مواد مختلفة بصريًّا الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل شعاعًا ضوئيًّا ينتقل من المادة ‪I‬‏ إلى المادة ‪II‬‏ بالزاوية ‪𝜃‬‏ واحد مع السطح الفاصل بين المادتين. يمر الشعاع عبر السطح الفاصل بين المادة ‪II‬‏ والمادة ‪III‬‏. عندما تزيد الزاوية ‪𝜃‬‏ عن الزاوية ‪𝜃‬‏ واحد، ينتقل الشعاع الضوئي إلى المادة ‪III‬‏. أوجد الزاوية ‪𝜃‬‏ واحدًا لأقرب درجة.

في الشكل لدينا، نرى هذه المواد الثلاث المختلفة ‪I‬‏ و‪II‬‏ و‪III‬‏. تعتبر هذه المواد مختلفة؛ لأن لكل منها معامل انكسار محددًا يشار إليه بـ ‪𝑛‬‏. هذا يعني أنه عندما يصادف شعاع ضوئي سطحًا فاصلًا بين مادتين مختلفتين، فلن يستمر هذا الشعاع في خط مستقيم، بل سينكسر أو ينعكس. يخبرنا السؤال أنه عندما يصادف شعاع ضوئي السطح الفاصل بين المادة ‪II‬‏ والمادة ‪III‬‏، وهو ما يحدث عند هذه النقطة، فإن النتيجة ستكون إعادة توجيه هذا الشعاع على طول السطح الفاصل بين هاتين المادتين. بعبارة أخرى، إذا سمينا هذه الزاوية هنا زاوية الانكسار، فيمكننا أن نرى من الشكل لدينا أن هذه الزاوية تساوي 90 درجة.

تشير زاوية الانكسار التي قياسها 90 درجة بالضبط، مثل هذه الموجودة هنا، إلى أن زاوية سقوط هذا الشعاع هي زاوية خاصة تسمى الزاوية الحرجة، وغالبًا ما يشار إليها بـ ‪𝜃c‬‏. إذا استطعنا إيجاد قيمة هذه الزاوية الحرجة، فسيساعدنا ذلك في إيجاد قيمة الزاوية التي نريد إيجادها وهي ‪𝜃‬‏ واحد. للبدء في الحل لإيجاد قيمة الزاوية الحرجة، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونتذكر قانون البصريات المعروف باسم قانون سنل.

ينص هذا القانون على أنه إذا كان لدينا شعاع ضوئي ساقط على سطح فاصل بين مادتين لهما معاملا انكسار مختلفان، فإن معامل انكسار المادة التي ينتقل الشعاع خلالها في الأصل، المشار إليها هنا بـ ‪𝑛i‬‏، مضروبًا في ‪sin‬‏ زاوية السقوط ‪𝜃i‬‏ لهذا الشعاع، يساوي معامل انكسار المادة على الجانب الآخر من السطح الفاصل ‪𝑛r‬‏ مضروبًا في ‪sin‬‏ الزاوية ‪𝜃r‬‏، وهي زاوية الانكسار. نلاحظ أنه بالنسبة إلى الشعاع الضوئي لدينا الذي يمر عبر المادة ‪II‬‏ ويسقط على المادة ‪III‬‏، نعلم قيمتي معامل انكسار كلتا المادتين، ونعلم أيضًا قيمة ما أسميناها زاوية الانكسار.

علاوة على ذلك، بالنسبة إلى هذا الشعاع الضوئي الذي يمر عبر المادة ‪II‬‏ ويسقط على المادة ‪III‬‏، فإن زاوية السقوط هي الزاوية الحرجة. إذن، هذا ما يمكننا كتابته: 1.50، وهو معامل انكسار المادة ‪II‬‏، مضروبًا في ‪sin 𝜃c‬‏، وهي الزاوية الحرجة، يساوي معامل انكسار المادة ‪III‬‏، 1.00، مضروبًا في sin 90 درجة.

بالنظر إلى هذه المعادلة، يمكننا الآن تذكر أن sin 90 درجة يساوي واحدًا. يمكننا إذن تبسيط المعادلة. وبما أننا نريد الحل لإيجاد قيمة هذه الزاوية الحرجة ‪𝜃c‬‏، دعونا نقسم الطرفين على 1.50، لنحذف هذا العامل على اليسار. بعد ذلك، نأخذ الدالة العكسية للجيب لطرفي المعادلة هكذا. نفعل ذلك لأن دالة ‪sin‬‏ العكسية لـ ‪sin‬‏ زاوية ما تساوي ببساطة هذه الزاوية نفسها. نجد أن ‪𝜃c‬‏ يساوي دالة ‪sin‬‏ العكسية لـ 1.00 مقسومًا على 1.50. بحساب قيمة هذا التعبير، نحصل على القيمة 41.81 درجة تقريبًا. الآن بعد أن عرفنا قيمة ‪𝜃c‬‏، سنحتفظ بهذه النتيجة هنا، ونفرغ بعض المساحة حتى نتمكن من العمل على الحل لإيجاد قيمة ‪𝜃‬‏ واحد.

في البداية، سنلاحظ هذين الخطين الرأسيين المتقطعين. هذان الخطان متوازيان، وهذا يعني أن هذه الزاوية هنا، التي نعلم أنها ‪𝜃c‬‏، تساوي هذه الزاوية هنا. إذن، سنسمي هذه الزاوية ‪𝜃c‬‏. أيضًا، نلاحظ شيئًا آخر في هذه الزاوية. وفقًا لقانون سنل، إنها زاوية الانكسار ‪𝜃r‬‏. في الواقع، إذا فكرنا الآن في الذي يمكن أن نسميه قانون سنل لانكسار الشعاع الضوئي بين المادتين ‪I‬‏ و‪II‬‏ هنا، يمكننا القول إن هذه الزاوية هنا والمقيسة من الخط العمودي على السطح الفاصل هي زاوية السقوط. كما رأينا، فإن ‪𝜃c‬‏ هي زاوية الانكسار. يمكننا إذن كتابة 1.33، وهو معامل انكسار المادة ‪I‬‏، مضروبًا في‪sin 𝜃i‬‏ يساوي معامل انكسار المادة ‪II‬‏ مضروبًا في ‪sin 𝜃c‬‏.

لكننا نلاحظ أننا لا نريد الحل لإيجاد قيمة ‪𝜃i‬‏، بل قيمة ‪𝜃‬‏ واحد. لكن من الشكل لدينا، يمكننا ملاحظة أن ‪𝜃i‬‏ زائد ‪𝜃‬‏ واحد يساوي 90 درجة. بإعادة الترتيب قليلًا، نحصل على تعبير لـ ‪𝜃i‬‏. إنه 90 درجة ناقص ‪𝜃‬‏ واحد. ومن ثم، يمكننا أخذ هذا التعبير لـ ‪𝜃i‬‏ والتعويض به في معادلة قانون سنل. ما نحصل عليه، بما أننا نعرف الزاوية الحرجة ‪𝜃c‬‏، هو تعبير يكون المجهول الوحيد فيه هو القيمة التي نريد الحل لإيجادها، وهي ‪𝜃‬‏ واحد. لإيجاد ‪𝜃‬‏ واحد، دعونا أولًا نقسم الطرفين على 1.33، لنحذف هذا العامل على اليسار.

بعد ذلك، سنأخذ الدالة العكسية للجيب لطرفي هذه المعادلة. كما رأينا، أخذ دالة ‪sin‬‏ العكسية لـ ‪sin‬‏ زاوية ما، وفي هذه الحالة تكون الزاوية 90 درجة ناقص ‪𝜃‬‏ واحد، يعطينا هذه الزاوية نفسها. إننا نقترب كثيرًا من الحصول على تعبير حيث تكون القيمة التي نريد الحل لإيجادها، وهي ‪𝜃‬‏ واحد، في طرف بمفردها. للحصول على ذلك، سنطرح 90 درجة من الطرفين بحيث يحذف سالب 90 درجة مع زائد 90 درجة على اليسار. بعد ذلك، نضرب طرفي المعادلة في سالب واحد بحيث تصبح جميع الحدود السالبة موجبة، وتصبح جميع الحدود الموجبة سالبة. هذا يعطينا هذا التعبير. عوضنا هنا بقيمة ‪𝜃c‬‏ التي تساوي 41.81 درجة.

نحن الآن جاهزون لحساب ‪𝜃‬‏ واحد. عندما نفعل ذلك، ونقرب الناتج لأقرب درجة، نحصل على 41 درجة. ومن ثم، هذه هي الزاوية المحصورة بين الشعاع الضوئي المعطى في الشكل والسطح الفاصل بين المادة ‪I‬‏ والمادة ‪II‬‏.