فيديو السؤال: إيجاد مجموعة حل معادلة أسية الرياضيات

استخدم التمثيل البياني الآتي لإيجاد مجموعة حل المعادلة ٢^(ﺱ − ٣) = ﺱ − ٢.

٠٤:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

استخدم التمثيل البياني الآتي لإيجاد مجموعة حل المعادلة اثنان أس ﺱ ناقص ثلاثة يساوي ﺱ ناقص اثنين.

عندما يكون لدينا سؤال مثل هذا يتضمن معادلة وعددًا من الدوال، فإنه ستوجد علاقة بين المعادلة والدوال. من الشائع أن يرتبط الطرف الأيمن من المعادلة بدالة واحدة. دعونا نطلق على هذه الدالة ﺩ واحد ﺱ. وعادة ما يمثل الطرف الأيسر من المعادلة دالة أخرى. لنطلق عليها ﺩ اثنين ﺱ. وعليه سيمثل المقداران في طرفي المعادلة إما نفس الدالتين وإما دالتين قريبتين منهما. يوجد أس في الطرف الأيمن من هذه المعادلة. ولذا، إذا كانت الدالة ﺩ واحد ﺱ يساوي اثنين أس ﺱ ناقص ثلاثة، فإنها ستنتج دالة أسية.

المنحنى الأزرق في هذا التمثيل البياني له شكل الدالة الأسية. ولذا، علينا التحقق إذا ما كان من الممكن كتابة هذه الدالة على الصورة ﺩ واحد ﺱ يساوي اثنين أس ﺱ ناقص ثلاثة. علينا أيضًا التحقق إذا ما كان هذا الخط المستقيم الأخضر يمكن كتابته على صورة الدالة ﺩ اثنان ﺱ يساوي ﺱ ناقص اثنين. يمكننا التحقق من هذا الخط المستقيم الأخضر أولًا. ولنتذكر أنه يمكننا تمثيل الدالة ﺩ ﺱ يساوي ﺱ بيانيًّا بهذه الطريقة. فهي خط مستقيم له الميل واحد والجزء المقطوع من المحور ﺹ صفر.

باستخدام هذا الخط المستقيم لرسم الدالة ﺩﺱ يساوي ﺱ ناقص اثنين، نجري انتقالًا رأسيًّا لـ ﺩﺱ يساوي ﺱ مقداره وحدتان لأسفل. والدالة ﺩﺱ يساوي ﺱ ناقص اثنين هي دالة موازية، ومن ثم يكون لها نفس الميل الذي مقداره واحد. لكن الجزء المقطوع من المحور ﺹ سوف يساوي سالب اثنين. وبذلك قد أثبتنا أن الخط المستقيم الأخضر يمثل إحدى الدالتين، ويمكننا الإشارة إليها بـ ﺩ اثنان ﺱ يساوي ﺱ ناقص اثنين.

يمكننا التحقق من الدالة الثانية عن طريق إضافة بعض الإحداثيات على المنحنى. وأبسط طريقة لفعل ذلك هي إيجاد إحداثيات ذات قيم صحيحة. على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن الإحداثي خمسة، أربعة يقع على المنحنى. إذن لنعوض بـ ﺱ يساوي خمسة في الدالة، ونر إذا ما كنا سنحصل على قيمة مخرجة، أو ﺩﺱ ، تساوي أربعة. إذا كان ﺱ يساوي خمسة، سيكون لدينا ﺩ واحد ﺱ يساوي اثنين أس خمسة ناقص ثلاثة. وهذا يساوي اثنين تربيع. وبالطبع، اثنان تربيع يساوي أربعة. هذا يعني أنه عندما تكون القيمة المدخلة للدالة تساوي خمسة، فإن القيمة المخرجة تساوي أربعة.

يمكننا بعد ذلك التحقق من إحداثي آخر. فمثلًا الإحداثي أربعة، اثنان، يقع أيضًا على المنحنى. إذن، عندما نعوض بـ ﺱ يساوي أربعة في الدالة، نحصل على ﺩ واحد ﺱ يساوي اثنين أس أربعة ناقص ثلاثة. وبتبسيط ذلك، نحصل على اثنين أس واحد، وهو ما يساوي بالطبع اثنين. لذا، مرة أخرى، القيمة المدخلة ﺱ للدالة تنتج القيمة المخرجة اثنين. وبذلك، تأكدنا من أنه يمكن تمثيل هذه الدالة بـ ﺩ واحد ﺱ يساوي اثنين أس ﺱ ناقص ثلاثة. هذه الدالة هي أيضًا انتقال أفقي للدالة ﺩﺱ يساوي اثنين أس ﺱ.

نعلم الآن أن لدينا هاتين الدالتين، ومن ثم يمكننا حل المعادلة المعطاة. لإيجاد مجموعة حل هذه المعادلة، علينا البدء بإيجاد أي نقاط مشتركة بين كلتا الدالتين. هذه النقاط هي نقاط التقاطع. يمكننا أن نرى أن هناك نقطتي تقاطع، وهما الإحداثيان: ثلاثة، واحد، وأربعة، اثنان. ومجموعة الحل هي قيم ﺱ لكل من هذين الإحداثيين. إذن، يمكننا الإجابة بأن حل المعادلة اثنان أس ﺱ ناقص ثلاثة يساوي ﺱ ناقص اثنين هو المجموعة التي تحتوي على ثلاثة وأربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.