فيديو الدرس: خواص الأشكال الرباعية الدائرية

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نستخدم خصائص الأشكال الرباعية الدائرية لإيجاد قياس الزوايا الناقصة، وأيضًا تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أو لا.

سنبدأ بتعريف ما نعنيه بالشكل الرباعي الدائري. الشكل الرباعي هو شكل رباعي الأضلاع. أما الشكل الرباعي الدائري فهو شكل رباعي تقع كل رءوسه على محيط دائرة واحدة. في هذا الشكل، تقع الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ على محيط هذه الدائرة. مجموع قياسات الزوايا الأربع الموجودة في داخل أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺟ زائد قياس الزاوية ﺩ يساوي ٣٦٠ درجة.

ومجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في أي شكل رباعي دائري يساوي ١٨٠ درجة. في هذا الشكل، قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة، وقياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺩ يساوي ١٨٠ درجة أيضًا. وبما أن ١٨٠ زائد ١٨٠ يساوي ٣٦٠، فهذا يحقق الخاصية الأولى.

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي سنحدد فيها إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أم لا.

هل ﺃﺏﺟﺩ شكل رباعي دائري؟

في أي شكل رباعي دائري، نعلم أن مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين يساوي ١٨٠ درجة. بما أن الزاويتين ﺃ وﺟ متقابلتان؛ فهذا يعني أن قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. ٧٩ درجة زائد ٦٢ درجة يساوي ١٤١ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ لا يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا إذن استنتاج أن الإجابة هي لا، ﺃﺏﺟﺩ ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا؛ لأن مجموع قياسي الزاويتين ﺃ وﺟ ليس ١٨٠ درجة.

سنتناول الآن سؤالًا آخر من نوع مشابه.

هل ﺃﺏﺟﺩ شكل رباعي دائري؟

نعلم أن مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في أي شكل رباعي دائري يساوي ١٨٠ درجة. في هذا السؤال، سنحسب قياسي الزاويتين المتقابلتين ﺏ وﺩ. ويترتب على ذلك أنه إذا كان مجموع قياسي هاتين الزاويتين يساوي ١٨٠ درجة، فلا بد أيضًا أن مجموع قياسي الزاويتين ﺃ وﺟ يساوي ١٨٠ درجة؛ إذ إن مجموع قياسات الزوايا الأربع داخل أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة.

يمكننا البدء في حل هذا السؤال بتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث الداخلية في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺏ زائد ٤٨ درجة زائد ٢٩ درجة لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. ٤٨ زائد ٢٩ يساوي ٧٧. بطرح ٧٧ درجة من كلا طرفي هذه المعادلة، نجد أن قياس الزاوية ﺏ يساوي ١٠٣ درجات. يمكننا الآن الرجوع إلى ما قلناه عن الشكل الرباعي الدائري. نعلم أن قياس الزاوية ﺏ يساوي ١٠٣ درجات، وقياس الزاوية ﺩ يساوي ٧٧ درجة. مجموع قياسي هاتين الزاويتين يساوي بالفعل ١٨٠ درجة.

كما ذكرنا من قبل، إذا كان مجموع قياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺩ يساوي ١٨٠ درجة، فإن مجموع قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة أيضًا. هذا لأن مجموع قياسات الزوايا الأربع داخل الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ لا بد أن يساوي ٣٦٠ درجة. يمكننا إذن استنتاج أن الإجابة هي نعم، ﺃﺏﺟﺩ شكل رباعي دائري.

تتضمن الأسئلة التالية حساب قياسات الزوايا الناقصة في الأشكال الرباعية الدائرية.

أوجد قياس الزاوية ﺏﺟﺩ.

الزاوية ﺏﺟﺩ هي الزاوية الموضحة في الشكل. تقع الرءوس الأربعة للشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ على محيط الدائرة. وذلك يعني أن هذا الشكل الرباعي دائري. ونعلم أن مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن مجموع قياسي الزاويتين ﺃ وﺟ يساوي ١٨٠ درجة. وهذا ينطبق أيضًا على الزاويتين ﺏ وﺩ.

نعلم أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٧٨ درجة. بطرح ٧٨ درجة من طرفي هذه المعادلة، نجد أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٧٨ درجة. وهذا يساوي ١٠٢ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺏﺟﺩ في هذا الشكل الرباعي يساوي ١٠٢ درجة.

سنتناول الآن سؤالًا أكثر تعقيدًا بعض الشيء.

إذا كان ﺃﺏﺟﺩ شكلًا رباعيًّا دائريًّا، فأوجد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ.

قياس الزاوية ﺏﺃﺟ موضح في الشكل بالرمز ﺱ. والعلامتان الموجودتان على القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺏﺟ تشيران إلى أن هذين الضلعين متساويان في الطول. هذا يعني أن المثلث ﺃﺏﺟ مثلث متساوي الساقين. وللمثلث متساوي الساقين زاويتان متساويتان في القياس. في هذه الحالة، قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي قياس الزاوية ﺏﺟﺃ. ومجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري يساوي ١٨٠ درجة. إذا رمزنا إلى قياس الزاوية ﺃﺏﺟ بالحرف ﺹ، فإننا نعلم أن مجموع قياس هذه الزاوية زائد قياس الزاوية ﺃﺩﺟ لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. ‏ﺹ زائد ٦١ درجة يساوي ١٨٠ درجة. وبطرح ٦١ درجة من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺹ يساوي ١١٩ درجة.

ونعلم أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن ﺱ زائد ﺱ زائد ١١٩ درجة يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. بتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على اثنين ﺱ زائد ١١٩ درجة. عندما نطرح هذه القيمة من كلا طرفي المعادلة الجديدة، نحصل على اثنين ﺱ يساوي ٦١ درجة. وأخيرًا، بقسمة طرفي المعادلة على اثنين، نحصل على ﺱ يساوي ٣٠٫٥ درجة. يمكننا إذن استنتاج أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٣٠٫٥ درجة.

سنتناول الآن شكلًا رباعيًّا دائريًّا يوجد فيه مجهولان علينا حسابهما.

إذا كان قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ﺱ زائد ٣٤ درجة، فأوجد قيمة كل من ﺱ وﺹ.

نعلم من رأس السؤال أن قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي ﺱ زائد ٣٤ درجة. كما نلاحظ من الشكل أن المثلث ﺏﺃﻫ مثلث متساوي الساقين؛ لأن الضلعين ﺏﺃ وﺏﻫ متساويان في الطول. وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺏﺃﻫ يساوي قياس الزاوية ﺏﻫﺃ، يساوي ٥١ درجة. ونعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية يساوي ١٨٠ درجة. وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﻫ زائد ٥١ درجة زائد ٥١ درجة يساوي ١٨٠ درجة. ٥١ زائد ٥١ يساوي ١٠٢. وبطرح هذا الناتج من ١٨٠، نجد أن قياس الزاوية ﺃﺏﻫ يساوي ٧٨ درجة.

نعرف أيضًا أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أنه يمكننا حساب قياس الزاوية ﺃﺏﺟ داخل الشكل الرباعي الدائري بطرح ٧٨ درجة من ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ١٠٢ درجة. الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ دائري؛ لأن جميع رءوسه الأربعة تقع على محيط دائرة. ونعلم أن مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في أي شكل رباعي دائري يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن ﺱ زائد ١٠٢ يساوي ١٨٠، وﺹ زائد ﺱ زائد ٣٤ يساوي ١٨٠ أيضًا.

وكما ذكرنا للتو، بالنظر إلى الزاويتين عند الرأسين ﺏ وﺩ، نجد أن لدينا المعادلة ﺱ زائد ١٠٢ درجة يساوي ١٨٠ درجة. بطرح ١٠٢ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺱ يساوي ٧٨ درجة. كما أن مجموع قياسي الزاويتين عند الرأسين ﺃ وﺟ سيساوي ١٨٠ درجة. ٧٨ زائد ٣٤ يساوي ١١٢. وبطرح هذا الناتج من كلا طرفي المعادلة، نحصل على ﺹ يساوي ٦٨ درجة. إذن، قيمتا كل من ﺱ وﺹ، على الترتيب، هما ٧٨ درجة و٦٨ درجة. ويمكننا التأكد من ذلك عن طريق جمع قياسات الزوايا الأربع الموجودة داخل الشكل الرباعي، التي يجب أن يكون مجموعها ٣٦٠ درجة.

سنتناول الآن بعض النقاط الأساسية في هذا الفيديو. الشكل الرباعي الدائري تقع جميع رءوسه الأربعة على محيط دائرة. ومجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في أي شكل رباعي دائري يساوي ١٨٠ درجة. وهذه واحدة من نظريات الدائرة الرئيسية التي سترد في الاختبارات. يمكن استخدام هذه الحقيقة بجانب خصائص الزوايا الأخرى التي نعرفها، كما رأينا في هذا الفيديو. وهذه الخواص تتضمن الزوايا الداخلية في المثلث والزوايا الواقعة على خط مستقيم. ومجموع قياسات كل منهما يساوي ١٨٠ درجة. يمكن ملاحظة الخاصية في الشكل كما هو موضح؛ حيث إن قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة، وقياس الزاوية ﺏ زائد قياس الزاوية ﺩ يساوي ١٨٠ درجة أيضًا. ومجموع قياسات الزوايا الأربع في أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة.