نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل دائرة مركزها ﻡ. إذا كان ﻫﺏ يساوي ٤٢، وﻫﺟ يساوي ٢١، وﻫﺃ يساوي ٤٢، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﻫﺩ ونصف قطر الدائرة.
بناء على المعطيات التي لدينا في السؤال، نستنتج أن الوتر ﺏﺃ قد نصف؛ لأن طول كل جزء من جزأيه ﻫﺏ وﻫﺃ يساوي ٤٢. لذلك، من المهم أن نتذكر الجزء الأول من نظرية منصف الوتر. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان هناك خط مستقيم يمر بمركز دائرة وينصف وترًا في هذه الدائرة، فلا بد أن يكون الخط المستقيم عموديًّا على الوتر. إذن، القطعة المستقيمة ﺟﺩ، التي تمر بمركز الدائرة، تمثل العمود المنصف للوتر ﺏﺃ.
بما أن الوترين ﺏﺃ وﺟﺩ متعامدان، فإننا نعرف أنهما يكونان أربع زوايا قائمة، إحداها الزاوية ﺃﻫﻡ. للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﻫﺩ ونصف القطر. نلاحظ أن القطعة المستقيمة ﻡﺩ تمثل نصف قطر في الدائرة.
المعطى الوحيد الذي لم نتناوله بعد هو طول القطعة المستقيمة ﻫﺟ. علمنا من السؤال أن طول ﻫﺟ يساوي ٢١. نلاحظ من الشكل أن القطعة المستقيمة ﻡﺟ تمثل أيضًا نصف قطر الدائرة. وطول ﻡﺟ يساوي مجموع ﻡﻫ زائد ﻫﺟ. بما أننا لا نعلم طول ﻡﻫ، سنشير إليه بالحرف ﺱ. ومن ثم نستطيع القول إن طول ﻡﺟ يساوي ﺱ زائد ٢١. وبما أننا نعرف أن جميع أنصاف أقطار الدائرة تكون متساوية في الطول، يمكن تمثيل طول أي نصف قطر في الدائرة بالمقدار ﺱ زائد ٢١. إذن طول نصف القطر ﻡﺩ يساوي ﺱ زائد ٢١.
نلاحظ أيضًا أن القطعة المستقيمة ﻡﺃ تمثل نصف قطر. إذن، طول ﻡﺃ يساوي ﺱ زائد ٢١. أصبح لدينا الآن مقدار يعبر عن طول كل ضلع من أضلاع مثلث قائم الزاوية، وهو تحديدًا المثلث ﺃﻫﻡ المظلل باللون الأخضر. طول الضلع ﻡﻫ يساوي ﺱ، وطول الضلع ﻫﺃ يساوي ٤٢، وطول الضلع ﻡﺃ يساوي ﺱ زائد ٢١.
يمكننا هنا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مجموع مربعي طولي ضلعيه يساوي مربع طول الوتر. بالتعويض بالمقدار الذي يعبر عن طول كل ضلع، يصبح لدينا ﺱ تربيع زائد ٤٢ تربيع يساوي ﺱ زائد ٢١ تربيع. نبدأ في حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. بمجرد أن نعرف قيمة ﺱ، سنتمكن من إيجاد طول القطعة المستقيمة ﻫﺩ ونصف القطر. نجد أن ٤٢ تربيع يساوي ١٧٦٤، ﺱ زائد ٢١ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ٤٢ﺱ زائد ٤٤١.
من الضروري الآن تبسيط المعادلة التربيعية إلى صورة قياسية يمكن حلها. لكن بعد طرح ﺱ تربيع من طرفي المعادلة، ندرك أن هذه المعادلة لم تعد معادلة تربيعية. يتبقى لدينا المعادلة ١٧٦٤ يساوي ٤٢ﺱ زائد ٤٤١. بحل هذه المعادلة، نجد أن ﺱ يساوي ٣١٫٥.
نحن الآن مستعدون لإيجاد القيمة الدقيقة لطول نصف القطر، الذي يمثله المقدار ﺱ زائد ٢١ كما عرفنا سابقًا. إذن، نعوض عن ﺱ بالقيمة ٣١٫٥. نجد أن طول نصف القطر يساوي ٥٢٫٥. وأخيرًا، لكي نوجد طول القطعة المستقيمة ﻫﺩ، نستعين بحقيقة أن ﻫﺩ يساوي ﻡﻫ زائد ﻡﺩ؛ حيث نلاحظ أن هذا صحيح من الشكل. ﻡﻫ يساوي ﺱ. وبما أن ﻡﺩ يمثل نصف القطر، فإنه يساوي ٥٢٫٥. بعد التعويض بالقيمة ٣١٫٥ عن ﺱ ثم جمع ٥٢٫٥، نجد أن ﻫﺩ يساوي ٨٤.
إذن، طول القطعة المستقيمة ﻫﺩ يساوي ٨٤، ونصف القطر يساوي ٥٢٫٥.
